带电粒子在磁场中的运动 质谱仪1.doc

学科：物理
教学内容：带电粒子在磁场中的运动 质谱仪

【课前复习】
会做了，学习新课才能有保障
1．一电量为q的带电粒子以速度v垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中时，受到的洛伦兹力大小为_____，洛伦兹力的方向由_____判断．
2．做匀速圆周运动的条件：（1）_________________；（2）_____________________．
答案：1．F＝qvB，左手定则
2．物体具有一定的初速度v0；物体受到的合力与v0始终垂直，且合力大小不变
先看书，再来做一做
1．垂直射入匀强磁场的带电粒子，受到的洛伦兹力总跟粒子的运动方向垂直，所以带电粒子做______．
2．质量为m、带电量为q、速率为v的带电粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道
半径r＝_____，轨道运行周期T＝_____，周期表达式告诉我们，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期跟_____和_____无关．
3．质谱仪是利用_____和_____控制电荷运动的精密仪器，它是测量带电粒子的_____和_____的重要工具．其结构如图15－5－1所示．容器A中含有电荷量相同而质量有微小差别的带电粒子经过S1和S2之间的_____加速，它们进入_____将沿着______，打到照像底片的不同地方，在底片上形成若干_____的细条，叫做_____．每一条谱线对应于一定的_____．从谱线的位置可以知道圆周的_____，如果再已知带电粒子的电荷量，就可以算出它的_____，这种仪器叫做_____．

图15－5－1

【学习目标】
1．理解洛伦兹力对粒子不做功．
2．理解带电粒子的初速度方向与磁感应强度的方向垂直时，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．
3．会推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径、周期公式，并会用它们解答有关问题．
4．知道质谱仪的工作原理．

【基础知识精讲】
课文全解
一、带电粒子在磁场中的运动
质量为m，电量为q的带电粒子以速度v射入磁感应强度为B的匀强磁场中，如图15－5－2（忽略重力）带电粒子在磁场中的运动情况，与粒子速度方向和磁场方向之间的夹角θ密切相关：

图15－5－2
1．若带电粒子沿磁场方向射入磁场，即粒子速度方向与磁场方向平行，θ＝0°或180°时，带电粒子不受洛伦兹力作用，即F＝0，则粒子在磁场中以速度v做匀速直线运动．
2．若带电粒子沿垂直磁场方向射入磁场，即θ＝90°时，带电粒子所受洛伦兹力F＝Bqv，方向总与速度v垂直．洛伦兹力提供向心力，使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．
（1）粒子圆周运动的半径：Bqv＝m
R＝
讨论：①相同的带电粒子，以不同速度v射入匀强磁场中：（即m、q相同）
R∝v
②带电量相同的粒子，射入匀强磁场中（q相同）
R∝mv
③速度相同的带电粒子，射入匀强磁场中：(v相同）
R∝
(2)粒子圆周运动的周期：T＝＝2π()/v＝
所以T＝
说明：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T，只与粒子和质荷比(m/q)有关，与粒子的速度v，半径R的大小无关．
3．若带电粒子射入磁场时速度方向与磁场方向有一定夹角θ(0°＜θ＜90°或90°＜θ＜180°)时，该带电粒子同时参与两个分运动：
在垂直磁场的平面内，以分速度v⊥＝vsinθ做匀速圆周运动．
在平行磁场方向，以分速度v∥＝vcosθ做匀速直线运动．
其合运动为一等距螺旋运动．（对该种情况有一初步了解即可）
二、质谱仪
质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图15－5－3所示，离子源S产生质量为m、电量为q的正离子，离子产生出来的速度很小，可以看作速度为零，产生的离子经过电压U加速，进入磁感应强度为B的匀强磁场，沿着半圆周运动，到达记录它的照相底片上的P点．电量相同质量略有差别的带电粒子，进入磁场后沿不同半径做圆周运动，打到照相底片的不同地方．每一个不同地方（P点）对应于带电粒子的一定质量．只要测得P点到入口处S1的距离x，就可计算出它的质量m(m＝x2)．

图15－5－3
三、速度选择器
速度选择器是根据带电粒子在电场和磁场中偏转的原理，选择具有所需速度的粒子的装置．图15－5－4为速度选择器的原理示意图．匀强电场E和匀强磁场B垂直，当各种不同速度的粒子从 S1缝进入两磁场时，只有沿直线飞行而不发生偏转的粒子才能通过与S1正对的缝S2，其他的粒子不能从S2射出．要想在这两个场的复合场中沿直线飞行而不发生偏转，必须使粒子受到的电场力与受到的洛伦兹力大小相等、方向相反，即qvB＝Eq，v＝．因此，从S2出来的粒子都具有相同的速度（v＝）．

图15－5－4
经过速度选择器的粒子，只是粒子的速度大小相等，但粒子的电性、电量及质量不一定相等．
速度选择器中的E、B和v的方向是可以改变的，但必须是将三者任意两个量的方向同时改变，而不能同时改变三个或者任一个的方向，否则不能保证洛伦兹力方向与电场力方向始终相反，破坏速度选择功能．
问题全解
问题1：确定带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心
从匀强磁场边缘垂直磁场射入的带电粒子，它在磁场中的运动轨迹有可能不是一个完整的圆，仅是一段圆弧．在实际问题中圆心位置的确定极为重要，通常有两个方法：
①已知入射方向和出射方向时，可分别作通过入射点和出射点垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心．如图15－5－5所示，图中P为入射点，M为出射点．
②已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，再连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心．如图15－5－6所示，P为入射点，M为出射点．

　　 图15－5－5　　　　　　　　　 图15－5－6　　　　　　　　　　图15－5－7
问题2：确定磁场中带电粒子的运动时间
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，转一周所用时间可用公式T＝确定，且从中可以看出粒子转一周后所用时间不仅与粒子荷质比有关，还与磁场有关，而与粒子速度大小无关．在确定的磁场内粒子速度大时，做圆周运动的转动半径大；粒子速度小时，做圆周运动的转动半径小，但只要粒子质量和电量之比一定时，转一周所用时间都一样．若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角θ，并由表达式t＝T，可确定通过该段圆弧所用的时间．其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间越长．注意与运动轨迹的长短无关．
确定带电粒子运动圆弧所对圆心角的两个重要结论：
①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角叫做偏向角，偏向角等于圆弧轨道PM对应的圆心角θ，即θ＝，如图15－5－7所示．
②圆弧轨道PM所对圆心角θ等于PM弦与切线的夹角（弦切角）α的2倍，即θ＝2α，如图15－5－7所示．
问题3：复合场中运动的带电体受力分析
带电物体在重力场、电场、磁场中运动时，其运动状态的改变由其受到的合力决定，因此，对运动物体进行受力分析时必须注意以下几点：
（1）受力分析的顺序：先场力（包括重力、电场力、磁场力）、后弹力、再摩擦力等．
（2）重力、电场力与物体运动速度无关，由物体的质量决定重力大小，由电量、场强决定电场力；但洛伦兹力的大小与粒子速度有关，方向还与电荷的性质有关．所以必须充分注意到这一点来正确分析其受力情况，从而正确确定物体的运动情况．

【学习方法指导】
［例1］（高考题）一带电质点质量为m、电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图15－5－8中第一象限所示的区域，为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场． 若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径．重力忽略不计．

图15－5－8　　　　　　　　　　图15－5－9
解题方法：程序法．
解析：（1）画轨迹，找圆心O′．
题设质点从a点射入第一象限，从b点射出，两方向垂直，因此它在磁场中的径迹应是圆的圆周，并分别与va、vb方向相切．
过a点作平行于x轴的直线，过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线距离均为R的O′就是圆周的圆心．质点在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心，R为半径的圆（图15－5－9中的虚线圆）上的弧MN，M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上．
(2)确定半径R
由于质点的质量、带电量、运动速度的大小以及所加磁场的磁感应强度均为定值，因此，质点在垂直于磁场的xOy平面内做匀速圆周运动的半径R亦为定值．即由qvB＝m得R＝mv/(qB) ①
(3)求圆形磁场区域的最小半径r
以M、N两点连线为弦可以作许多圆，其中在通过M、N两点的不同圆周中，最小的一个是以线段为直径的圆周，所以本题中所求的圆形磁场区域的最小半径为
②
所求磁场区域如图15－5－9中的实线所示．
点评：（1）解本题首先要根据题中条件画出轨迹，找到圆心，然后运用F向 ＝F洛确定轨迹半径R．在解本题中，运用了一些关于圆的几何知识，体现了高考考查运用数学工具分析解决物理问题的能力，求解本题的难点是要弄清圆轨道半径R与圆形匀强磁场区域半径r的区别和联系，而不少考生将两者混在了一起，从而求解错误．
（2）本题的粒子轨迹为圆弧，磁场也在一个圆形区域里，此类问题可称之为“圆中圆”问题，解此类问题应注意到:①粒子入场点和出场点既是粒子轨道圆弧上的点，也是磁场圆周上的点，具有双重身份，是联系两圆的桥梁，是解答此类问题的关键之一；②粒子速度偏转角等于轨道圆心角．
　　［例2］三个速度大小不同的同种带电粒子，沿同一方向从图15－5－10所示的长方形区域匀强磁场的上边缘射入，当它们从下边缘飞出时，对入射方向的偏角分别为90°、60°、30°，则它们在磁场中运动时间之比为

图15－5－10
A．1∶1∶1
B．1∶2∶3
C．3∶2∶1
D．∶∶1
解题方法：程序法．
解析：同种粒子以不同的速度射入同一匀强磁场中后，做圆周运动的周期相同，由出射方向对入射方向的偏角大小可知，速度为v1的粒子在磁场中的轨迹为圆周，历时t1＝，速度为v2、v3的粒子在磁场中的轨迹长度都小于圆周，历时都不到T，且t2＞t3．由此可见，时间之比的可能情况只能是C或D．排除A、B选项．
为了进一步确定带电粒子飞经磁场时的偏转角与时间的关系，可作一般分析．如图15－5－11所示．用表示带电粒子在磁场中运动的轨迹，通过入射点和出射点作速度方向的垂线相交得圆心O，由几何关系知， 所对的圆心角等于出射速度方向对入射速度方向的偏角α．粒子通过磁场的时间

图15－5－11

可见同种粒子以不同的速度射入磁场，经历的时间与它们的偏角α成正比，所以有
t1∶t2∶t3＝90°∶60°∶30°＝3∶2∶1
点评：正确画出运动轨迹草图，掌握确定圆心的方法，计算半径的公式，并会应用推导出t＝是解题的关键．
例1、例2两道题都是粒子在有界匀强磁场中运动的问题．有界匀强磁场是指只在局部空间存在着匀强磁场，带电粒子从磁场区域外垂直磁场方向射入磁场，在磁场区域内经历一段匀速圆周运动，也就是通过一段圆弧轨迹后离开磁场区域，由于带电粒子垂直进入磁场的方向不同，或者由于磁场区域边界不同，造成它在磁场中运动的圆弧轨迹各不相同，图15－5－12举出了沿不同方向垂直进入磁场后的圆弧轨迹的情况．
图15－5－12
图a表示垂直进入有界匀强磁场的粒子，在磁场中运动半个圆周后，又垂直边界射出；图d和图e表示以入射方向与边界夹角直线为α的粒子，在磁场中偏转后，又以与边界夹角直线为α的方向射出（这一点由数学几何知识可以得出）；图f表示垂直进入圆形有界磁场的粒子，当出磁场时，仍垂直于圆形边界射出．
［例3］（2000年全国）如图15－5－13，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感应强度的大小为B．在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场．一质量为m、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零．如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）

图15－5－13
解题方法：综合法．
解析：带电粒子从S出发，在两筒之间的电场力作用下加速，沿径向穿出a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动．粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d．只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场内，然后，粒子将以同样方式经过c、b再经过a回到S点．
设粒子射入磁场区的速度为v，根据能量守恒，有mv2＝qU ①
设粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿定律得m＝qBv ②
由前面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过圆周．所以半径R必定等于筒的外半径r0，即R＝r0 ③
由以上各式解得
U＝

【知识拓展】
迁移
［例4］如图15－5－14所示，是一种质谱仪的示意图，从离子源S产生的正离子，经过S1和S2之间的加速电场，进入速度选择器．P1和P2间的电场强度为E，磁感应强度为B1．离子由S3射出后进入磁感应强度为B2的匀强磁场区域．由于各种离子轨迹半径R不同，而分别射到底片上不同的位置，形成谱线．

图15－5－14
(1)若已知S1、S2间加速电压为U，并且磁感应强度为B2，半径R也是已知的，则离子的荷质比＝_____．
(2)若已知速度选择器中的电场强度E和磁感应强度B1，R和B2也知道，则离子的荷质比q/m＝_____．
(3)要使氢的同位素氘和氚的正离子经加速电场和速度选择器以相同的速度进入磁感应强度为B2的匀强磁场（设进入加速电场时速度为零）．
(A)若保持速度选择器的E和B1不变，则加速电场S1、S2间的电压之比应为_____．
(B)它们谱线位置到狭缝S3间距离之比为_____．
解析：由于粒子在B2区域做匀速圆周运动，R＝，所以v＝，这个速度也就是粒子经加速电场加速后的速度．在加速过程中
所以qU＝mv2

（2）在速度选择器中，粒子沿直线穿过，故qE＝qvB1，E＝vB1＝， 所以＝
(3)氘核H，氚核H，设加速后二者速度均为v，经电场加速:
q1U1＝m1v2 ①；q2U2＝m2v2 ②
①/②，则＝·＝·＝
它们谱线的位置到狭缝S3距离之比实际上就是两种粒子在B2磁场中做匀速圆周运动的直径之比，也是半径之比．
＝＝＝＝
点评：解决本题最关键是弄清楚物体经历的各个过程，然后根据每个过程的运动性质列出相应的方程，然后即可求解．像粒子在加速电场运动，可列动能定理方程；粒子在速度选择器中做匀速直线运动，可列qE＝qvB1方程，粒子在B2的磁场中做匀速圆周运动可列R＝方程．
发散
带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，向心力一定由洛伦兹力提供，其他的力的合力必须为零．

【同步达纲训练】
1．如图15－5－15所示，正方形容器处在匀强磁场中，一束电子从孔a垂直于磁场沿ab方向射入容器中，其中一部分从c孔射出，一部分从d孔射出，容器处在真空中，下列说法正确的是

图15－5－15
A．从两孔射出的电子速率之比为vc∶vd＝2∶1
B．从两孔射出的电子在容器中运动所用时间之比为tc∶td＝1∶2
C．从两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比为ac∶ad＝∶1
D．从两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比为ac∶ad＝2∶1
2．在图15－5－16中所示虚线所围的区域内，存在电场强度为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场，已知从左侧水平射入的电子，穿过这一区域时未发生偏转，设重力忽略不计，则在这个区域中的E和B的方向可能是

图15－5－16
A．E和B都沿水平方向，并与电子运动方向相同
B．E和B都沿水平方向，并与电子运动方向相反
C．E竖直向上，B垂直于纸面向外
D．E竖直向上，B垂直于纸面向里
3．在图15－5－17中，水平导线中有电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将

图15－5－17
A．沿路径a运动，径迹是圆
B．沿路径a运动，轨迹半径越来越大
C．沿路径a运动，轨迹半径越来越小
D．沿路径b运动，轨迹半径越来越小
4．质量为m、带电量为q的正离子沿＋x轴方向从坐标原点进入磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场的方向垂直xOy平面，如图15－5－18所示，若离子速率为v，则离子做圆周运动的圆心坐标是_____．

图15－5－18
5．如图15－5－19所示，一束电子（电量为e）以速度v0垂直射入磁感应强度为B，宽为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角为30°，则电子的质量是_____，穿过磁场的时间是_____．

图15－5－19　　　　　　　　　　　　　图15－5－20
6．（2001年全国）如图15－5－20所示，在y＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B，一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角为θ．若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子的电量和质量之比．

参考答案
1．ABD
提示：从d孔射出的，其半径为正方形容器边长的一半；从c孔射出的，其半径等于正方形容器的边长．令正方形容器边长为L．由m＝evB，有
v＝，＝2∶1
由T＝，有．
由a＝，有
2．ABC
提示：E、B、v在一条直线上时，洛伦兹力为零，电子做匀加速（或减速）直线运动，故A、B项正确；C项为速度选择器的原理，C项正确．D项不对．
3．B
提示：直流电流周围的磁场，离导线越远B越小．由左手定则，判知电子受力向下，结合电子的初速度，故轨迹向下弯曲．又因r＝，当B变小时，r就变大，
4．（0，－）
提示：正离子受洛伦兹力向下偏转，圆心在y轴负半轴上，由m＝qvB，有r＝
5．；
提示：圆心角为30°，r＝＝2d．又m＝v0Be，
有m＝＝．因T＝，故穿越磁场时间t＝．
6．
提示：带正电粒子射入磁场后，由于受到洛伦兹力的作用，粒子将沿图中所示的轨迹做匀速圆周运动，从A点射出磁场，O、A间的距离为L，射出时速度的大小仍为v0，射出方向与x轴的夹角仍为θ．

由洛伦兹力公式和牛顿定律可得qv0B＝m式中R为圆轨道的半径，
解得：R＝ ①
圆轨道的圆心位于OA的中垂线上，由几何关系可得
＝Rsinθ ②
联立①②两式，解得