2011年江苏高考数学模拟试卷3.doc

2011年江苏高考数学模拟试卷2
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1．为虚数单位，计算 ▲ .
2. 观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结论 ▲ .
3．若关于的方程的一个根小于，另一个根大于，则实数的取值范围是 ▲ .
4．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是 ▲ .
5．已知，则 ▲ .
6．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x取值范围是 ▲ .
7. 的值为 ▲ .
8. 给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域是，值域是[0，]；②函数的图像关于直线对称；③函数是周期函数，最小正周期是1；④ 函数在上是增函数；则其中真命题是 ▲ .

9．用区间表示不等式的解集 ▲ .
10．设是边长为1的正三角形, 则= ▲ .
11．已知函数的定义域集合是,函数的定义域集合是，若，
那么实数的取值范围 ▲ .
12. 方程的实根个数是 ▲ .
13．在括号内填一个实数，使得等式 成立，这个实数是 ▲ .
14．设，，记,(注：表示中最大的数)，若，，且，则的取值范围为 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题,满分90分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本题满分14分）
两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1） 将y表示成x的函数；
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。

16.（本题满分14分）
有一个项数为10的实数等比数列, 表示该数列的前项和.
（1）当时,若成等差数列，求证也成等差数列；
（2）研究当时, 能否成等差数列,如果能，请求出公比；如果不能，并请说明理由.

17.（本题满分15分）
设函数且是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若，且在上的最小值为，求实数的值.

x
y
P
B
A
R
Q
O
F1
F2

18.（本题满分15分）
如图，过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，
点A和点B分别为椭圆的右顶点和上顶点，OP∥AB．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）过右焦点作一条弦QR，使QR⊥AB．若△的面积为，求椭圆的方程．

19.（本题满分16分）
四川汶川抗震指挥部决定建造一批简易房（房型为长方体状，房高2.5米），前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元.房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元.每套房材料费控制在32000元以内.
（1）设房前面墙的长为，两侧墙的长为，所用材料费为，试用表示；
（2）简易房面积S的最大值是多少？并求当S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？

20.（本题满分16分）
已知,函数.
（1）当时，如果函数的最大值为，求的取值范围;
（2）若对有意义的任意,不等式恒成立，求的取值范围；
（3）当在什么范围内取值时，方程分别无实根？只有一实根？有两个不同实根?

2011年江苏高考数学模拟试卷2参考答案
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1.； 2. ； 3． ； 4.； 5.; ； 7. ； 8. ①②③； 9. ； 10. ； 11．； 12. 1； 13. 2; 14．.
A
B
C
x
二、解答题：本大题共6小题,满分90分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.
15. (本小题满分14分)
解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC,,
其中当时，y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为
（2）,,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.
解法二: （1）同上.（2）设,则,,所以
当且仅当即时取”=”.
下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.
设0<m1<m2<160,,因为0<m1<m2<160,
所以4>4×240×240，9 m1m2<9×160×160所以,所以函数在(0,160)上为减函数.同理,函数在(160,400)上为增函数，所以当m=160取”=”,函数y有最小值,所以当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.
16.（本小题满分16分）
解: ⑴ 当 时,由得.则不成等差数列.
当时,, 由得
,即也成等差数列
（2）当时，如果成等差数列，则由得，当时显然不成立.
当时, ,得到关于的方程:
下面证明上述方程无解:①当时,,方程无解;②当时, ,方程无解;③当时, ,方程无解;综上所述:方程无解.
即,假设成等差数列是错误的, 不成等差数列.当时，如果成等差数列，则由得，当时显然不成立;当时, ,得到关于的方程,
分解因式得: 或(舍),综上所述: 当时,当,不成等差数列; 当,成等差数列.
17. ( 本小题满分15分 )
解:（1）∵ 为奇函数， ∴ ，∴ ， ∴
（2）∵ ， ∴ ，即， ∴ 或（舍去）
∴
令， ∵ ， ∴ ， ∴ ，
当时，当时，， ∴ ，当时，当时，，
(舍去) ∴ .
18. ( 本小题满分15分 )
解：（1）∵，∴．∵OP∥AB，∴，∴，解得：b=c．∴，故．
（2）由（1）知椭圆方程可化简为．①易求直线QR的斜率为，故可设直线QR的方程为：．②
由①②消去y得：．∴，．
于是△的面积S==，∴．因此椭圆的方程为，即．
19．（本题满分16分）
解：(1),即
，且 ;由题意可得：
；
当且仅当取最大值 ;答：简易房面积的最大值为100平方米，此时前面墙设计为米.

20．（本小题满分16分）
解：（1）函数的图像开口向上，函数在或处取得最大值，则，，得：.
(2) 等价于,其中,即: 由，,令，得，
当 时，当；，， .
(3) 设,其中.观察得当时,方程即为: 的一个根为.
猜测当时方程分别无根,只有一个根,有且只有两个根.
证明: ,等价于: 此方程有且只有一个正根为,
且当时,; 当时,函数只有一个极值.
当时, 由(2)得恒成立,方程无解.
当时, ,,则, 当且仅当时,,此时只有一个根
当时, 关于在递增,,,1<8< <<
<., 则方程必有且只有两个根。