2024年甘肃省天水市中考数学模拟试卷（含解析版）.pdf

2024 年甘肃省天水市中考数学试卷2024 年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1若 x 与 3 互为相反数，则|x+3|等于（）A0B1C2D32如图所示的几何体是由 5 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（）ABCD3下列运算正确的是（）A2x+y=2xy Bx2y2=2xy2C2xx2=2x D4x5x=14下列说法正确的是（）A不可能事件发生的概率为 0B随机事件发生的概率为C概率很小的事件不可能发生D投掷一枚质地均匀的硬币 1000 次，正面朝上的次数一定是 500 次5 我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 130 000 000kg 的煤所产生的能量把 130 000 000kg 用科学记数法可表示为（）A13107kg B0.13108kgC1.3107kgD1.3108kg6在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，则 cosB 的值为（）ABCD7关于的叙述不正确的是（）A=2B面积是 8 的正方形的边长是C是有理数D在数轴上可以找到表示的点8下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（）函数 y=x；函数 y=x2；函数 y=A B C D都不是9如图，AB 是圆 O 的直径，弦 CDAB，BCD=30，CD=4，则 S阴影=（）A2B C D10如图，在等腰ABC 中，AB=AC=4cm，B=30，点 P 从点 B 出发，以cm/s 的速度沿BC 方向运动到点 C 停止，同时点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BAAC 方向运动到点 C停止，若BPQ 的面积为 y（cm2），运动时间为 x（s），则下列最能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（）2-1-c-n-j-yABCD二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）11若式子有意义，则 x 的取值范围是 12分解因式：x3x=13定义一种新的运算：x*y=，如：3*1=，则（2*3）*2=14如图所示，在矩形 ABCD 中，DAC=65，点 E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于点 F，将BCE沿 BE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C处，则AFC=15观察下列的“蜂窝图”则第 n 个图案中的“”的个数是 （用含有 n 的代数式表示）16如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部（点 O）20 米的 A 处，则小明的影子 AM 长为 米17如图所示，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是边 BC 上的一点，且 BE=1，P 是对角线 AC 上的一动点，连接 PB、PE，当点 P 在 AC 上运动时，PBE 周长的最小值是 18如图是抛物线 y1=ax2+bx+c（a0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是 A（1，3），与 x 轴的一个交点是 B（4，0），直线 y2=mx+n（m0）与抛物线交于 A，B 两点，下列结论：abc0；方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根；抛物线与 x 轴的另一个交点是（1，0）；当 1 x 4 时，有 y2 y1；x（ax+b）a+b，其 中 正 确 的 结 论是 （只填写序号）三、解答题（本大题共 3 小题，共 28 分）三、解答题（本大题共 3 小题，共 28 分）19（1）计算：14+sin60+（）2（）0（2）先化简，再求值：（1），其中 x=120一艘轮船位于灯塔 P 南偏西 60方向的 A 处，它向东航行 20 海里到达灯塔 P 南偏西45方向上的 B 处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔 P 的最短距离（结果保留根号）21八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图 类别 频数（人数）频率 小说 0.5 戏剧 4 散文 10 0.25 其他 6 合计 1根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）八年级一班有多少名学生？（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出 2 名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的 2 人恰好是乙和丙的概率2 com四、解答题（共 50 分）四、解答题（共 50 分）22如图所示，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=的图象交于 A（2，4），B（4，n）两点（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C，连接 AC，求ACB 的面积23如图，ABD 是O 的内接三角形，E 是弦 BD 的中点，点 C 是O 外一点且DBC=A，连接 OE 延长与圆相交于点 F，与 BC 相交于点 C（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若O 的半径为 6，BC=8，求弦 BD 的长24天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买 A 型和 B 型两行环保节能公交车共 10 辆，若购买 A 型公交车 1 辆，B 型公交车 2 辆，共需 400 万元；若购买 A 型公交车 2 辆，B 型公交车 1 辆，共需 350 万元，（1）求购买 A 型和 B 型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上 A 型和 B 型公交车每辆年均载客量分别为 60 万人次和 100 万人次 若该公司购买 A 型和 B 型公交车的总费用不超过 1220 万元，且确保这 10 辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于 650 万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？25 ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90，DEF 的顶点 E 与ABC 的斜边 BC 的中点重合，将DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q（1）如图，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证：BPECQE；（2）如图，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当 BP=2，CQ=9时 BC 的长【来源：21cnj*y.co*m】26如图所示，在平面直角坐标系中 xOy 中，抛物线 y=ax22ax3a（a0）与 x 轴交于A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），经过点 A 的直线 l：y=kx+b 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD=4AC（1）求 A、B 两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示）；（3）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为，求 a 的值；（4）设 P 是抛物线对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由2024 年甘肃省天水市中考数学试卷2024 年甘肃省天水市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1若 x 与 3 互为相反数，则|x+3|等于（）A0B1C2D3【考点】15：绝对值；14：相反数【分析】先求出 x 的值，进而可得出结论【解答】解：x 与 3 互为相反数，x=3，|x+3|=|3+3|=0故选 A2如图所示的几何体是由 5 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（）ABCD【考点】U2：简单组合体的三视图【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中【解答】解：从上面看易得横着的“”字，故选 C3下列运算正确的是（）A2x+y=2xy Bx2y2=2xy2C2xx2=2x D4x5x=1【考点】4H：整式的除法；35：合并同类项；49：单项式乘单项式【分析】直接利用合并同类项法则和整式的乘除运算法则分别化简求出答案【解答】解：A、2x+y 无法计算，故此选项错误；B、x2y2=2xy2，正确；C、2xx2=，故此选项错误；D、4x5x=x，故此选项错误；故选：B4下列说法正确的是（）A不可能事件发生的概率为 0B随机事件发生的概率为C概率很小的事件不可能发生D投掷一枚质地均匀的硬币 1000 次，正面朝上的次数一定是 500 次【考点】X3：概率的意义【分析】根据不可能事件是指在任何条件下不会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的机会大于 0 并且小于 1，进行判断【解答】解：A、不可能事件发生的概率为 0，故本选项正确；B、随机事件发生的概率 P 为 0P1，故本选项错误；C、概率很小的事件，不是不发生，而是发生的机会少，故本选项错误；D、投掷一枚质地均匀的硬币 1000 次，是随机事件，正面朝上的次数不确定是多少次，故本选项错误；故选 A5 我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 130 000 000kg 的煤所产生的能量把 130 000 000kg 用科学记数法可表示为（）A13107kg B0.13108kgC1.3107kgD1.3108kg【考点】1I：科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【来源：21世纪教育网】【解答】解：130 000 000kg=1.3108kg故选：D6在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，则 cosB 的值为（）ABCD【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义【分析】先设小正方形的边长为 1，然后找个与B 有关的 RTABD，算出 AB 的长，再求出BD 的长，即可求出余弦值【解答】解：设小正方形的边长为 1，则 AB=4，BD=4，cosB=故选 B7关于的叙述不正确的是（）A=2B面积是 8 的正方形的边长是C是有理数D在数轴上可以找到表示的点【考点】27：实数【分析】=2，是无理数，可以在数轴上表示，还可以表示面积是 8 的正方形的边长，由此作判断【解答】解：A、=2，所以此选项叙述正确；B、面积是 8 的正方形的边长是，所以此选项叙述正确；C、=2，它是无理数，所以此选项叙述不正确；D、数轴既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上可以找到表示的点；所以此选项叙述正确；本题选择叙述不正确的，故选 C8下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（）函数 y=x；函数 y=x2；函数 y=A B C D都不是【考点】G2：反比例函数的图象；F4：正比例函数的图象；H2：二次函数的图象；R5：中心对称图形【分析】函数是中心对称图形，对称中心是原点【解答】解：根据中心对称图形的定义可知函数是中心对称图形故选 C9如图，AB 是圆 O 的直径，弦 CDAB，BCD=30，CD=4，则 S阴影=（）A2B C D【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理；MO：扇形面积的计算【分析】根据垂径定理求得 CE=ED=2，然后由圆周角定理知DOE=60，然后通过解直角三角形求得线段 OD、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入 S阴影=S扇形 ODBSDOE+SBEC【解答】解：如图，假设线段 CD、AB 交于点 E，AB 是O 的直径，弦 CDAB，CE=ED=2，又BCD=30，DOE=2BCD=60，ODE=30，OE=DEcot60=2=2，OD=2OE=4，S阴影=S扇形 ODBSDOE+SBEC=OEDE+BECE=2+2=故选 B10如图，在等腰ABC 中，AB=AC=4cm，B=30，点 P 从点 B 出发，以cm/s 的速度沿BC 方向运动到点 C 停止，同时点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BAAC 方向运动到点 C停止，若BPQ 的面积为 y（cm2），运动时间为 x（s），则下列最能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（）2-1-c-n-j-yABCD【考点】E7：动点问题的函数图象【分析】作 AHBC 于 H，根据等腰三角形的性质得 BH=CH，利用B=30可计算出 AH=AB=2，BH=AH=2，则 BC=2BH=4，利用速度公式可得点 P 从 B 点运动到 C 需 4s，Q 点运动到 C 需 8s，然后分类讨论：当 0 x4 时，作 QDBC 于 D，如图 1，BQ=x，BP=x，DQ=BQ=x，利用三角形面积公式得到 y=x2；当 4x8 时，作 QDBC 于 D，如图 2，CQ=8x，BP=4，DQ=CQ=（8x），利用三角形面积公式得 y=x+8，于是可得 0 x4 时，函数图象为抛物线的一部分，当 4x8 时，函数图象为线段，则易得答案为 D【解答】解：作 AHBC 于 H，AB=AC=4cm，BH=CH，B=30，AH=AB=2，BH=AH=2，BC=2BH=4，点 P 运动的速度为cm/s，Q 点运动的速度为 1cm/s，点 P 从 B 点运动到 C 需 4s，Q 点运动到 C 需 8s，当 0 x4 时，作 QDBC 于 D，如图 1，BQ=x，BP=x，在 RtBDQ 中，DQ=BQ=x，y=xx=x2，当 4x8 时，作 QDBC 于 D，如图 2，CQ=8x，BP=4在 RtBDQ 中，DQ=CQ=（8x），y=（8x）4=x+8，综上所述，y=故选 D二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）11若式子有意义，则 x 的取值范围是x2 且 x0【考点】72：二次根式有意义的条件；62：分式有意义的条件【分析】分式中：分母不为零、分子的被开方数是非负数【解答】解：根据题意，得x+20，且 x0，解得 x2 且 x0故答案是：x2 且 x012分解因式：x3x=x（x+1）（x1）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用【分析】本题可先提公因式 x，分解成 x（x21），而 x21 可利用平方差公式分解【解答】解：x3x，=x（x21），=x（x+1）（x1）故答案为：x（x+1）（x1）13定义一种新的运算：x*y=，如：3*1=，则（2*3）*2=2【考点】1G：有理数的混合运算【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（）*2=4*2=2，故答案为：214如图所示，在矩形 ABCD 中，DAC=65，点 E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于点 F，将BCE沿 BE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C处，则AFC=40【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质【分析】根据直角三角形两锐角互余求出ACD，再根据翻折变换的性质判断出四边形BCEC是正方形，根据正方形的性质可得BEC=45，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出BFC，再根据翻折变换的性质可得BFC=BFC，然后根据平角等于180列式计算即可得解【解答】解：矩形 ABCD，DAC=65，ACD=90DAC=9065=25，BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C处，四边形 BCEC是正方形，BEC=45，由三角形的外角性质，BFC=BEC+ACD=45+25=70，由翻折的性质得，BFC=BFC=70，AFC=180BFCBFC=1807070=40故答案为：4015观察下列的“蜂窝图”则第 n 个图案中的“”的个数是3n+1（用含有 n 的代数式表示）【考点】38：规律型：图形的变化类【分析】根据题意可知：第 1 个图有 4 个图案，第 2 个共有 7 个图案，第 3 个共有 10 个图案，第 4 个共有 13个图案，由此可得出规律21cnjy【解答】解：由题意可知：每 1 个都比前一个多出了 3 个“”，第 n 个图案中共有“”为：4+3（n1）=3n+1故答案为：3n+116如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部（点 O）20 米的 A 处，则小明的影子 AM 长为5米【考点】SA：相似三角形的应用【分析】易得：ABMOCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长【解答】解：根据题意，易得MBAMCO，根据相似三角形的性质可知=，即=，解得 AM=5m则小明的影长为 5 米17如图所示，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是边 BC 上的一点，且 BE=1，P 是对角线 AC 上的一动点，连接 PB、PE，当点 P 在 AC 上运动时，PBE 周长的最小值是6【考点】PA：轴对称最短路线问题；LE：正方形的性质【分析】根据两点之间线段最短和点 B 和点 D 关于 AC 对称，即可求得PBE 周长的最小值，本题得以解决【解答】解：连接 DE 于 AC 交于点 P，连接 BP，则此时BPE 的周长就是PBE 周长的最小值，BE=1，BC=CD=4，CE=3，DE=5，BP+PE=DE=5，PBE 周长的最小值是 5+1=6，故答案为：618如图是抛物线 y1=ax2+bx+c（a0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是 A（1，3），与 x 轴的一个交点是 B（4，0），直线 y2=mx+n（m0）与抛物线交于 A，B 两点，下列结论：abc0；方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根；抛物线与 x 轴的另一个交点是（1，0）；当 1x4 时，有 y2y1；x（ax+b）a+b，其中正确的结论是（只填写序号）【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与 x轴的交点【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可【解答】解：由图象可知：a0，b0，c0，故 abc0，故错误观察图象可知，抛物线与直线 y=3 只有一个交点，故方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根，故正确根据对称性可知抛物线与 x 轴的另一个交点是（2，0），故错误，观察图象可知，当 1x4 时，有 y2y1，故错误，因为 x=1 时，y1有最大值，所以 ax2+bx+ca+b+c，即 x（ax+b）a+b，故正确，所以正确，故答案为三、解答题（本大题共 3 小题，共 28 分）三、解答题（本大题共 3 小题，共 28 分）19（1）计算：14+sin60+（）2（）0（2）先化简，再求值：（1），其中 x=1【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；（2）原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）14+sin60+（）2（）0=1+2+41=5；（2）（1）=，当 x=1 时，原式=20一艘轮船位于灯塔 P 南偏西 60方向的 A 处，它向东航行 20 海里到达灯塔 P 南偏西45方向上的 B 处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔 P 的最短距离（结果保留根号）【考点】TB：解直角三角形的应用方向角问题；KU：勾股定理的应用【分析】利用题意得到 ACPC，APC=60，BPC=45，AP=20，如图，在 RtAPC 中，利用余弦的定义计算出 PC=10，利用勾股定理计算出 AC=10，再判断PBC 为等腰直角三角形得到 BC=PC=10，然后计算 ACBC 即可【解答】解：如图，ACPC，APC=60，BPC=45，AP=200，在 RtAPC 中，cosAPC=，PC=20cos60=10，AC=10，在PBC 中，BPC=45，PBC 为等腰直角三角形，BC=PC=10，AB=ACBC=1010（海里）答：轮船航行途中与灯塔 P 的最短距离是（1010）海里21八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图 类别 频数（人数）频率 小说 0.5 戏剧 4 散文 10 0.25 其他 6 合计 1根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）八年级一班有多少名学生？（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出 2 名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的 2 人恰好是乙和丙的概率21cnjycom【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图【分析】（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数；（2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可；（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率【解答】解：（1）喜欢散文的有 10 人，频率为 0.25，总人数=100.25=40（人）；（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为100%=15%，故答案为：15%；（3）画树状图，如图所示：所有等可能的情况有 12 种，其中恰好是丙与乙的情况有 2 种，P（丙和乙）=四、解答题（共 50 分）四、解答题（共 50 分）22如图所示，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=的图象交于 A（2，4），B（4，n）两点（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C，连接 AC，求ACB 的面积【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）将点 A 坐标代入 y=可得反比例函数解析式，据此求得点 B 坐标，根据 A、B两点坐标可得直线解析式；（2）根据点 B 坐标可得底边 BC=2，由 A、B 两点的横坐标可得 BC 边上的高，据此可得【解答】解：（1）将点 A（2，4）代入 y=，得：m=8，则反比例函数解析式为 y=，当 x=4 时，y=2，则点 B（4，2），将点 A（2，4）、B（4，2）代入 y=kx+b，得：，解得：，则一次函数解析式为 y=x+2；（2）由题意知 BC=2，则ACB 的面积=26=623如图，ABD 是O 的内接三角形，E 是弦 BD 的中点，点 C 是O 外一点且DBC=A，连接 OE 延长与圆相交于点 F，与 BC 相交于点 C（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若O 的半径为 6，BC=8，求弦 BD 的长【考点】MD：切线的判定【分析】（1）连接 OB，由垂径定理的推论得出 BE=DE，OEBD，=，由圆周角定理得出BOE=A，证出OBE+DBC=90，得出OBC=90即可；（2）由勾股定理求出 OC，由OBC 的面积求出 BE，即可得出弦 BD 的长【解答】（1）证明：连接 OB，如图所示：E 是弦 BD 的中点，BE=DE，OEBD，=，BOE=A，OBE+BOE=90，DBC=A，BOE=DBC，OBE+DBC=90，OBC=90，即 BCOB，BC 是O 的切线；（2）解：OB=6，BC=8，BCOB，OC=10，OBC 的面积=OCBE=OBBC，BE=4.8，BD=2BE=9.6，即弦 BD 的长为 9.624天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买 A 型和 B 型两行环保节能公交车共 10 辆，若购买 A 型公交车 1 辆，B 型公交车 2 辆，共需 400 万元；若购买 A 型公交车 2 辆，B 型公交车 1 辆，共需 350 万元，（1）求购买 A 型和 B 型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上 A 型和 B 型公交车每辆年均载客量分别为 60 万人次和 100 万人次 若该公司购买 A 型和 B 型公交车的总费用不超过 1220 万元，且确保这 10 辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于 650 万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？【考点】CE：一元一次不等式组的应用；9A：二元一次方程组的应用【分析】（1）设购买 A 型公交车每辆需 x 万元，购买 B 型公交车每辆需 y 万元，根据“A型公交车 1 辆，B 型公交车 2 辆，共需 400 万元；A 型公交车 2 辆，B 型公交车 1 辆，共需350 万元”列出方程组解决问题；21 世纪教育网版权所有（2）设购买 A 型公交车 a 辆，则 B 型公交车（10a）辆，由“购买 A 型和 B 型公交车的总费用不超过 1220 万元”和“10 辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 650 万人次”列出不等式组探讨得出答案即可【解答】解：（1）设购买 A 型公交车每辆需 x 万元，购买 B 型公交车每辆需 y 万元，由题意得，解得，答：购买 A 型公交车每辆需 100 万元，购买 B 型公交车每辆需 150 万元（2）设购买 A 型公交车 a 辆，则 B 型公交车（10a）辆，由题意得，解得：a，因为 a 是整数，所以 a=6，7，8；则（10a）=4，3，2；三种方案：购买 A 型公交车 6 辆，则 B 型公交车 4 辆：1006+1504=1200 万元；购买 A 型公交车 7 辆，则 B 型公交车 3 辆：1007+1503=1150 万元；购买 A 型公交车 8 辆，则 B 型公交车 2 辆：1008+1502=1100 万元；购买 A 型公交车 8 辆，则 B 型公交车 2 辆费用最少，最少总费用为 1100 万元25 ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90，DEF 的顶点 E 与ABC 的斜边 BC 的中点重合，将DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q（1）如图，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证：BPECQE；（2）如图，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当 BP=2，CQ=9时 BC 的长【来源：21cnj*y.co*m】【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性质【分析】（1）由ABC 是等腰直角三角形，易得B=C=45，AB=AC，又由 AP=AQ，E 是BC 的中点，利用 SAS，可证得：BPECQE；（2）由ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，易得B=C=DEF=45，然后利用三角形的外角的性质，即可得BEP=EQC，则可证得：BPECEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 BE 的长，即可得 BC 的长，【解答】（1）证明：ABC 是等腰直角三角形，B=C=45，AB=AC，AP=AQ，BP=CQ，E 是 BC 的中点，BE=CE，在BPE 和CQE 中，BPECQE（SAS）；（2）解：连接 PQ，ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，B=C=DEF=45，BEQ=EQC+C，即BEP+DEF=EQC+C，BEP+45=EQC+45，BEP=EQC，BPECEQ，=，BP=2，CQ=9，BE=CE，BE2=18，BE=CE=3，BC=626如图所示，在平面直角坐标系中 xOy 中，抛物线 y=ax22ax3a（a0）与 x 轴交于A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），经过点 A 的直线 l：y=kx+b 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD=4AC（1）求 A、B 两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示）；（3）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为，求 a 的值；（4）设 P 是抛物线对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线 l：y=kx+b 过 A（1，0），得到直线 l：y=kx+k，解方程得到点 D 的横坐标为 4，求得 k=a，得到直线 l 的函数表达式为 y=ax+a；（3）过 E 作 EFy 轴交直线 l 于 F，设 E（x，ax22ax3a），得到 F（x，ax+a），求出EF=ax23ax4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令 ax22ax3a=ax+a，即 ax23ax4a=0，得到 D（4，5a），设 P（1，m），若AD 是矩 形 ADPQ 的 一条 边，若 AD 是 矩 形 APDQ 的 对 角 线，列 方 程 即 可 得 到 结论www.21-cn-【解答】解：（1）当 y=0 时，ax22ax3a=0，解得：x1=1，x2=3，A（1，0），B（3，0），对称轴为直线 x=1；（2）直线 l：y=kx+b 过 A（1，0），0=k+b，即 k=b，直线 l：y=kx+k，抛物线与直线 l 交于点 A，D，ax22ax3a=kx+k，即 ax2（2a+k）x3ak=0，CD=4AC，点 D 的横坐标为 4，3=14，k=a，直线 l 的函数表达式为 y=ax+a；（3）过 E 作 EFy 轴交直线 l 于 F，设 E（x，ax22ax3a），则 F（x，ax+a），EF=ax22ax3aaxa=ax23ax4a，SACE=SAFESCEF=（ax23ax4a）（x+1）（ax23ax4a）x=（ax23ax4a）=a（x）2a，21 教育网ACE 的面积的最大值=a，ACE 的面积的最大值为，a=，解得 a=；（4）以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能成为矩形，令 ax22ax3a=ax+a，即 ax23ax4a=0，解得：x1=1，x2=4，D（4，5a），抛物线的对称轴为直线 x=1，设 P（1，m），若 AD 是矩形 ADPQ 的一条边，则易得 Q（4，21a），m=21a+5a=26a，则 P（1，26a），四边形 ADPQ 是矩形，ADP=90，AD2+PD2=AP2，52+（5a）2+32+（265a）2=22+（26a）2，即 a2=，a0，a=，P（1，）；若 AD 是矩形 APDQ 的对角线，则易得 Q（2，3a），m=5a（3a）=8a，则 P（1，8a），四边形 APDQ 是矩形，APD=90，AP2+PD2=AD2，（11）2+（8a）2+（14）+（8a5a）2=52+（5a）2，即 a2=，a0，a=，P（1，4），综上所述，点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能成为矩形，点 P（1，）或（1，4）