湖南省益阳市中考数学试卷（含解析版）.pdf

湖南省益阳市中考数学试卷湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4 分）（2014益阳）四个实数2，0，1 中，最大的实数是（）A2B0CD12（4 分）（2014益阳）下列式子化简后的结果为 x6的是（）Ax3+x3Bx3x3C（x3）3Dx12x23（4 分）（2014益阳）小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题 6 个，数学题5 个，综合题 9 个，她从中随机抽取 1 个，抽中数学题的概率是（）ABCD4（4 分）（2014益阳）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD5（4 分）（2014益阳）一元二次方程 x22x+m=0 总有实数根，则 m 应满足的条件是（）Am1Bm=1Cm1Dm16（4 分）（2014益阳）正比例函数 y=6x 的图象与反比例函数 y=的图象的交点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第一、三象限7（4 分）（2014益阳）如图，平行四边形 ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上的两点，如果添加一个条件使ABECDF，则添加的条件不能是（）AAE=CFBBE=FDCBF=DED1=28（4 分）（2014益阳）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的P 的圆心 P 的坐标为（3，0），将P 沿 x 轴正方向平移，使P 与 y 轴相切，则平移的距离为（）A1B1 或 5C3D5 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）9（4 分）（2014益阳）若 x29=（x3）（x+a），则 a=10（4 分）（2014益阳）分式方程=的解为 11（4 分）（2014益阳）小斌所在的课外活动小组在大课间活动中练习立定跳远，成绩如下（单位：米）：1.96，2.16，2.04，2.20，1.98，2.22，2.32，则这组数据的中位数是 米12（4 分）（2014益阳）小明放学后步行回家，他离家的路程 s（米）与步行时间 t（分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是 米/分钟 13（4 分）（2014益阳）如图，将等边ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转，使边 AB 与AC 重合得ACD，BC 的中点 E 的对应点为 F，则EAF 的度数是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 12 分）分）14（6 分）（2014益阳）计算：|3|+30 15（6 分）（2014益阳）如图，EFBC，AC 平分BAF，B=80求C 的度数 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分）16（8 分）（2014益阳）先化简，再求值：（+2）（x2）+（x1）2，其中x=17（8 分）（2014益阳）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：（1）求被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有 1200 名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？18（8 分）（2014益阳）“中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥如图，新大桥的两端位于 A、B 两点，小张为了测量 A、B 之间的河宽，在垂直于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得如下数据：BAD=76.1，BCA=68.2，CD=82 米求 AB 的长（精确到 0.1 米）参考数据：sin76.10.97，cos76.10.24，tan76.14.0；sin68.20.93，cos68.20.37，tan68.22.5 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分）19（10 分）（2014益阳）某电器超市销售每台进价分别为 200 元、170 元的 A、B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售数量销售时段A 种型号B 种型号销售收入第一周3 台5 台1800 元第二周4 台10 台3100 元（进价、售价均保持不变，利润=销售收入进货成本）（1）求 A、B 两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于 5400 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 30 台，求 A 种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这 30 台电风扇能否实现利润为 1400 元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由 20（10 分）（2014益阳）如图，直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，抛物线y=a（x2）2+k 经过点 A、B，并与 X 轴交于另一点 C，其顶点为 P（1）求 a，k 的值；（2）抛物线的对称轴上有一点 Q，使ABQ 是以 AB 为底边的等腰三角形，求 Q 点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点 M、N，使以 A，C，M，N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长 六、解答题（本题满分六、解答题（本题满分 12 分）分）21（12 分）（2014益阳）如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ADAB，B=60，AB=10，BC=4，点 P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 AP=x（1）求 AD 的长；（2）点 P 在运动过程中，是否存在以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由；（3）设ADP 与PCB 的外接圆的面积分别为 S1、S2，若 S=S1+S2，求 S 的最小值 湖南省益阳市中考数学试卷湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4 分）（2014益阳）四个实数2，0，1 中，最大的实数是（）A2B0CD1 考点：实数大小比较菁分析：根据正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数，比较即可解答：解：201，四个实数中，最大的实数是 1故选 D点评：本题考查了实数大小比较，关键要熟记：正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小 2（4 分）（2014益阳）下列式子化简后的结果为 x6的是（）Ax3+x3Bx3x3C（x3）3Dx12x2 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方分析：根据同底数幂的运算法则进行计算即可解答：解：A、原式=2x3，故本选项错误；B、原式=x6，故本选项错误；C、原式=x9，故本选项错误；D、原式=x122=x10，故本选项错误故选 B点评：本题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法及乘方法则、合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键 3（4 分）（2014益阳）小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题 6 个，数学题5 个，综合题 9 个，她从中随机抽取 1 个，抽中数学题的概率是（）ABCD 考点：概率公式分析：由小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题 6 个，数学题 5 个，综合题 9 个，直接利用概率公式求解即可求得答案解答：解：小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题 6 个，数学题 5 个，综合题 9 个，她从中随机抽取 1 个，抽中数学题的概率是：=故选 C点评：此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 4（4 分）（2014益阳）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD 考点：中心对称图形；轴对称图形分析：根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出解答：解：A、此图形旋转 180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、此图形旋转 180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转 180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；D、此图形旋转 180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误故选 C点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键 5（4 分）（2014益阳）一元二次方程 x22x+m=0 总有实数根，则 m 应满足的条件是（）Am1Bm=1Cm1Dm1 考点：根的判别式分析：根据根的判别式，令0，建立关于 m 的不等式，解答即可解答：解：方程 x22x+m=0 总有实数根，0，即 44m0，4m4，m1故选 D点评：本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根 6（4 分）（2014益阳）正比例函数 y=6x 的图象与反比例函数 y=的图象的交点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第一、三象限 考点：反比例函数与一次函数的交点问题专题：计算题分析：根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组即可得到两函数的交点坐标，然后根据交点坐标进行判断解答：解：解方程组得或，所以正比例函数 y=6x 的图象与反比例函数 y=的图象的交点坐标为（1，6），（1，6）故选 D点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式 7（4 分）（2014益阳）如图，平行四边形 ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上的两点，如果添加一个条件使ABECDF，则添加的条件是（）AAE=CFBBE=FDCBF=DED1=2 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定分析：利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可解答：解：A、当 AE=CF 无法得出ABECDF，故此选项符合题意；B、当 BE=FD，平行四边形 ABCD 中，AB=CD，ABE=CDF，在ABE 和CDF 中，ABECDF（SAS），故此选项错误；C、当 BF=ED，BE=DF，平行四边形 ABCD 中，AB=CD，ABE=CDF，在ABE 和CDF 中，ABECDF（SAS），故此选项错误；D、当1=2，平行四边形 ABCD 中，AB=CD，ABE=CDF，在ABE 和CDF 中，ABECDF（ASA），故此选项错误；故选：A点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键 8（4 分）（2014益阳）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的P 的圆心 P 的坐标为（3，0），将P 沿 x 轴正方向平移，使P 与 y 轴相切，则平移的距离为（）A1B1 或 5C3D5 考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质分析：平移分在 y 轴的左侧和 y 轴的右侧两种情况写出答案即可解答：解：当P 位于 y 轴的左侧且与 y 轴相切时，平移的距离为 1；当P 位于 y 轴的右侧且与 y 轴相切时，平移的距离为 5故选 B点评：本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）9（4 分）（2014益阳）若 x29=（x3）（x+a），则 a=3 考点：因式分解-运用公式法分析：直接利用平方差公式进行分解得出即可解答：解：x29=（x+3）（x3）=（x3）（x+a），a=3故答案为：3点评：此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键 10（4 分）（2014益阳）分式方程=的解为 x=9 考点：解分式方程专题：计算题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解解答：解：去分母得：4x=3x9，解得：x=9，经检验 x=9 是分式方程的解故答案为：x=9点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 11（4 分）（2014益阳）小斌所在的课外活动小组在大课间活动中练习立定跳远，成绩如下（单位：米）：1.96，2.16，2.04，2.20，1.98，2.22，2.32，则这组数据的中位数是 2.16 米 考点：中位数分析：根据中位数的概念求解解答：解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1.96，1.98，2.04，2.16，2.20，2.22，2.32，则中位数为：2.16故答案为：2.16点评：本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 12（4 分）（2014益阳）小明放学后步行回家，他离家的路程 s（米）与步行时间 t（分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是 80 米/分钟 考点：函数的图象分析：他步行回家的平均速度=总路程总时间，据此解答即可解答：解：由图知，他离家的路程为 1600 米，步行时间为 20 分钟，则他步行回家的平均速度是：160020=80（米/分钟），故答案为：80点评：本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决 13（4 分）（2014益阳）如图，将等边ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转，使边 AB 与AC 重合得ACD，BC 的中点 E 的对应点为 F，则EAF 的度数是 60 考点：旋转的性质；等边三角形的性质分析：根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出EAF 的度数解答：解：将等边ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转，使边 AB 与 AC 重合得ACD，BC 的中点 E 的对应点为 F，旋转角为 60，E，F 是对应点，则EAF 的度数为：60故答案为：60点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 12 分）分）14（6 分）（2014益阳）计算：|3|+30 考点：实数的运算；零指数幂专题：计算题分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用立方根定义化简，计算即可得到结果解答：解：原式=3+13=1点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 15（6 分）（2014益阳）如图，EFBC，AC 平分BAF，B=80求C 的度数 考点：平行线的性质分析：根据两直线平行，同旁内角互补求出BAF，再根据角平分线的定义求出CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答解答：解：EFBC，BAF=180B=100，AC 平分BAF，CAF=BAF=50，EFBC，C=CAF=50点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分）16（8 分）（2014益阳）先化简，再求值：（+2）（x2）+（x1）2，其中x=考点：分式的化简求值专题：计算题分析：原式第一项利用乘法分配律计算，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值解答：解：原式=1+2x4+x22x+1=x22，当 x=时，原式=32=1点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 17（8 分）（2014益阳）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：（1）求被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有 1200 名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图分析：（1）利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数；（2）利用（1）中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可；（3）首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的学生数解答：解：（1）被调查的学生人数为：1220%=60（人）；（2）喜欢艺体类的学生数为：60241216=8（人），如图所示：；（3）全校最喜爱文学类图书的学生约有：1200=480（人）点评：此题主要考查了条形统计图的应用以及扇形统计图应用、利用样本估计总体等知识，利用图形得出正确信息求出样本容量是解题关键 18（8 分）（2014益阳）“中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥如图，新大桥的两端位于 A、B 两点，小张为了测量 A、B 之间的河宽，在垂直于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得如下数据：BAD=76.1，BCA=68.2，CD=82 米求 AB 的长（精确到 0.1 米）参考数据：sin76.10.97，cos76.10.24，tan76.14.0；sin68.20.93，cos68.20.37，tan68.22.5 考点：解直角三角形的应用分析：设 AD=x 米，则 AC=（x+82）米在 RtABC 中，根据三角函数得到AB=2.5（x+82），在 RtABD 中，根据三角函数得到 AB=4x，依此得到关于 x 的方程，进一步即可求解解答：解：设 AD=x 米，则 AC=（x+82）米在 RtABC 中，tanBCA=，AB=ACtanBCA=2.5（x+82）在 RtABD 中，tanBDA=，AB=ADtanBDA=4x2.5（x+82）=4x，解得 x=AB=4x=4546.7答：AB 的长约为 546.7 米点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分）19（10 分）（2014益阳）某电器超市销售每台进价分别为 200 元、170 元的 A、B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售数量销售时段A 种型号B 种型号销售收入第一周3 台5 台1800 元第二周4 台10 台3100 元（进价、售价均保持不变，利润=销售收入进货成本）（1）求 A、B 两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于 5400 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 30 台，求 A 种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这 30 台电风扇能否实现利润为 1400 元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由 考点：二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用菁分析：（1）设 A、B 两种型号电风扇的销售单价分别为 x 元、y 元，根据 3 台 A型号 5 台 B 型号的电扇收入 1800 元，4 台 A 型号 10 台 B 型号的电扇收入3100 元，列方程组求解；（2）设采购 A 种型号电风扇 a 台，则采购 B 种型号电风扇（30a）台，根据金额不多余 5400 元，列不等式求解；（3）设利润为 1400 元，列方程求出 a 的值为 20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标解答：解：（1）设 A、B 两种型号电风扇的销售单价分别为 x 元、y 元，依题意得：，解得：，答：A、B 两种型号电风扇的销售单价分别为 250 元、210 元；（2）设采购 A 种型号电风扇 a 台，则采购 B 种型号电风扇（30a）台依题意得：200a+170（30a）5400，解得：a10答：超市最多采购 A 种型号电风扇 10 台时，采购金额不多于 5400 元；（3）依题意有：（250200）a+（210170）（30a）=1400，解得：a=20，a10，在（2）的条件下超市不能实现利润 1400 元的目标点评：本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解 20（10 分）（2014益阳）如图，直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，抛物线y=a（x2）2+k 经过点 A、B，并与 X 轴交于另一点 C，其顶点为 P（1）求 a，k 的值；（2）抛物线的对称轴上有一点 Q，使ABQ 是以 AB 为底边的等腰三角形，求 Q 点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点 M、N，使以 A，C，M，N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长 考点：二次函数综合题分析：（1）先求出直线 y=3x+3 与 x 轴交点 A，与 y 轴交点 B 的坐标，再将 A、B两点坐标代入 y=a（x2）2+k，得到关于 a，k 的二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设 Q 点的坐标为（2，m），对称轴 x=2 交 x 轴于点 F，过点 B 作 BE 垂直于直线 x=2 于点 E在 RtAQF 与 RtBQE 中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，由 AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3m）2，解方程求出 m=2，即可求得 Q 点的坐标；（3）当点 N 在对称轴上时，由 NC 与 AC 不垂直，得出 AC 为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到 M 点与顶点 P（2，1）重合，N 点为点 P 关于 x 轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且 ACMN，则四边形 AMCN 为正方形，在 RtAFN 中根据勾股定理即可求出正方形的边长解答：解：（1）直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，A（1，0），B（0，3）又抛物线抛物线 y=a（x2）2+k 经过点 A（1，0），B（0，3），解得，故 a，k 的值分别为 1，1；（2）设 Q 点的坐标为（2，m），对称轴 x=2 交 x 轴于点 F，过点 B 作 BE 垂直于直线 x=2 于点 E在 RtAQF 中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在 RtBQE 中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，AQ=BQ，1+m2=4+（3m）2，m=2，Q 点的坐标为（2，2）；（3）当点 N 在对称轴上时，NC 与 AC 不垂直，所以 AC 应为正方形的对角线又对称轴 x=2 是 AC 的中垂线，M 点与顶点 P（2，1）重合，N 点为点 P 关于 x 轴的对称点，其坐标为（2，1）此时，MF=NF=AF=CF=1，且 ACMN，四边形 AMCN 为正方形在 RtAFN 中，AN=，即正方形的边长为点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度适中 六、解答题（本题满分六、解答题（本题满分 12 分）分）21（12 分）（2014益阳）如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ADAB，B=60，AB=10，BC=4，点 P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 AP=x（1）求 AD 的长；（2）点 P 在运动过程中，是否存在以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由；（3）设ADP 与PCB 的外接圆的面积分别为 S1、S2，若 S=S1+S2，求 S 的最小值 考点：相似形综合题分析：（1）过点C作CEAB于E，根据CE=BCsinB求出CE，再根据AD=CE即可求出 AD；（2）若以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似，则PCB 必有一个角是直角分两种情况讨论：当PCB=90时，求出 AP，再根据在 RtADP 中DPA=60，得出DPA=B，从而得到ADPCPB，当CPB=90时，求出 AP=3，根据且，得出PCB 与ADP 不相似（3）先求出 S1=x，再分两种情况讨论：当 2x10 时，作BC 的垂直平分线交 BC 于 H，交 AB 于 G；作 PB 的垂直平分线交 PB于 N，交 GH 于 M，连结 BM，在 RtGBH 中求出 BG、BN、GN，在RtGMN 中，求出 MN=（x1），在 RtBMN 中，求出 BM2=x2x+，最后根据 S1=xBM2代入计算即可 当 0 x2 时，S2=x（x2x+），最后根据 S=S1+S2=x（x）2+x 即可得出S 的最小值解答：解：（1）过点 C 作 CEAB 于 E，在 RtBCE 中，B=60，BC=4，CE=BCsinB=4=2，AD=CE=2（2）存在若以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似，则PCB 必有一个角是直角当PCB=90时，在 RtPCB 中，BC=4，B=60，PB=8，AP=ABPB=2又由（1）知 AD=2，在 RtADP 中，tanDPA=，DPA=60，DPA=CPB，ADPCPB，存在ADP 与CPB 相似，此时 x=2当CPB=90时，在 RtPCB 中，B=60，BC=4，PB=2，PC=2，AP=3则且，此时PCB 与ADP 不相似（3）如图，因为 RtADP 外接圆的直径为斜边 PD，则 S1=x（）2=x，当 2x10 时，作 BC 的垂直平分线交 BC 于 H，交 AB 于 G；作 PB 的垂直平分线交 PB 于 N，交 GH 于 M，连结 BM则 BM 为PCB外接圆的半径在 RtGBH 中，BH=BC=2，MGB=30，BG=4，BN=PB=（10 x）=5 x，GN=BGBN=x1在 RtGMN 中，MN=GNtanMGN=（x1）在 RtBMN 中，BM2=MN2+BN2=x2x+，S1=xBM2=x（x2x+）当 0 x2 时，S2=x（x2x+）也成立，S=S1+S2=x+x（x2x+）=x（x）2+x当 x=时，S=S1+S2取得最小值x点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论