2022年整理全面高中数学知识点归纳总结.docx

教师版高中数学必修+选修知识点归纳
引言
1.课程内容:
必修课程由5个模块构成:
必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数)
必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3:算法初步、记录、概率。
必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。
必修5:解三角形、数列、不等式。
以上是每一种高中学生所必要学习。
上述内容覆盖了高中阶段老式数学基本知识和基本技能重要某些,其中涉及集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同是在保证打好基本同步,进一步强调了这些知识发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高规定。
此外,基本内容还增长了向量、算法、概率、记录等内容。
选修课程有4个系列:
系列1:由2个模块构成。
选修1—1:惯用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1—2:记录案例、推理与证明、数系扩充与复数、框图
系列2:由3个模块构成。
选修2—1:惯用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系扩充与复数
选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列,记录案例。
系列3:由6个专项构成。
选修3—1:数学史选讲。
选修3—2:信息安全与密码。
选修3—3:球面上几何。
选修3—4:对称与群。
选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6:三等分角与数域扩充。
系列4:由10个专项构成。
选修4—1:几何证明选讲。
选修4—2:矩阵与变换。
选修4—3:数列与差分。
选修4—4:坐标系与参数方程。
选修4—5:不等式选讲。
选修4—6:初等数论初步。
选修4—7:优选法与实验设计初步。
选修4—8:统筹法与图论初步。
选修4—9:风险与决策。
选修4—10:开关电路与布尔代数。
2．重难点及考点:
重点:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数
难点:函数、圆锥曲线
高考有关考点:
⑴集合与简易逻辑:集合概念与运算、简易逻辑、充要条件
⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数应用 　
⑶数列:数列关于概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列应用
⑷三角函数:关于概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数图象与性质、三角函数应用
⑸平面向量:关于概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用
⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式证明、不等式解法、绝对值不等式、不等式应用
⑺直线和圆方程:直线方程、两直线位置关系、线性规划、圆、直线与圆位置关系
⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线位置关系、轨迹问题、圆锥曲线应用
⑼直线、平面、简朴几何体:空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量
⑽排列、组合和概率:排列、组合应用题、二项式定理及其应用
⑾概率与记录:概率、分布列、盼望、方差、抽样、正态分布
⑿导数:导数概念、求导、导数应用
⒀复数:复数概念与运算
必修1数学知识点
第一章:集合与函数概念
§
1、 把研究对象统称为元素,把某些元素构成总体叫做集合。集合三要素:拟定性、互异性、无序性。
2、 只要构成两个集合元素是同样,就称这两个集合相等。
3、 常用集合:正整数集合:或,整数集合:,有理数集合:,实数集合:.
4、集合表达办法:列举法、描述法.
§
1、 普通地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一种元素都是集合B中元素,则称集合A是集合B子集。记作.
2、 如果集合,但存在元素,且,则称集合A是集合B真子集.记作:AB.
3、 把不含任何元素集合叫做空集.记作:.并规定:空集合是任何集合子集.
4、 如果集合A中具有n个元素,则集合A有个子集,个真子集.
§
1、 普通地,由所有属于集合A或集合B元素构成集合,称为集合A与B并集.记作:.
2、 普通地,由属于集合A且属于集合B所有元素构成集合,称为A与B交集.记作:.
3、全集、补集?
§
1、 设A、B是非空数集,如果按照某种拟定相应关系,使对于集合A中任意一种数,在集合B中均有惟一拟定数和它相应,那么就称为集合A到集合B一种函数,记作:.
2、 一种函数构成要素为:定义域、相应关系、值域.如果两个函数定义域相似,并且相应关系完全一致,则称这两个函数相等.
§
1、 函数三种表达办法:解析法、图象法、列表法.
§
1、注意函数单调性证明办法:
(1)定义法:设那么
上是增函数;
上是减函数.
环节:取值—作差—变形—定号—判断
格式:解:设且,则:=…
(2)导数法:设函数在某个区间内可导,若,则为增函数;
若,则为减函数.
§
1、 普通地,如果对于函数定义域内任意一种,均有,那么就称函数为偶函数.偶函数图象关于轴对称.
2、 普通地,如果对于函数定义域内任意一种,均有,那么就称函数为奇函数.奇函数图象关于原点对称.
知识链接:函数与导数
1、函数在点处导数几何意义:
函数在点处导数是曲线在处切线斜率,相应切线方程是.
2、几种常用函数导数
①;②; ③; ④;
⑤; ⑥; ⑦;⑧
3、导数运算法则
(1).
(2).
(3).
4、复合函数求导法则
复合函数导数和函数导数间关系为,即对导数等于对导数与对导数乘积.
解题环节:分层—层层求导—作积还原.
5、函数极值
(1)极值定义:
极值是在附近所有点,均有＜,则是函数极大值;
极值是在附近所有点,均有＞,则是函数极小值.
(2)鉴别办法:

图
象

性
质
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
(4)在 R上是增函数
(4)在R上是减函数
(5);
(5);
①如果在附近左侧＞0,右侧＜0,那么是极大值;
②如果在附近左侧＜0,右侧＞0,那么是极小值.
6、求函数最值
(1)求在内极值(极大或者极小值)
(2)将各极值点与比较,其中最大一种为最大值,最小一种为极小值。
注:极值是在局部对函数值进行比较(局部性质);最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。
第二章:基本初等函数(Ⅰ)
§
1、 普通地,如果,那么叫做 次方根。其中.
2、 当为奇数时,;
当为偶数时,.
3、 我们规定:
⑴
;
　　⑵;
4、 运算性质:
⑴;
⑵;
⑶.
§
1、记住图象:
2、性质:
§
1、指数与对数互化式:;
2、对数恒等式:.
3、基本性质:,.
4、运算性质:当时:
⑴;
⑵;
⑶.
5、换底公式:
.
6、重要公式:
7、倒数关系:.
§2..、对数函数及其性质
1、记住图象:
2、性质:

图
象

性
质
(1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R
(3)过定点(1,0),即x=1时,y=0
(4)在 (0,+∞)上是增函数
(4)在(0,+∞)上是减函数
(5);
(5);
§、幂函数
1、几种幂函数图象:
第三章:函数应用
§
1、方程有实根
函数图象与轴有交点
函数有零点.
2、 零点存在性定理:
如果函数在区间 上图象是持续不断一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程根.
§
1、掌握二分法.
§
§
1、解决问题常规办法:先画散点图,再用恰当函数拟合,最后检查.
必修2数学知识点
第一章:空间几何体
1、空间几何体构造
⑴常用多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常用旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱:有两个面互相平行,别的各面都是四边形,并且每相邻两个四边形公共边都互相平行,由这些面所围成多面体叫做棱柱。
⑶棱台:用一种平行于棱锥底面平面去截棱锥,底面与截面之间某些,这样多面体叫做棱台。
2、空间几何体三视图和直观图
把光由一点向外散射形成投影叫中心投影,中心投影投影线交于一点;把在一束平行光线照射下投影叫平行投影,平行投影投影线是平行。
3、空间几何体表面积与体积
⑴圆柱侧面积;
⑵圆锥侧面积:
⑶圆台侧面积:
⑷体积公式:
;;
⑸球表面积和体积:
.
第二章:点、直线、平面之间位置关系
1、公理1:如果一条直线上两点在一种平面内,那么这条直线在此平面内。
2、公理2:过不在一条直线上三点,有且只有一种平面。
3、公理3:如果两个不重叠平面有一种公共点,那么它们有且只有一条过该点公共直线。
4、公理4:平行于同一条直线两条直线平行.
5、定理:空间中如果两个角两边分别相应平行,那么这两个角相等或互补。
6、线线位置关系:平行、相交、异面。
7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。
8、面面位置关系:平行、相交。
9、线面平行:
⑴鉴定:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行(简称线线平行,则线面平行)。
⑵性质:一条直线与一种平面平行,则过这条直线任一平面与此平面交线与该直线平行(简称线面平行,则线线平行)。
10、面面平行:
⑴鉴定:一种平面内两条相交直线与另一种平面平行,则这两个平面平行(简称线面平行,则面面平行)。
⑵性质:如果两个平行平面同步和第三个平面相交,那么它们交线平行(简称面面平行,则线线平行)。
11、线面垂直:
⑴定义:如果一条直线垂直于一种平面内任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵鉴定:一条直线与一种平面内两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直(简称线线垂直,则线面垂直)。
⑶性质:垂直于同一种平面两条直线平行。
12、面面垂直:
⑴定义:两个平面相交,如果它们所成二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。
⑵鉴定:一种平面通过另一种平面一条垂线,则这两个平面垂直(简称线面垂直,则面面垂直)。
⑶性质:两个平面互相垂直,则一种平面内垂直于交线直线垂直于另一种平面。(简称面面垂直,则线面垂直)。
第三章:直线与方程
1、倾斜角与斜率:
2、直线方程:
⑴点斜式:
⑵斜截式:
⑶两点式:
⑷截距式:
⑸普通式:
3、对于直线:
有:
⑴;
⑵和相交;
⑶和重叠;
⑷.
4、对于直线:
有:
⑴;
⑵和相交;
⑶和重叠;
⑷.
5、两点间距离公式:
6、点到直线距离公式:
7、两平行线间距离公式:
:与:平行,则
第四章:圆与方程
1、圆方程:
⑴原则方程:
其中圆心为,半径为.
⑵普通方程:.
其中圆心为,半径为.
2、直线与圆位置关系
直线与圆位置关系有三种:
;
;
.
弦长公式:
3、两圆位置关系:
⑴外离:;
⑵外切:;
⑶相交:;
⑷内切:;
⑸内含:.
3、空间中两点间距离公式:
必修3数学知识点
第一章:算法
1、算法三种语言:
自然语言、流程图、程序语言;
2、流程图中图框:
起止框、输入输出框、解决框、判断框、流程线等规范表达办法;
3、算法三种基本构造:
顺序构造、条件构造、循环构造
⑴顺序构造示意图:
语句n+1
语句n

(图1)
⑵条件构造示意图:
①IF-THEN-ELSE格式:
满足条件?
语句1
语句2
是
否

(图2)
满足条件?
语句
是
否
②IF-THEN格式:
(图3)
⑶循环构造示意图:
①当型(WHILE型)循环构造示意图:
满足条件?
循环体
是
否

(图4)
②直到型(UNTIL型)循环构造示意图:
满足条件?
循环体
是
否

(图5)
4、基本算法语句:
①输入语句普通格式:INPUT“提示内容”;变量
②输出语句普通格式:PRINT“提示内容”;表达式
③赋值语句普通格式:变量＝表达式
(“=”有时也用“←”).
④条件语句普通格式有两种:
IF—THEN—ELSE语句普通格式为:
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF

(图2)

IF—THEN语句普通格式为:
IF 条件 THEN
语句
END IF
(图3)

⑤循环语句普通格式是两种:
当型循环(WHILE)语句普通格式:
WHILE 条件
循环体
WEND

(图4)

直到型循环(UNTIL)语句普通格式:
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件

(图5)

⑹算法案例:
①辗转相除法—成果是以相除余数为0而得到
运用辗转相除法求最大公约数环节如下:
ⅰ):用较大数m除以较小数n得到一种商和一种余数;
ⅱ):若＝0,则n为m,n最大公约数;若≠0,则用除数n除以余数得到一种商和一种余数;
ⅲ):若＝0,则为m,n最大公约数;若≠0,则用除数除以余数得到一种商和一种余数;……
依次计算直至＝0,此时所得到即为所求最大公约数。
②更相减损术—成果是以减数与差相等而得到
运用更相减损术求最大公约数环节如下:
ⅰ):任意给出两个正数;判断它们与否都是偶数。若是,用2约简;若不是,执行第二步。
ⅱ):以较大数减去较小数,接着把较小数与所得差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得数相等为止,则这个数(等数)就是所求最大公约数。
③进位制
十进制数化为k进制数—除k取余法
k进制数化为十进制数
第二章:记录
1、抽样办法:
①简朴随机抽样(总体个数较少)
②系统抽样(总体个数较多)
③分层抽样(总体中差别明显)
注意:在N个个体总体中抽取出n个个体构成样本,每个个体被抽到机会(概率)均为。
2、总体分布预计:
⑴一表二图:
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观测总体分布趋势
注:总体分布密度曲线与横轴围成面积为1。
⑵茎叶图:
①茎叶图合用于数据较少状况,从中便于看出数据分布,以及中位数、众位数等。
②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大书写,相似数据重复写。
3、总体特性数预计:
⑴平均数:;
取值为频率分别为,则其平均数为;
注意:频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与原则差:一组样本数据
方差:;
原则差:
注:方差与原则差越小,阐明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平;方差与原则差反映数据稳定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间两类关系:函数关系与有关关系;
②制作散点图,判断线性有关关系
③线性回归方程:(最小二乘法)
注意:线性回归直线通过定点。
第三章:概率
1、随机事件及其概率:
⑴事件:实验每一种也许成果,用大写英文字母表达;
⑵必然事件、不也许事件、随机事件特点;
⑶随机事件A概率:.
2、古典概型:
⑴基本领件:一次实验中也许浮现每一种基本成果;
⑵古典概型特点:
①所有基本领件只有有限个;
②每个基本领件都是等也许发生。
⑶古典概型概率计算公式:一次实验等也许基本领件共有n个,事件A包括了其中m个基本领件,则事件A发生概率.
3、几何概型:
⑴几何概型特点:
①所有基本领件是无限个;
②每个基本领件都是等也许发生。
⑵几何概型概率计算公式:;
其中测度依照题目拟定,普通为线段、角度、面积、体积等。
4、互斥事件:
⑴不也许同步发生两个事件称为互斥事件;
⑵如果事件任意两个都是互斥事件,则称事件彼此互斥。
⑶如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生概率,等于事件A,B发生概率和,
即:
⑷如果事件彼此互斥,则有:
⑸对立事件:两个互斥事件中必有一种要发生,则称这两个事件为对立事件。
①事件对立事件记作
②对立事件一定是互斥事件,互斥事件未必是对立事件。
必修4数学知识点
第一章:三角函数
§
1、 正角、负角、零角、象限角概念.
2、 与角终边相似角集合:
.
§
1、 把长度等于半径长弧所对圆心角叫做1弧度角.
2、 .
3、弧长公式:.
4、扇形面积公式:.
§
1、 设是一种任意角,它终边与单位圆交于点,那么:
2、 设点为角终边上任意一点,那么:(设)
,,,
3、 ,,在四个象限符号和三角函数线画法.
正弦线:MP;
余弦线:OM;
正切线:AT
5、 特殊角0°,30°,45°,60°,
90°,180°,270等三角函数值.

0

§
1、 平方关系:.
2、 商数关系:.
3、 倒数关系:
§、三角函数诱导公式
(概括为“奇变偶不变,符号看象限”)
1、 诱导公式一:
(其中:)
2、 诱导公式二:
3、诱导公式三:
4、诱导公式四:
5、诱导公式五:
6、诱导公式六:
§
1、记住正弦、余弦函数图象:
2、可以对照图象讲出正弦、余弦函数有关性质:定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
3、会用五点法作图.
在上五个核心点为:

§
1、记住正切函数图象:
2、记住余切函数图象:
3、可以对照图象讲出正切函数有关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
周期函数定义:对于函数,如果存在一种非零常数T,使得当取定义域内每一种值时,均有,那么函数就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数周期.

图表归纳:正弦、余弦、正切函数图像及其性质

图象

定义域

值域
[-1,1]
[-1,1]

最值

无
周期性

奇偶性
奇
偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减
在上单调递增
在上单调递减
在上单调递增
对称性
对称轴方程:
对称中心
对称轴方程:
对称中心
无对称轴
对称中心

§、函数图象
1、对于函数:
有:振幅A,周期,初相,相位,频率.
2、可以讲出函数图象与
图象之间平移伸缩变换关系.
① 先平移后伸缩:
平移个单位
(左加右减)
横坐标不变
纵坐标变为本来A倍
纵坐标不变
横坐标变为本来倍
平移个单位
(上加下减)
② 先伸缩后平移:
横坐标不变
纵坐标变为本来A倍
纵坐标不变
横坐标变为本来倍
平移个单位
(左加右减)
平移个单位
(上加下减)
3、三角函数周期,对称轴和对称中心
函数,x∈R及函数,x∈R(A,,为常数,且A≠0)周期;函数,(A,ω,为常数,且A≠0)周期.
对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.
求函数图像对称轴与对称中心,只需令与
解出即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像拟定三角函数解析式
运用图像特性:,.
要依照周期来求,要用图像核心点来求.
§、三角函数模型简朴应用
1、 规定熟悉课本例题.
第三章、三角恒等变换
§
记住15°三角函数值:

§
1、
2、
3、
4、
5、.
6、.
§
1、,
变形: .
2、
.
变形如下:
升幂公式:
降幂公式:
3、.
4、
§、简朴三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式
(其中辅助角所在象限由点象限决定, ).
第二章:平面向量
§
1、 理解四种常用向量:力、位移、速度、加速度.
2、 既有大小又有方向量叫做向量.
§
1、 带有方向线段叫做有向线段,有向线段包括三个要素:起点、方向、长度.
2、 向量大小,也就是向量长度(或称模),记作;长度为零向量叫做零向量;长度等于1个单位向量叫做单位向量.
3、 方向相似或相反非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定:零向量与任意向量平行.
§
1、 长度相等且方向相似向量叫做相等向量.
§
1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2、≤.
§
1、 与长度相等方向相反向量叫做相反向量.
2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.
§
1、 规定:实数与向量积是一种向量,这种运算叫做向量数乘.记作:,它长度和方向规定如下:
⑴,
　　⑵当时, 方向与方向相似;当时, 方向与方向相反.
2、 平面向量共线定理:向量与 共线,当且仅当有唯一一种实数,使.
§
1、 平面向量基本定理:如果是同一平面内两个不共线向量,那么对于这一平面内任从来量,有且只有一对实数,使.
§
1、 .
§
1、 设,则:
⑴,
⑵,
⑶,
⑷.
2、 设,则:
.
§
1、设,则
⑴线段AB中点坐标为,
⑵△ABC重心坐标为.
§
1、 .
2、 在方向上投影为:.
3、 .
4、 .
5、 .
§
1、 设,则:
⑴
⑵
⑶
⑷
2、 设,则:
.
3、 两向量夹角公式
4、点平移公式
平移前点为(原坐标),平移后相应点为(新坐标),平移向量为, 则
函数图像按向量平移后图像解析式为
§
§
知识链接:空间向量
空间向量许多知识可由平面向量知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明,求值应用进行总结归纳.
1、直线方向向量和平面法向量
⑴．直线方向向量:
　　若A、B是直线上任意两点,则为直线一种方向向量;与平行任意非零向量也是直线方向向量.
⑵．平面法向量:
　　若向量所在直线垂直于平面,则称这个向量垂直于平面,记作,如果,那么向量叫做平面法向量.
⑶．平面法向量求法(待定系数法):
①建立恰当坐标系．
②设平面法向量为．
③求出平面内两个不共线向量坐标．
④依照法向量定义建立方程组.
⑤解方程组,取其中一组解,即得平面法向量.
(如图)
2、 用向量办法鉴定空间中平行关系
⑴线线平行
设直线方向向量分别是,则要证明∥,只需证明∥,即.
　即:两直线平行或重叠两直线方向向量共线。
⑵线面平行
①(法一)设直线方向向量是,平面法向量是,则要证明∥,只需证明,即.
即:直线与平面平行直线方向向量与该平面法向量垂直且直线在平面外
②(法二)要证明一条直线和一种平面平行,也可以在平面内找一种向量与已知直线方向向量是共线向量即可.
⑶面面平行
若平面法向量为,平面法向量为,要证∥,只需证∥,即证.
即:两平面平行或重叠两平面法向量共线。
3、用向量办法鉴定空间垂直关系
⑴线线垂直
设直线方向向量分别是,则要证明,只需证明,即.
即:两直线垂直两直线方向向量垂直。
⑵线面垂直
①(法一)设直线方向向量是,平面法向量是,则要证明,只需证明∥,即.
②(法二)设直线方向向量是,平面内两个相交向量分别为,若
即:直线与平面垂直直线方向向量与平面法向量共线直线方向向量与平面内两条不共线直线方向向量都垂直。
⑶面面垂直
若平面法向量为,平面法向量为,要证,只需证,即证.
即:两平面垂直两平面法向量垂直。
4、运用向量求空间角
⑴求异面直线所成角
已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上任意两点,所成角为,
　　则
⑵求直线和平面所成角
①定义:平面一条斜线和它在平面上射影所成锐角叫做这条斜线和这个平面所成角
②求法:设直线方向向量为,平面法向量为,直线与平面所成角为,与夹角为,　则为余角或补角
余角.即有:
⑶求二面角
①定义:平面内一条直线把平面分为两个某些,其中每一某些叫做半平面;从一条直线出发两个半平面所构成图形叫做二面角,这条直线叫做二面角棱,每个半平面叫做二面角面
O
A
B
O
A
B
l
二面角平面角是指在二面角棱上任取一点O,分别在两个半平面内作射线,则为二面角平面角.
如图:
②求法:设二面角两个半平面法向量分别为,再设夹角为,二面角平面角为,则二面角为夹角或其补角
依照详细图形拟定是锐角或是钝角:
◆如果是锐角,则,
即;
◆ 如果是钝角,则,
即.
5、运用法向量求空间距离
⑴点Q到直线距离
若Q为直线外一点,在直线上,为直线方向向量,=,则点Q到直线距离为
⑵点A到平面距离
若点P为平面外一点,点M为平面内任一点,
平面法向量为,则P到平面距离就等于在法向量方向上投影绝对值.
即
⑶直线与平面之间距离
当一条直线和一种平面平行时,直线上各点到平面距离相等。由此可知,直线到平面距离可转化为求直线上任一点到平面距离,即转化为点面距离。
即
⑷两平行平面之间距离
运用两平行平面间距离处处相等,可将两平行平面间距离转化为求点面距离。
即
⑸异面直线间距离
设向量与两异面直线都垂直,则两异面直线间距离就是在向量方向上投影绝对值。
即
6、三垂线定理及其逆定理
⑴三垂线定理:在平面内一条直线,如果它和这个平面一条斜线射影垂直,那么它也和这条斜线垂直
推理模式:
概括为:垂直于射影就垂直于斜线.
⑵三垂线定理逆定理:在平面内一条直线,如果和这个平面一条斜线垂直,那么它也和这条斜线射影垂直
推理模式:
概括为:垂直于斜线就垂直于射影.
7、三余弦定理
设AC是平面内任一条直线,AD是一条斜线AB在内射影,且BD⊥AD,垂足为D.设AB与 (AD)所成角为, AD与AC所成角为, AB与AC所成角为．则.
8、 面积射影定理
已知平面内一种多边形面积为,它在平面内射影图形面积为,平面与平面所成二面角大小为锐二面角,则
9、一种结论
长度为线段在三条两两互相垂直直线上射影长分别为,夹角分别为,则有 .
(立体几何中长方体对角线长公式是其特例).
必修5数学知识点
第一章:解三角形
1、正弦定理:
.
(其中为外接圆半径)
用途:⑴已知三角形两角和任一边,求其他元素;
⑵已知三角形两边和其中一边对角,求其他元素。
2、余弦定理:
用途:⑴已知三角形两边及其夹角,求其他元素;
⑵已知三角形三边,求其他元素。
做题中两个定理经常结合使用.
3、三角形面积公式:
4、三角形内角和定理:
在△ABC中,有
.
5、一种惯用结论:
在中,
若特别注意,在三角函数中,不成立。
第二章:数列
1、数列中与之间关系:
注意通项能否合并。
2、等差数列:
⑴定义:如果一种数列从第2项起,每一项与它前一项差等于同一种常数,即－=d ,(n≥2,n∈N),
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项:若三数成等差数列
⑶通项公式:
或
⑷前项和公式:
⑸惯用性质:
①若,则;
②下标为等差数列项,仍构成等差数列;
③数列(为常数)仍为等差数列;
④若、是等差数列,则、 (、是非零常数)、、,…也成等差数列。
⑤单调性:公差为,则:
ⅰ)为递增数列;
ⅱ)为递减数列;
ⅲ)为常数列;
⑥数列{}为等差数列(p,q是常数)
⑦若等差数列前项和,则、、… 是等差数列。
3、等比数列
⑴定义:如果一种数列从第2项起,每一项与它前一项比等于同一种常数,那么这个数列就叫做等比数列。
⑵等比中项:若三数成等比数列(同号)。反之不一定成立。
⑶通项公式:
⑷前项和公式:
⑸惯用性质
①若,则;
②为等比数列,公比为(下标成等差数列,则相应项成等比数列)
③数列(为不等于零常数)仍是公比为等比数列;正项等比数列;则是公差为等差数列;
④若是等比数列,则
是等比数列,公比依次是
⑤单调性:
为递增数列;为递减数列;
为常数列;
为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列数列是常数列。
⑦若等比数列前项和,则、、… 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式求法
类型Ⅰ 观测法:已知数列前若干项,求该数列通项时,普通对所给项观测分析,寻找规律,从而依照规律写出此数列一种通项。
类型Ⅱ 公式法:若已知数列前项和与关系,求数列通项可用公式 构造两式作差求解。
用此公式时要注意结论有两种也许,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即和合为一种表达,(要先分和两种状况分别进行运算,然后验证能否统一)。
类型Ⅲ 累加法:
形如型递推数列(其中是关于函数)可构造:
将上述个式子两边分别相加,可得:
①若是关于一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
② 若是关于指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
③若是关于二次函数,累加后可分组求和;
④若是关于分式函数,累加后可裂项求和.
类型Ⅳ 累乘法:
形如型递推数列(其中是关于函数)可构造:
将上述个式子两边分别相乘,可得:
有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种办法求解。
类型Ⅴ 构造数列法:
㈠形如(其中均为常数且)型递推式:
(1)若时,数列{}为等差数列;
(2)若时,数列{}为等比数列;
(3)若且时,数列{}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.办法有如下两种:
法一:设,展开移项整顿得,与题设比较系数(待定系数法)得,即构成觉得首项,觉得公比等比数列.再运用等比数列通项公式求出通项整顿可得
法二:由得两式相减并整顿得即构成觉得首项,觉得公比等比数列.求出通项再转化为类型Ⅲ(累加法)便可求出
㈡形如型递推式:
⑴当为一次函数类型(即等差数列)时:
法一:设,通过待定系数法拟定值,转化成觉得首项,觉得公比等比数列,再运用等比数列通项公式求出通项整顿可得
法二:当公差为时,由递推式得:,两式相减得:,令得:转化为类型Ⅴ㈠求出 ,再用类型Ⅲ(累加法)便可求出
⑵当为指数函数类型(即等比数列)时:
法一:设,通过待定系数法拟定值,转化成觉得首项,觉得公比等比数列,再运用等比数列通项公式求出通项整顿可得
法二:当公比为时,由递推式得:——①,,两边同步乘以得——②,由①②两式相减得,即,在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三:递推公式为(其中p,q均为常数)或(其中p,q, r均为常数)时,要先在原递推公式两边同步除以,得:,引入辅助数列(其中),得:再应用类型Ⅴ㈠办法解决。
⑶当为任意数列时,可用通法:
在两边同步除以可得到,令,则,在转化为类型Ⅲ(累加法),求出之后得.
类型Ⅵ 对数变换法:
形如型递推式:
在原递推式两边取对数得,令得:,化归为型,求出之后得(注意:底数不一定要取10,可依照题意选取)。
类型Ⅶ 倒数变换法:
形如(为常数且)递推式:两边同除于,转化为形式,化归为型求出表达式,再求;
尚有形如递推式,也可采用取倒数办法转化成形式,化归为型求出表达式,再求.
类型Ⅷ 形如型递推式:
用待定系数法,化为特殊数列形式求解。办法为:设,比较系数得,可解得,于是是公比为等比数列,这样就化归为型。
总之,求数列通项公式可依照数列特点采用以上不同办法求解,对不能转化为以上办法求解数列,可用归纳、猜想、证明办法求出数列通项公式
5、非等差、等比数列前项和公式求法
⑴错位相减法
①若数列为等差数列,数列为等比数列,则数列求和就要采用此法.
②将数列每一项分别乘以公比,然后在错位相减,进而可得到数列前项和.
此法是在推导等比数列前项和公式时所用办法.
⑵裂项相消法
普通地,当数列通项 时,往往可将变成两项差,采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项:
设,通分整顿后与原式相比较,依照相应项系数相等得,从而可得
常用拆项公式有:
①
②
③
④
⑤
⑶分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将此类数列恰当拆开,可分为几种等差、等比或常用数列,然后分别求和,再将其合并即可.普通分两步:①找通向项公式②由通项公式拟定如何分组.
⑷倒序相加法
如果一种数列,与首末两项等距两项之和等于首末两项之和,则可用把正着写与倒着写两个和式相加,就得到了一种常数列和,这种求和办法称为倒序相加法。特性:
⑸记住常用数列前项和:
①
②
③
第三章:不等式
§、不等关系与不等式
1、不等式基本性质
①(对称性)
②(传递性)
③(可加性)
(同向可加性)
(异向可减性)
④(可积性)
⑤(同向正数可乘性)
(异向正数可除性)
⑥(平办法则)
⑦(开办法则)
⑧(倒数法则)
2、几种重要不等式
①,(当且仅当时取号). 变形公式:
②(基本不等式) ,(当且仅当时取到等号).
变形公式:
用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
③(三个正数算术—几何平均不等式)(当且仅当时取到等号).
④
(当且仅当时取到等号).
⑤
(当且仅当时取到等号).
⑥(当仅当a=b时取等号)
(当仅当a=b时取等号)
⑦
其中
规律:不大于1同加则变大,不不大于1同加则变小.
⑧
⑨绝对值三角不等式
3、几种着名不等式
①平均不等式:
,(当且仅当时取号).
(即调和平均几何平均算术平均平方平均).
变形公式:
②幂平均不等式:
③二维形式三角不等式:
④二维形式柯西不等式: 当且仅当时,等号成立.
⑤三维形式柯西不等式:
⑥普通形式柯西不等式:
⑦向量形式柯西不等式:
设是两个向量,则当且仅当是零向量,或存在实数,使时,等号成立.
⑧排序不等式(排序原理):
设为两组实数.是任一排列,则
(反序和乱序和顺序和)
当且仅当或时,反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数)
若定义在某区间上函数,对于定义域中任意两点有
则称f(x)为凸(或凹)函数.
4、不等式证明几种惯用办法
惯用办法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;
其他办法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.
常用不等式放缩办法:
①舍去或加上某些项,如
②将分子或分母放大(缩小),如
等.
5、一元二次不等式解法
求一元二次不等式
解集环节:
一化:化二次项前系数为正数.
二判:判断相应方程根.
三求:求相应方程根.
四画:画出相应函数图象.
五解集:依照图象写出不等式解集.
规律:当二次项系数为正时,不大于取中间,不不大于取两边.
6、高次不等式解法:穿根法.
分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切),结合原式不等号方向,写出不等式解集.
7、分式不等式解法:先移项通分原则化,则
(时同理)
规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式解法:转化为有理不等式求解
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”一边分析求解.
9、指数不等式解法:
⑴当时,
⑵当时,
规律:依照指数函数性质转化.
10、对数不等式解