2013年高三数学二轮复习-专题四第二讲-数列的通项公式与数列求和教案-理.doc

第二讲　数列的通项公式与数列求和
研热点（聚焦突破）
类型一 数列的通项问题
1．累加法求通项：形如an＋1－an＝f(n)．
2．累乘法求通项：形如＝f(n)．
3．构造法：形如：an＋1＝pan＋q.
4．已知Sn求an，即an＝
[例1]　(2012年高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析]　(1)当n＝1时，T1＝2S1－12.
因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1.
(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，
所以Sn＝2Sn－1＋2n－1，①
所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，②
②－①得an＋1＝2an＋2.
所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即＝2(n≥2)．
当n＝1时，a1＋2＝3，a2＋2＝6，则＝2，所以当n＝1时也满足上式．所以{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋2＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－2.

跟踪训练
数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，数列{an}的通项公式为________．
解析：由题意，当n≥2时，
a1·a2·a3·…·an＝n2，①
故当n＝2时，有a1·a2＝22＝4，
又因为a1＝1，所以a2＝4.
故当n≥3时，
有a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，②
由，得an＝.
而当n＝1时，a1＝1，不满足上式，n＝2时，满足上式．
所以数列{an}的通项公式为an＝
答案：
类型二 数列求和
数列求和的方法技巧
(1)转化法
有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并；
(2)错位相减法
这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列；
(3)裂项相消法
利用通项变形，将通项分裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．
[例2]　(2012年高考浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.
(1)求an，bn；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
[解析]　(1) 由Sn＝2n2＋n，得
当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.
所以an＝4n－1，n∈N*.
由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，
所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，
2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，
所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]
＝(4n－5)2n＋5.
故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.

跟踪训练
(2012年高考课标全国卷)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为(　　)
A．3 690　　　　　　　　 B．3 660
C．1 845 D．1 830
解析：利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解．
∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，
∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝＝1 830.
答案：D
类型三 数列的综合应用
1．数列的综合应用多涉及函数、不等式、解析几何等知识．
2．数列的单调性的判断方法：
(1)作差：an＋1－an与0的关系；
(2)作商：与1的关系．
[例3]　(2012年高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
[解析]　(1)∵a1，a2＋5，a3成等差数列，
∴2(a2＋5)＝a1＋a3.
又2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，
∴2S1＝a2－22＋1，2S2＝a3－23＋1，
∴2a1＝a2－3，2(a1＋a2)＝a3－7.
由得∴a1＝1.
(2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，①
∴当n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1.②
①－②得2an＝an＋1－an－2n＋1＋2n，
∴an＋1＝3an＋2n.
两边同除以2n＋1得＝·＋，
∴＋1＝(＋1)．
又由(1)知＋1＝(＋1)，∴数列{＋1}是以为首项，为公比的等比数列，
∴＋1＝·()n－1＝()n，∴an＝3n－2n，
即数列{an}的通项公式为an＝3n－2n.
(3)证明：∵an＝3n－2n＝(1＋2)n－2n
＝C·1n·20＋C·1n－1·21＋C·1n－2·22＋…＋C·10·2n－2n
＝1＋2n＋2(n2－n)＋…＋2n－2n
>1＋2n＋2(n2－n)＝1＋2n2>2n2>2n(n－1)，
∴＝<＝·，
∴＋＋…＋
<1＋[＋＋…＋]
＝1＋(1－＋－＋…＋－)
＝1＋(1－)＝－<，
即＋＋…＋<.

跟踪训练
(2012年北京东城模拟)已知数列{an}满足a1＝，(n≥2，n∈N)．
(1)试判断数列{＋(－1)n}是否为等比数列，并说明理由；
(2)设cn＝ansin ，数列{cn}的前n项和为Tn.求证：对任意的n∈N*，Tn<.
解析：(1)由an＝得
＝＝(－1)n－，

所以＋(－1)n＝2·(－1)n－
＝－2[＋(－1)n－1]．
又－1＝3≠0，
故数列{＋(－1)n}是首项为3，公比为－2的等比数列．
(2)证明：由(1)得＋(－1)n＝3·(－2)n－1.
所以＝3·(－2)n－1－(－1)n，
an＝，
所以cn＝ansin ＝(－1)n－1
＝<.
所以Tn<＝[1－()n]<.
析典题（预测高考）
高考真题
【真题】　(2012年高考湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．
【解析】　(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，
a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4500－d.
an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.
(2)由(1)得an＝an－1－d＝(an－2－d)－d
＝()2an－2－d－d
＝…
＝()n－1a1－d[1＋＋()2＋…＋()n－2]．
整理得an＝()n－1(3 000－d)－2d[()n－1－1]
＝()n－1(3 000－3d)＋2d.
由题意，知am＝4 000，
即()m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000，
解得d＝＝.
即该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．
【名师点睛】　本题考查利用递推数列求通项的方法，考查综合利用数列知识分析解决实际问题的能力，难度较大，解答本题的关键是求出递推关系an＋1＝an－d，并变形求an.

考情展望
高考对数列的通项与求和的考查多以解答题形式出现，主要考查an与Sn的关系，以及错位相减求和、裂项求和及分组转化求和，难度中档偏上．

名师押题
【押题】　在平面直角坐标系中，设不等式组(n∈N*)表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＋1＝2bn＋an，b1＝－13.求证：数列{bn＋6n＋9}是等比数列，并求出数列{bn}的通项公式．
【解析】　(1)由得0<x≤3，
所以平面区域为Dn内的整点为点(3，0)或在直线x＝1和x＝2上．
直线y＝－2n(x－3)与直线x＝1和x＝2交点纵坐标分别为y1＝4n和y2＝2n，Dn内在直线x＝1和x＝2上的整点个数分别为4n＋1和2n＋1，
∴an＝4n＋1＋2n＋1＋1＝6n＋3.
(2)由bn＋1＝2bn＋an得bn＋1＝2bn＋6n＋3，
∴bn＋1＋6(n＋1)＋9＝2(bn＋6n＋9)，
∵b1＋6×1＋9＝2，
∴{bn＋6n＋9}是以2为首项，公比为2的等比数列，
∴bn＋6n＋9＝2n，
∴bn＝2n－6n－9.

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