第二章回顾与思考(课时一)教学设计(周静).doc

第二章 有理数及其运算
学习目标：
1、整理本章知识网络；
2、复习正数与负数，有理数、相反数、绝对值、数轴等概念；
3、复习有理数的加、减，乘、除、乘方的运算法则；
4、复习有理数的混合运算的运算律；
5、运用有理数及其运算解决实际问题．．
学习过程
数怎么不够用了
数轴
绝对值
有理数的加减混合运算
有理数的加法
水位的变化
有理数及其运算
有理数的减法
有理数的乘法
有理数的除法
有理数的乘方
有理数的混合运算
计算器的使用
u 活动一 学生对照课本的章节目录，画出全章的知识框架图.

u 活动二: 学生以小组竞赛的形式回顾知识点，并且列在框架图后.
正有理数
正整数
有理数　
整数　
分数　
正整数
负整数
正分数
0
负分数
1、 有理数的两种分类；
正分数

有理数

0

负分数
负整数
负有理数

2、 数轴：（1）规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.
（2）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
3、 相反数：（1）只有符号不同的两个数互为相反数.
（2）0的相反数是0.
（3）a的相反数是 －a.
（4）如果a与b互为相反数，那么a+b=0.
4、 绝对值：（1）从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.
（2）数 a 的绝对值记为 | a |.
（3）正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数.
5、 有理数的大小比较：（1）在数轴上，右边的数总是大于左边的数.
（2）正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；
（3） 两个正数，绝对值大的大；
（4） 两个负数，绝对值大的反而小．
6、 有理数的加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 异号两数相加， 取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数同0相加，仍得这个数。
7、有理数的乘法：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数与0相乘，积仍为0.
（3）当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；有因数为零时，
积就为零.
（4）乘积为1的两个有理数互为倒数.
8.有理数的除法：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除.0除以任何数等于0. 0不能做除数.
（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数.
9.有理数的乘方：
（1）求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.
（2）正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
10、有理数的混合运算：
（1）有括号，先算括号里面的；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（3）对只含乘除，或只含加减的运算，应从左往右运算。
11.科学记数法：一般的，一个大于10的数可以表示成的形式，其中，是正整数，这种记数的方法叫做.科学记数法。
u 活动三: 出示例题，学生先独立思考，再上台讲解.
例1、给出下列各数：
（1）在这些数中，整数有 个，负分数有 个，绝对值最小的数是 ．
（2）3.75的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 ．
（3）这些数用数轴上的点表示后，与原点距离最远的数是_____．
（4）这些数从小到大，用“＜”号连接起来： ．

例2、（1）写出在数轴上和原点距离等于4.3个单位的点所表示的数；
（2）写出在数轴上和表示-5的点距离等于4个单位的点所表示的数；
（3）若将第2题中所得到的左边的点向右移动1.5个单位，右边的点向左移动2.5
个单位，则各表示什么数？

例3、已知|x|=3，|y|=2，且x<y，则x+y=____.

a
b
0
c
例4、数a，b，c在数轴上对应位置如图，
化简：| a + b | + | b + c | — | c – a |.
例5、计算
：
例6、 小明父亲上星期买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）

注： ①正数表示股市比前一天上升，负数表示比前一天下降。 ②周六、周日休市。
（1）周三收盘时，每股 元。
（2）本周内最高价每股 元，最低价值每股 元。
（3）完成下表:
五
四
三
二
一
本周每日与上周股票市值的差
星 期

（4）以上周六买进27元为0元，用折线统计图表示出该周股票的涨跌情况.
例7、计算：

例8、计算：

例9、计算：

（1）11+（－22）－3×（－11）
（2）
例10、计算：

活动四:先自己独立完成然后小组讨论把有疑议的提出来
1、把下列各数填在相应的大括号内：1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，
正整数集｛ …｝
负整数集｛ …｝
正分数集｛ …｝
负分数集｛ …｝
正有理数集｛ …｝
负有理数集｛ …｝
2、填一填：
1）绝对值小于2的整数有________；
2）绝对值等于它本身的数有___________；
3）绝对值不大于3的负整数有__________；
4）数a和b的绝对值分别为2和5，且在数轴上表示a的点在表示b的点左侧，则b的值为 . .
3、已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简 |a|— | a+b | + | c-a | + | b + c |.
b
a
0
c

4、已知a、b为有理数，且a＞0，b＜0，a+b＜0，将四个数a，b，—a，—b按从小到大的顺序排列.
5、计算：（1）-（-12）-（-25）-18+（-10）；
（2）；
（3）.

6、南京出租车司机小李某一时段全是在中山东路上来回行驶,你能否知道在他将最后一位乘客送到目的地时,他距离出车的出发点有多远?
如果规定向东为正，向西为负，他的行车里程(单位:千米)为：15, -2, 5, -1, -10, -3, -2, 12, 4, -5.

巩固练习
1、若|x|－|y|=0，则（ ）
A. x=y B. x=－y
C. x=y=0 D. x=y或x=－y
2、有理数a，b在数轴上对应位置如图所示，
则a+b的值为（ ）
A. 大于0 B. 小于0
C. 等于0 D. 大于a
3、若 | 2a |= — 2a，则a一定是（ ）
A.负数 　　 B.正数
C.非正数　 　 D.非负数
4、已知 | 2a+4 |+ | 3—b |=0，则a+b= .
5、已知a、b在数轴上如图所示，请比较a、b、-a、-b的大小。
b
-1
0
a
1

活动五: 拓展延伸（学生合作学习）
探究一：

探究二： 一口井,水面比井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬。第一次往上爬了0.5米后，又往后滑了0.1米；第二次往上爬了0.42米，却又下滑了0.15米；第三次往上爬了0.7米，却下滑了0.15米；第四次往上爬了0.75米，却下滑了0.1米；第五次往上爬了0.55米，没有下滑；第六次往上爬了0.48米.
问蜗牛有没有爬出井口？

《有理数》一章中数学思想方法大盘点
数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，教材中没有专门的章节介绍它，而是伴随着基础知识的学习而展开的.在学习中一定要重视对常用数学思想方法的总结与提炼，它们是数学的精髓，是解题的指导思想，更能使人受益终身.《有理数》中常用的数学思想方法有：
一、 数形结合的思想方法
数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来，分析、研究、解决问题的一种思想方法，是数学中最常用的方法.我国著名的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.数形结合，相得益彰.利用数形结合，可以使所要研究的问题化难为易，化繁为简.用数轴上的点表示有理数，就是简单的数形结合思想的体现.用数轴上的点表示有理数，对于理解有理数的绝对值、相反数等概念以及比较有理数的大小等，更具有直观性.
例1 数a在数轴上的位置如图1所示，试把a，a的相反数、a的倒数和a的倒数的
绝对值按从小到大的顺序用“＜”连接起来.

分析：首先在数轴上找到a的相反数、a的倒数和a的倒数的绝对值的位置，然后利
用数轴比较它们的大小.
解：因为a的相反数是-a，a的倒数是，a的倒数的绝对值是||，由图1可知：
-1＜a＜0，所以0＜-a＜1，＜-1，||＞1.所以＜a＜-a＜||.
二、 分类讨论的思想方法
某些数学问题，涉及到的概念、法则、性质、公式是分类给出的，或在解答过程中，
条件或结论不惟一时，会产生几种可能性，就需要分类讨论，从而得出各种情况下的结论.这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想，其作用是考察学生思维的周密性，使其克服思维的片面性，防止漏解.在《有理数》一章中研究相反数、绝对值、有理数乘方运算的符号法则等，都是将有理数分成正数、负数、零三类分别研究的.分类必须遵循下列两条原则：（1）每一次分类要按照同一标准进行；（2）分类要做到不重复、不遗漏.例如，把有理数分为正数和负数两类就错了，错误原因是漏掉了零.
例2 比较3a和-3a的大小.
分析：由于题中没有给出a的取值范围，故需分三种情况来进行讨论.
解：（1）当a＞0时，3a＞0，-3a0，∴3a＞-3a；
（2）当a=0时，3a =0，-3a =0，∴ 3a =-3a；
（3）当a＜0时，3a＜0，-3a＞0，∴3a＜-3a.
三、逆向思考的思想方法
本章中的运算法则均以等式的形式出现，对于这些法则，不仅要会正向应用，而且还要能够逆向运用.
例3 计算：（-2）2006+（-2）2007=（ ）.
A、-24013 B、-2 C、-22006 D、22006
分析：本题乍一看很难下手，但又一想，（-2）2007=（-2）2006+1=（-2）2006×（-2），即逆用乘方的概念，而（-2）2006+ （-2）2006×（-2），再逆用乘法对加法的分配律，即可求解.
解：原式=（-2）2006+ （-2）2006×（-2）=（-2）2006×（1-2）=-（-2）2006，选C.
四、 方程的思想方法
方程思想是指把一个数学问题通过适当的途径转化为方程（组），从而使问题得到解決的数学思想方法。它在探索解题思路时经常使用，尤其对解決与数量有关的数学问题时行之有效.
例4 （浙江省 绍兴市中考题）在等式的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数且等式成立.则第一个方格内的数是___________.
分析：设这个数为x，则它的相反数是-x，代入得：3x-2（-x）＝15，即3x+2x＝15，5x＝15，解得x＝3.因此第一个方格内的数是3.
五、转化的思想方法
所谓转化思想，就是把所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的
问题，具体地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”，把“陌生”转化为“熟悉”.一言以蔽之，数学解题过程的实质就是转化过程.通过《有理数》一章的学习，我们知道，有理数实质就是比小学学过的数多了一类数——负数.任何一个非零有理数都是由符号和绝对值两部分构成的，有理数的各种运算都是先确定符号再计算绝对值.而符号确定以后，绝对值的计算就是小学学过的数的计算.又如，有理数的减法是转化为有理数的加法来进行计算的，有理数的除法是转化为有理数的乘法来进行计算的.
例5 比较与的大小.
分析：因为==1-，==1-，所以要比较它们的大小，应转化为比较和的大小.
解：用求差法.
-=（1-）-（1-）=-
=-＞0.
∴＞.

六、实验、观察、猜想、论证的思想方法
实验、观察、猜想、论证是解決数学问题的重要思想方法。实验是基础，在实验中要注意分析和观察规律；观察是关键，在观察中要透过现象看本质，从特殊中找出一般；猜想是核心，会推理判断，能归纳猜想，就能有所发现；论证是结果，是对实验、观察、猜想的科学总结.
例6 （江苏省泰州市中考题） 如图2，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含的等式表示第个正方形点阵中的规律 ．

分析：通过仔细观察分析，寻找规律，充分体现了不完全归纳法在找规律题中的应用.从多角度思考，可得到如下多种解法（到高中阶段你就可以对结论进行证明）：
方法1：（递推法）0+1=12，（0+1）+（1+2）=22，（0+1+2）+（1+2+3）=32，（0+1+2+3）+（1+2+3+4）=42，…[0+1+2+…（n-1）]+（1+2+3+…+n）=n2.
方法2：（拆数法）1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…1+3+5+…（2n-1）=n2.
方法3：（拼图法）将线下n个点拿去，移动后可拼成一个矩形，其宽有（n-1）个点，长为n个点，因此共有n+n（n-1）=n2个点.
方法4：（相加法）第n个正方形直线上方点的总数为1+2+3+…+n-1=，直线下方点的总数为1+2+3+…+n=，故第n个正方形点阵中总点数为+，即n2.因此规律为+= n2.
说明：这是一道设计新颖、具有一定挑战性的问题.其解题思路比较宽，解法较多，但阅卷中发现，许多学生对这类探索题感到比较棘手，得分率较低.希望你再去研究本题的其他解法，与你的同伴交流.

章节测试（2.8~2.12）
（时间：45分钟 总分：100分）
一、填空题：（3×10=30）
1、在－(—2)，－|—2|，(—2)2，—22四个数中，负数有_________个
2、如果x<0，且x2=25，那么x= _________
3、计算
4、________
5、在中，指数是 ，底数是 。
6、 ； ．
7、如果a、b互为倒数，那么 ．
8、下面一列数，观察后找规律，并填上适当的数。1，—2，4，—8， ， ， ………
9、若│χ+3∣+（y—2）=0，则 = ．
10、计算：=_________。
二、选择题：（3×10=30）
1、下面说法正确的是（　　）
A、和互为倒数 B、和互为倒数
C、0.1和10互为倒数 D、0的倒数是0
2、 的意义是( )
A、3个相乘 B、3个相加
C、 乘以3 D、 的相反数
3、下列计算正确的是( )
A、 B、
C、 D、
4、下列各组的两个数中,运算后结果相等的是( )
A、和 B、 和
C、 和 D、和
5、ab<0,下列各式成立的是（ ）
A、a=b B、a<b<0
C、0<a<b D、a<0<b
6、一个数的倒数是它本身的数是( )
A、1 B、—1
C、±1 D、0
7、下列计算结果等于1的是（ ）
A、 B、
C、 D、
8、若，则的大小关系是 ( )．
A、 B、
C、 D、
9、的值是 ( )
A、 B、
C、或 D、3或1
10、设n是正整数，则的值是 ( )
A、0或1 B、1或2
C、0或2 D、0，1或2

三、解答题：
1. 计算：（每小题4分，共16分）
（1） （2）

（3）

（4）

2、某冷冻厂的一个冷库的温度为℃，现有一批食品需要在℃冷藏，如果每小时降温4℃，问几小时能降到所要求的温度？（6分）

3、某班举行知识竞赛，评分标准是：答对1道题加10分，答错1道题扣10分，每个队的基本分为100分，有一个代表队答对了12道题，答错了5道题，请问这个队最后得多少分？（6分）

4、32－12＝8×1； 52－32＝8×2； 72－52＝8×3； 92－72＝8×4……
观察上面的一系列等式，你能发现什么规律？用代数式表示这个规律，并用这个规律计算20012－19992的值．（6分）

5、某商场举行庆“十一”优惠销售活动，采取“满一百送二十，并且连环增送”的酬宾方式，即顾客每花钱满100元（100元既可以是现金，也可以是奖励券，或二者合计）就送20元奖励券；满200元，就送40元奖励券，依次类推。有一天，一位顾客一次就花了14000元钱，那么他还可以购回多少钱的物品？相当于几折销售？（6分）

章节测试（2.1~2.7）
（时间：45分钟 总分：100分）
一、填空题（3×10=30）
1、一艘潜艇正在—50m处执行任务，其正上方10m有一条鲨鱼在游弋，则鲨鱼所处的高度是_________；
2、若，则 ；若______；
3、绝对值小于4的所有非负整数是 ；
4、点A在数轴上距原点3个长度单位，且位于原点右侧，若将A向左移动4个单位长度，此时点A所表示的数是_________，若点B所表示的数是A点开始时所表示的相反数，作同样的移动以后，点B表示的数是_________；
5、观察下列数据，按某种规律在横线上填上适当的数：
1，—2，3，—4，________，________，_________；
6、若，则=______； ；
7、计算： ；= ；
8、若 ，则= ；
9、小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数共有 个．

–6 –4 –3 –2 1 0 1 2 3 5 6

10、小明与小刚规定了一种新运算*：若a、b是有理数，则a*b = 。小明计算出2*5= - 4，请你帮小刚计算2*（-5）=　　　　

二．选择题（3×10=30）
1、在数轴上，原点两旁与原点等距离的两点所表示的数的关系是（ ）
A、相等 B、互为相反数
C、互为倒数 D、不能确定
2、一个正数的绝对值小于另一个负数的绝对值，则两数和一定是 （ ）
A、正数 B、负数
C、零 D、不能确定和的符号
3、一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的有（ ）
A、24.70千克 B、25.30千克
C、25.51千克 D、24.80千克
4、绝对值大于2且小于5的所有整数的和是（ ）
A、7 B、—7
C、0 D、5
5、下列说法中正确的是（ ）
A、最小的整数是0
B、有理数分为正数和负数
C、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
D、互为相反数的两个数的绝对值相等
6、下列各式运算正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
7、若a、b为有理数，a>0，b<0，且│a│<│b│，那么a，b，—a，—b的大小关系是（ ）
A、b< —a< —b<a B、b< —b< —a<a
C、b< —a< a<—b D、—a< —b < b <a
8、某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步情况记录如下：（向东为正，单位：米）
1000，—1200，1100，—800，1400，该运动员共跑的路程为（ ）
A、1500m B、5500m
C、4500m D、3700m
9、学校、家、书店依次座落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20m，书店在家北边100m，张明同学从家里出发，向北走了50m，接着又向北走了—70m，此时张明的位置在（ ）
A、在家 B、学校
C、书店 D、不在上述地方
10、若| a |=3，| b |=5，a与b异号，则| a—b |的值为（ ）
A、2 B、-2
C、8 D、2或8
三、解答题：
1、在数轴上表示下列各数：0，–2.5，，–2，+5，，并比较它们的大小.（5分）

2、计算：0.47－4－（－1.53）－1 （5分）

3、将—8，—6，—4，—2，0，2，4，6，8这9个数分别填入下图中，使得每行的3个
数，每列的3个数，斜对角的3个数相加均为0.（5分）

4、下表是某中学七年级5名学生的体重情况：（8分）
姓名
小颖
小明
小刚
小京
小宁
体重（千克）
34

45

体重与平均体重的差
－7
＋3

－4
0
（1）完成上表.
（2）谁最重？谁最轻？
（3）最重的与最轻的相差多少？

5、某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
－5
+7
－3
+4
+10
－9
－25
（1）本周三生产了多少辆摩托车？
（2）本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？
（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？（8分）

6、某检修小组甲队乘一辆汽车沿公路检修线路，约定向东为正，某天从A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：+15、—2、+5、—1、+10、—3、—2、+12、+4、—5、+6；另一小组乙队也从A地出发，在南北方向检修，约定向北为正，行走记录为：—17、+9、—2、+8、+6、+9、—5、—1、+4、—7、—8.
（1）分别计算收工时，两组在A地的哪一边，距A地多远？
（2）若每千米汽车耗油量为0.06升，求出发到收工两小组各耗油多少升？（9分）

8