高考全国卷中解三角形解管题的命题动向分析.pdf

郑州市第十一中学 刘素芳 解三角形解答题是每年高考全国卷必考的内容之一,考查的内容不是很多,也不复杂,并且很稳定。主要包括正余弦定理、三角形面积公式、和角与差角公式、诱导公式、同角公式与基本关系、三角形有关角的函数值等解三角形的核心内容。试题的呈现一般是限定条件构造一个三角形便自然地给出了一个三角函数背景,通过解三角形并解决有关问题,不仅能兼顾对三角函数、三角变换等知识的考查,还能考查代数推理能力,以及转化与化归、函数与方程等思想方法。一、方程视角下的解三角形利用主要的三角公式、正余弦定理、三角形面积公式、三角形的特征线等列相关元素的方程,而后解三角形,这是高考全国卷的命题热点问题,不仅能很好地考查三角基本公式、正余弦定理、三角形面积公式等基本知识,还可以考查考生综合运用基础知识解决问题的能力。例1 记A B C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b+c=2as i nC+6 。(1)求A;(2)设A B的中点为D,若C D=a,且b-c=1,求A B C的面积。解析:(1)由已知得b+c=3as i n C+ac o s C,由 正 弦 定 理 得s i n B+s i n C=3 s i n As i n C+s i n Ac o s C。因为A+B+C=,所以s i n B=s i n(A+C)=s i n Ac o s C+c o s As i n C。所以s i n Ac o s C+c o s As i n C+s i n C=3 s i n As i n C+s i n Ac o s C,即c o s As i n C+s i n C=3 s i n As i n C。又因为C(0,),所以s i n C0,所以3 s i n A-c o s A=1,即s i nA-6 =12。因为A(0,),所以-6A-65 6,所以A-6=6,解得A=3。(2)在A C D中,由余弦定理得,C D2=b2+c24-2bc2c o s A。因为A=3,C D=a,所以a2=b2+c24-b c2。在A B C中,由余弦定理得,a2=b2+c2-b c,所以b2+c24-b c2=b2+c2-b c,即3c2=2b c,所以b=3c2。因为b-c=1,所以b=3,c=2。所以A B C的 面 积S=12b cs i n A=3 32。评注:本题第一问的求解,首先利用正弦定理将边化角,然后利用三角公式化简求得角A的大小;第二问引入三角形的中线得出“爪形”三角形,再在两个三角形中利用余弦定理列方程,然后解方程求得三角形的边,最后问题落在三角形的面积公式上。在本题的求解过程中,方程思想的味道很浓,对运算求解能力要求较高。例2 已知A B C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A为锐角,s i n B-c o s C=c2-a22a b。(1)求A;(2)若b=34c,且B C边上的高为2 3,求A B C的面积。解析:(1)因为s i n B-c o s C=c2-a22a b,所以2a bs i n B-2a bc o s C=c2-a2。6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 4年1月由余弦定理得2a bs i n B+c2-a2-b2=c2-a2,所以2as i n B=b。由正弦定理得2 s i n As i n B=s i n B,因为B是 三 角 形 的 内 角,所 以s i n B0,所 以s i n A=12。又因为A为锐角,所以A=6。(2)由(1)及余弦定理得a2=b2+c2-2b cc o s A=31 6c2+c2-234ccc o s6=71 6c2,所以a=74c。所以SA B C=12b cs i n A=12a2 3,即1234c212=1274c2 3,解得c=4 7,所以b=34c=2 1。所以SA B C=12b cs i n A=122 14 712=7 3。评注:本题第一问的求解,首先利用正弦定理将边化角,然后利用三角公式化简求得角A的大小;第二问由三角形的面积公式列相关方程。本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式。三角形的面积采取了二次计算,通过不同的计算方法得出等式,从而求解。这也是解此类问题的一种技巧。二、函数视角下的解三角形例3 已知A B C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=b+2bc o s C。(1)求证:C=2B;(2)求a+cb的取值范围。解析:(1)在A B C中,已 知a=b+2bc o s C,由 正 弦 定 理 得s i n A=s i n B+2 s i n Bc o s C。又因为A=-(B+C),所以s i n A=s i n-(B+C)=s i n(B+C)=s i n Bc o s C+c o s Bs i n C。所以s i n Bc o s C+c o s Bs i n C=s i n B+2 s i n Bc o s C,即c o s Bs i n C-s i n Bc o s C=s i n B,即s i n(C-B)=s i n B。因为0s i n B=s i n(C-B),所以0C-BC。因为B+(C-B)=C,所以B=C-B,所以C=2B。(2)由(1)得C=2B,所以B+C=3B(0,),所以0 B3,所以12 c o s B 1。由a=b+2bc o s C,C=2B,以及正弦定理可得a+cb=b+2bc o s C+cb=s i n B+2 s i n Bc o s C+s i n Cs i n B=s i n B+2 s i n Bc o s C+s i n 2Bs i n B=s i n B+2 s i n Bc o s C+2 s i n Bc o s Bs i n B=1+2 c o s C+2 c o s B=1+2 c o s 2B+2 c o s B=1+2(2 c o s2 B-1)+2 c o s B=4 c o s2 B+2 c o s B-1=4c o s B+14 2-54。因 为12 c o s B 1,所 以1 4c o s B+14 2-54 5,即1 a+cb 5。故a+cb的取值范围为(1,5)。评注:本题第一问的求解,首先利用正弦定理将边化角,然后利用三角公式化简求得C=2B;第二问利用正弦定理将边化角,然后将问题转化为三角函数问题,最后利用二次函数求最值。整道试题函数的味道很浓,主要体现函数与方程的思想。例4 已知在A B C中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且c2b-a=c o s Cc o s A。(1)求C;(2)若ac o s B+bc o s A=2,且A B C为锐角三角形,求A B C面积的取值范围。解析:(1)已知c2b-a=c o s Cc o s A,由正弦定理得s i n C2 s i n B-s i n A=c o s Cc o s A,所 以s i n Cc o s A=2 s i n Bc o s C-s i n Ac o s C,即s i n(A+C)=2 s i n Bc o s C,所以s i n B=2 s i n Bc o s C。7知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 4年1月 因为s i n B0,所以c o s C=12。因为0 C,所以C=3。(2)设A B C的外接圆半径为R。因为ac o s B+bc o s A=2,所 以2Rs i n Ac o s B+2Rs i n Bc o s A=2,即2Rs i n C=2=c。由正弦定理可得bs i n B=as i n A=232,所以a=4 33s i n A,b=4 33s i n B=4 33s i n2 3-A 。所 以ABC的 面 积S=12a bs i n C=4 33s i n As i n2 3-A =4 33s i n A32c o s A+12s i n A =4 3334s i n 2A-14c o s 2A+14 =2 33s i n2A-6 +33。因为A B C是锐角三角形,所以0A2,0 2 3-A2,所以6A2,所以62A-65 6,所以12s i n2A-6 1,所以S2 33,3 。故A B C面 积 的 取 值 范 围 是2 33,3 。评注:本题第一问的求解,首先利用正弦定理将边化角,然后利用三角公式化简求得角C;第二问结合射影定理与正弦定理将问题转化为三角函数问题,最后利用三角函数的性质求得最值。三、几何形态下的解三角形例5 在平面四边形A B C D中,已知A B C=3,A D C=2,B C=2。(1)若A BC B=3,求A C;(2)若A D=2 3,A C B=A C D+3,求t a n A C D。解析:(1)因为A BC B=|A B|C B|c o s A B C=|A B|=3,所以A B=3。在A B C中,由 余 弦 定 理,得A C2=A B2+B C2-2A BB Cc o s A B C=7,所以A C=7。(2)设A C D=,则A C B=A C D+3=+3。在R t A C D中,因为A D=2 3,所以A C=A Ds i n=2 3s i n。在A B C中,B A C=-A C B-A B C=3-,0,3 ,由正弦定理得B Cs i n B A C=A Cs i n A B C,即2s i n3-=2 332s i n,所 以2 s i n3-=s i n,所 以232c o s-12s i n =s i n,整 理 得3 c o s=2 s i n,所 以t a n=32,即t a n A C D=32。评注:本题的求解需要对几何图形进行分析,寻找关联元素并建立相关元素的方程,整个求解过程主要利用三角公式进行化简,最后求得角的三角函数值。试题聚焦几何图形,建立并解关于角的方程,几何形态下的方程思想味道浓重。解三角形解答题考查的内容不是很多,也不复杂,主要包括正余弦定理、三角形的面积公式、和角与差角公式、诱导公式、同角公式与基本关系、三角形有关角的函数值等内容。试题主要考查分析问题能力、解决问题能力、运算推理能力,以及转化与化归、函数与方程等思想方法。(责任编辑 王福华)8 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2 0 2 4年1月