重力加速度几种测量方法比较(论文).doc

渤海大学本科毕业论文
重力加速度几种测量方法的比较

摘要：
重力加速度是物理学中的一个十分重要的物理量，在地面上不同的地区，重力加速度g值不相同，它是由物体所在地区的纬度、海拔等因素决定，随着地球纬度和海拔高度的变化而变化，准确地确定它的量值，无论从理论上、还是科研上、生产上以及军事上都有极其重大的意义。
测量重力加速度的方法有很多，我所要做的就是通过学习前人的理论知识，经过思考，在现有的实验室条件下，进行实验，做出归纳和总结，提出自己的看法与体会。且实验方法虽然多，但有的测量仪器的精确度受环境因素的影响比较大，不是每种方法都适用，所以有必要对测量方法进行研究，找出一种适合测量本地重力加速度的方法。
一、重力加速度的测量方法
（一）用自由落体法测量重力加速度
1.实验仪器：自由落体装置（如图一），数字毫秒计，光电门（两个），铁球。

图一 自由落体装置
2.实验原理、步骤、注意事项
实验原理：设光电门A、B间的距离为，球下落到A门时的速度为，通过A、B间的时间为，则成立：
（1）
两边除以,得：
（2）
设,,则：
（3）
这是一直线方程，当测出若干不同的值，用和进行直线拟合，设所得斜率为，则由可求出，
（4）
实验步骤：
（1）调节实验装置的支架，使立柱为铅直，再使落球能通过A门B门的中点。
（2）测量A、B两光电门之间的距离。
（3）测量时间。
（4）计算各组的，值，用最小二乘法做直线拟合，求出斜率及其标准偏差、（注意：在取的时，由于立柱调整不完善，落球中心未通过光电门的中点，立柱上米尺的误差均给值引入误差，也是的不确定度来源，一般此项不确定度（B类评定）较小，可略去不计，所以）。
（5）计算及其标准不确定度。
注意事项：
（1）利用铅垂线和立柱的调节螺丝，确保离住处与铅直。保证小球下落时，两个光电门遮光位置均相同。
（2）测量时一定要保证支架稳定、不晃动。路程的准确测量对实验结果影响很大
3.实验数据以及处理
表一 自由落体法测重力加速度数据表

1
156.30
30.00
0.1919
156.30
2
222.72
50.00
0.2245
222.72
3
288.69
70.00
0.2521
288.69
4
325.52
90.00
0.2765
325.52
5
370.17
110.00
0.2972
370.17
6
409.89
130.00
0.3172
409.89
根据上表用最小二乘法做直线拟合，得：

∵
∴
所以重力加速度的测量结果：
（二）用单摆测重力加速度
1.实验仪器：单摆，停表，钢卷尺，小球。装置如（图二）。

图二 单摆装置
2.实验原理、步骤、注意事项
实验原理：用长线把小球吊在支架上，构成一个单摆。用米尺测出摆线长，用游标卡尺测出小球直径。用秒表测出个周期所用时间，根据单摆周期公式：
（5）
得：
（6）
求出的即为重力加速度。
注意事项：
（1）选择材料时应选择细轻又不易伸长的线，长度一般在1m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm。
（2）摆长应是摆线长加小球的半径
（3）单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑，摆长改变的现象。
（4）注意摆动时摆角不能过大，摆角的角度应满足。
（5）摆球摆动时，要尽量使之保持在同一个竖直平面内，以免形成圆锥摆。
（6）从球通过平衡位置时开始计时，因为在此位置摆球速度最大，易于分辨小球过此位置的时刻。
实验步骤：
（1）用米尺量出悬线长，准确到毫米，已知小球半径为1cm。
（2）把单摆从平衡位置拉开一个角度（）放开它，用秒表测量单摆完成30次全振动所用的时间，求出完成一次全振动所需要的时间。反复测量五次，取单摆周期平均值。
（3）把测得的周期和摆长的数值代入公式，求出重力加速度g的值来。
3.实验数据以及处理
表二 单摆法测重力加速度数据表

1
2
3
4
5
摆动次数
30
30
30
30
30
次摆动的时间

小球半径 ：
摆 长 ：
周 期 ：
重力加速度：
由数据得：
所以重力加速度的测量结果：
（四）用倾斜的气垫导轨测重力加速度
1.实验仪器：气垫导轨（如图五），游标卡尺，智能数字测时器，光电门，垫块。

图五 气垫导轨装置图
2.实验原理、步骤
实验原理：倾斜轨上的加速度与重力加速度的关系:设导轨倾角为，滑块质量为，则，由于滑块有气层的内摩擦，式中的比例系数，称为粘性阻尼常量，所以有，整理后有与的关系为：
（12）
实验步骤：
（1）导轨调平:调平导轨本应是将平直的导轨调成水平方向，但是实验室现有的导轨都存在一定的弯曲，因此调平的意思是指将光电门A、B所在两点，调到同一水平线上。
（检查调平的要求：①滑块从A向B运动时>：相反时>②由A向B运动时的速度损失，要和相反运动时的速度损失尽量相接近。）
（2）求粘性阻尼常量，
（13）
（14）
（3）保持、、不变，抬高导轨一端（如图六），测量，并计算加速度和平均速度
（15）
（16）

图六 实验简图
（4）利用得到的粘性阻尼常量及加速度，根据式（12）求重力加速度。
3.实验数据以及处理
挡光片宽度,滑快质量，气垫导轨调节水平,从到,两光电门之间的距离。
（1） 粘性阻尼常量
表四 求气垫导轨粘性阻尼常量数据表
组别
1
2
3
4
5

24.94
26.48
29.06
29.49
32.81

25.35
26.94
29.56
30.12
33.83

26.32
27.87
30.52
31.28
35.11

26.68
28.36
31.11
31.77
35.33

1.731
1.885
1.792
1.792
1.695
据表可得：

（2）重力加速度测量
表五 倾斜气垫导轨法测重力加速度数据表

1
2
3
4
5

7.10
7.10
7.10
7.10
7.10

10.94
10.96
10.94
10.95
10.94

2.332
2.330
2.332
2.330
2.332

0.949
0.952
0.949
0.950
0.949

9.788
9.821
9.788
9.770
9.788

9.791
根据所得数据计算得：
所以重力加速度的测量结果：
（五）用平衡法测重力加速度
1.实验仪器：弹簧秤，已知质量的钩码，物理天平。
2.实验原理、步骤
实验原理：用弹簧秤和已知质量的钩码测量，将已知质量为 的钩码挂在弹簧秤下，待平衡后，弹簧秤示数为,利用公式：
（17）
得： （18）
多次测量，做图像，求斜率，其斜率即为。
实验步骤：
（1）用物理天平测量5个钩码质量
（2）将所测钩码依次挂在弹簧秤下，带平衡后，读出弹簧秤上试数，并记录。
（3）根据测量出的值和值，做出图像，求出图像的斜率，其斜率便为、
（4）计算误差。
3.实验数据以及处理
表六 平衡法测重力加速度数据表
钩码的标示质量
50．0
100
150
200
钩码的实际质量
50．0
100.4
150.45
200.8
弹簧秤示数
0.47
0.98
1.42
1.98
根据所得数据可得下图：

图七 图像
由（图七）所拟合直线得：

由所测数据得：
所以重力加速度的测量结果：
（六）用滴水法测重力加速度
1.实验仪器：停表，输液瓶及输液管，胶布，米尺，塑料瓶。
2.实验原理：

图八 滴水法实验装置图
让水滴落到垫起来的塑料瓶上，可以清晰地听到水滴碰塑料瓶的声音。细心地调整输液管的阀门，使前一个水滴碰到盘子听到响声的瞬间，注视到第二个水滴正好从阀门处开始下落，当听到某个响声开始计时，并数“0”，以后每听到一次响声，顺次加一，直到数到50或100停止计时，读出总时间，则每一滴水下落时间，再用米尺测出输液管口滴水处到盘子的距离，即可求得：。
3．实验数据以及处理
测得50滴水从静止下落（）所需时间如（表七）所示。

表七 滴水法测重力加速度数据表一

25.63
25.38
25.91
25.50
25.07
25.09
25.56
25.44
25.53
25.09
用（表七）中所测实验数据求出一滴水从静止下落h（）所需时间如（表八）
表八 滴水法测重力加速度数据表二

0.5126
0.5076
0.5182
0.51
0.5014
0.5018
0.5112
0.5088
0.5106
0.5018

经计算得：
所以重力加速度的测量结果：
（七）用三线摆法测重力加速度
1.实验仪器：三线摆，数字毫秒计，待测物，天平
2.实验原理、公式推导

图九 三线摆原理图
实验原理：三线摆测重力加速度实验原理如（图九）所示。三线摆是由上下两个匀质圆盘，用三条等长的摆线（摆线为不易拉伸的细线）连接而成。上、下圆盘的系点构成等边三角形，下盘B处于悬挂状态，并可绕轴线作扭转摆动.由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关系，因此将待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变.这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。再根据转动惯量的平行轴定理，求出重力加速度。
公式推导：设下圆盘质量为，其悬线距圆心为，为上下两盘之间的垂直距离，上圆盘选线距圆心为，所以有下圆盘绕中心轴的转动惯量为: （19）
在下盘盘心上放上2个质量均为、转动惯量为（ 对轴）的圆柱体时，得到总转动惯量为，测出周期为,则有：
（20）
那么，此时一个圆柱体的转动惯量(对轴)为,将2个圆柱体对称地放置于下盘两侧，且圆柱体的质心到下盘心的距离为，得到总转动惯量为，测出周期为，则有：
（21）
利用转动惯量的平行轴定理，此时2个圆柱体对轴的总转动惯量为： （22）
则2个圆柱对的转动惯量增加了,因此有：
（23）
所以有： （24）
实验时，测出下盘质量、圆柱体质量、下盘盘心到绳子的悬点距离、上盘盘心到绳子的悬点距离、上盘和下盘的距离、圆柱体的质心到下盘盘心的距离以及、，就可以求出。
3.实验步骤：
（1）调节上盘绕线螺丝使3根线基本登场，将2个质量分别为的圆柱体放在下盘中心，再将3根细绳严格调为等长（绳长），调节底脚螺丝，是上、下盘处于水平状态。
（2）三线摆平衡后，用手轻轻扭转上盘左右随即退回原处，使下盘绕仪器中心轴做小角度扭转摆动（不应伴有晃动）。用数字毫秒计测出10次完全震动的时间10，重复测量五次求平均值，计算出振动周期。
（3）将2个质量分别为的圆柱体对称放在下盘，使它们的中心轴重合。再用数字毫秒计测出10次完全振动的时间10，重复测量五次求平均值，计算出振动周期。
（4）测出圆柱体质量。圆柱体的质心到盘心的距离及仪器有关参量、、和等，因上盘对称悬挂，使三选点正好联成1个正三角形，若测得两悬点间的距离为，所测数据如（表九）所示。
4.实验数据以及处理
下盘质量，圆柱体质量，，，

表九 三线摆法测重力加速度数据表

次数

1
10.997
13.296
2
10.979
13.287
3
10.999
13.270
4
11.004
13.279
5
10.992
13.265
由实验数据得：，，
∴
二、测量方法的比较与研究
（一）原理的难易程度比较
本文所选用的七种测量重力加速度的方法，其原理几乎都建立在中学、大学所学物理内容的基础上，对于大学生特别是物理专业的学生更加易于理解。
平衡法是以初中开始接触的为原理对涉及计算重力加速度的相关物理量进行测量，然后通过科学的数据处理，得出重力加速度的一种方法，其实验原理最简单也最易理解。自由落体法测重力加速度是根据这一位移公式，在物理做自由落体运动时这一特殊条件的利用，对位移、时间等物理量的测量，从而得到重力加速度的方法。滴水法测重力加速度与自由落体法侧重力加速度的原理近乎相同，同是对物体做自由落体运动时的利用，不同的是自由落体法中初速度不为零，而滴水法中初速度为零。而对于单摆法测重力加速度，是在中学学习的有关于单摆的周期公式的基础上，对多个周期的时间以及摆长进行测量科学测量和数据处理，然后得到重力加速度的一种简单方法。凯特摆法中利用的原理是刚体绕轴转动时，当摆幅很小的情况下刚体绕轴摆动的周期公式来求得重力加速度的一种方法。凯特摆法的原理中涉及到了刚体的转动惯量以及等效摆长的问题，这是该实验原理理解起来的两个难点。同是涉及到转动惯量的这一概念的方法还有三线摆法测重力加速度，不同于凯特摆法的是，三线摆法中还涉及到了转动惯量的平行轴定理，这增加了三线摆法原理的理解难度。用倾斜的气垫导轨法测重力加速度的实验原理中涉及到粘性阻尼常量，这是以前没有接触到的物理量，所以在理解含义及熟悉其推导过程时会有一定的难度。综上所述，比较而言，实验原理最简单的是平衡法，中等的是自由落体法、滴水法、单摆法，难度较高的是倾斜导轨法、凯特摆法以及三线摆法。
（二）仪器的简便程度比较
本文所选的七种实验，在过程中所用仪器也较简便，都是在实验室里比较常见的仪器，其中实验仪器构造相对比较复杂的是三线摆、凯特摆、自由落体仪、气垫导轨。对于所选仪器的原因，一是对它们比较熟悉，二是所选择的仪器都是可用来直接测量参量，所以用起来比较简便。在所选仪器使用中感到复杂的就是对智能数字测时器的使用以及气垫导轨的调平、凯特摆的调试、三线摆的调试比较复杂。智能数字测时器，它功能较多，可测时间、速度、加速度等，在对其的使用过程中不注意调节，容易出错。气垫导轨调平时，需多次进行测量并调试才能达到平衡要求。凯特摆及三线摆的调试也需要进行测量后根据数据来调试，所以比较难。综合比较，平衡法中的实验仪器最简便，然后依次是滴水法，单摆法，自由落体法，凯特摆法，三线摆法，气垫导轨法。
（三）操作难易程度比较以及误差比较
本文中所选用的七种实验方法从实验仪器的使用及对实验原理的理解都比较容易，但有的方法虽然容易了解，但要得到最佳的实验结果，在实际操作中要求很高，不容易做到，具有一定的难度。
在用滴水法测量重力加速度时，看起来感觉比较容易，但如果要得到最佳的实验结果，在实验的操作过程中的一些细节却很难做到。比如调节闸门，让听到第一滴水声看到第二滴水刚刚离开闸门，这不仅是要动手能力强，而且要有很高的观察能力和反应能力。而这些细节对实验的影响又很大，如果调试不准，会对实验结果带来很大的误差，所以要得到最佳的实验结果具有较大的难度。还有空气的流动引入的误差也是不能忽视的，所以难度较大。
用气垫导轨法测量重力加速度，实验原理也容易理解，难度主要是在对气垫导轨的调平和对智能数字测时器的使用的操作中。要把气垫导轨调节到水平状态的是不容易做到的，需要进行多次的调试。而气垫导轨水平状态的好坏程度和在测量数据时对智能数字测时器使用的熟练程度，对整个实验影响都很大。如果气垫导轨的调平工作没有做好，会导致粘性阻尼常量计算不准确，同时也会给实验的最终结果带来较大的误差。
在用单摆法测量时，操作者不仅要细心，还要反应快、动手快。如果在操作过程中注意力不集中，把摆动周期数数错；或是反应不够快，没有及时按下停表；或是在操作过程中不规范，在释放小球时没有让小球和摆线在同一平面内摆动，而是在绕圆锥摆。对于这一点，在大量的实验经验中发现：在摆长越短时越难控制，小球越容易绕圆锥转动，同时引入误差也很大；但在此也并不是说摆长越长越好，由大量的经验得在选择的摆长时，摆长不应太长也不应太短，因此摆长的选择对实验结果的影响很大。以上所述情况都会给实验带来较大误差。还有空气的流动也会引入误差。
用平衡法测量，操作是最简便的，误差主要是由实验仪器的老化以及人眼所读数据与真实数据间存在一定误差的引入，在实验过程中我用物理天平测量了已知钩码的质量，发现它与理论值具有一定的偏差，还有弹簧秤的弹簧由于老化而弹力系数发生变化，因此所测量的重力不准确，对测量结果带来很大误差，所以本方法只提倡用来粗测。
在使用自由落体仪测量时，操作也较简单，所引入的误差主要是来自：实验仪器自身引入的误差；实验装置的铅直程度调节不到位引入的误差；空气的流动引入的误差；断电后具有剩磁，使小球断电后不是自由下落，还受到磁力的影响(此点我在实验过程中发现，断电后小球没有下落，粘在电磁铁上)，这样也会引入一定的误差。在选择小球的过程中发现，小球越小所受磁力影响也大，同时测量时误差越大，从而说明断电后的剩磁所带来的误差也不小，所以在用此方法进行实验时，不要选择太小的小球进行实验；还有是人为因素引入的误差，既没有准确测量出两光电门之间的距离。
对于用凯特摆测重力加速度，在调节两摆锤的位置使其两周期相接近时比较难，在此要注意调节摆锤时在周期较接近时应用小摆锤进行微调。实验结果误差主要来自于对于两摆锤周期的调节未调好，而导致周期测量不精准，以及长度测量上的误差，既真实值和人眼所读数值上的误差，同时还来源于本身的系统误差。
三线摆法测重力加速度的操作过程中，有一定操作难度的是在调节三线摆三根线等长（既使下盘水平），同时在扭转三线摆下盘的时候要细心，不可随意扭转一下，以免使下盘在扭转摆动的同时会伴有晃动，给实验结果带来误差。该实验的误差还来源于系统误差、绳子材质不同引入的误差以及人眼所读数据与真实数据间的误差，待测物的质量的测量引入的误差等。同时实验时尽量保证两圆柱体的质心与盘心的回转轴心相重合，若偏离较大，也会给实验结果带来误差。
（四）测量的多少及数据处理难易程度的比较
本文中所用的七种测量方法，从待测物理量及对实验数据处理方面来看都不算难。在七种种方法中最难的是气垫导轨法和三线摆法。用气垫导轨法测量时，一是参量多，所需要测量的数据多；二是在实验数据处理时所要处理的数据较多，容易混乱出错。在用三线摆法进行测量时，虽不需要对所得数据进行处理后使用，但所测参量多，在进行不确定度计算时考虑的参量也多，容易导致计算错误或漏算。其次是凯特摆法。凯特摆法中虽实验结果中所测数据不多，且数据不需经过处理再使用，但是，在调节两摆锤周期的过程中需要多次进行测量调节，比较麻烦。最简单的是平衡法，测量数据少，数据处理比较简便。其余四种都差不多，主要是对时间及长度的测量，测量量的多少还与实验者有关，但实验数据处理都比较简单。
（五）实验测量结果的比较
1.公认值：
2.测量值，如下表（表十）：
表十 实验结果数据表
实验方法
实验所得结果
自由落体法测重力加速度

单摆法测重力加速度

倾斜气垫导轨测重力加速度

平衡法测重力加速度

滴水法测重力加速度

三线摆法测重力加速度

3.比较
（六）测量方法综合比较（如表（表十一））
表十一 测量方法比较表
比较内容
从易到难（或从简到繁或从少到多）的顺序
1
2
3
4
5
7
原理的难易程度
平衡法
单摆法
滴水法
自由落体法
倾斜气垫导轨法
三线摆法
仪器的简便程度
平衡法
滴水法
单摆法
自由落体法
凯特摆法
倾斜气垫导轨法
操作的难易程度
平衡法
自由落体法
单摆法
凯特摆法
三线摆法
滴水法
测量量的多少
平衡法
滴水法
单摆法
自由落体法
凯特摆法
倾斜气垫导轨法
数据处理简易程度
平衡法
滴水法
单摆法
自由落体法
凯特摆法
倾斜气垫导轨法
测量结果的可靠程度
凯特摆法
单摆法
自由落体法
倾斜气垫导轨法
三线摆法
平衡法

总结
本文用自由落体法、单摆法、倾斜气垫导轨、平衡法、滴水法、三线摆法等六种方法对重力加速度进行测量,对每种实验方法的实验数据进行记录、处理、误差分析，得到最终结果并与本地重力加速度的公认值进行分析比较，得到在这七种测量方法中以凯特摆法、单摆法测得的与公认值最接近。相比较下，凯特摆法是我们目前实验室测量本地重力加速度的最佳方法，从总体上来说是相对简便准确的。在实验操作中比单摆法、平衡法、滴水法复杂，但比自由落体仪测量法、三线摆法、气垫导轨测量法简单。
用单摆法测量时，虽然原理简单，但由于单摆摆动时不会严格的在同一平面摆动，秒表的开始和停止也不会相当准确，以及单摆摆线的选择和长度的测量方面，都会给实验结果但来误差。
用气垫导轨测量法测量时，虽然气垫防止与导轨摩擦，用此方法测量应该较为精确，但是由于气垫导轨调节水平不容易实现，带来较大误差，导致测量结果与理论值偏差较大，且实验仪器复杂，实验参数多，处理复杂等。
用滴水法、平衡法测量时，虽然实验仪器操作简便，但也有弊端。滴水法在调节闸门时难以做到，且要求操作者反应快，动手快；用平衡法测量时，一起简便，但由于实验仪器不标准，所以给实验结果带来较大的误差。
用自由落体法测量时主要是实验装置的铅直程度调节不到和断电后具有剩磁会带来较大误差。
用三线摆法测量时主要是长度数据的测量上，下盘摆动上以及摆线的选择上会给实验结果带来较大误差。
总之，通过对每种实验方法进行分析比较、研究，这七种测量方法各有各的优缺点。从总体上看，利用凯特摆法来测量本地重力加速度是目前我们实验室中所能进行的最佳方案。

参考文献
[1]施卫，杨党强，张显斌等.大学物理实验[M].北京：机械工业出版社,2006年.
[2]吴桂玺,郭瑞红.物理实验[M].成都：电子科技大学出版社,2006.
[3]康崇,黄宗军,史金辉等.大学物理实验[M].哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社,2006年.
[4]胡成华,周平,兰明乾.大学物理实验[M].成都：电子科技大学出版社,2006年.
[5]谭金凤,张慧军.大学物理实验[M].北京：北京邮电大学出版社,2006年.
[6]朱莉,周晶,付志雄等.大学物理实验[M].吉林：吉林人民出版社出版,2005年.
[7]丁益民,徐扬子.大学物理实验[M].北京：科学出版社,2008年.
[8]杨述武,贾玉民,张景泉等.普通物理实验[M].北京：高等教育出版社,2000年.
[9]李建新,刘伟,吴洁等.大学物理实验[M].西安：西北工业大学出版社,2007年.
[10]金清理,黄晓虹.基础物理实验[M].浙江：浙江大学出版社,2007年.
[11]彭前程,杜敏,付荣兴等.九年级义务教育课程标准实验教科书物理 [M].云南：人民教育出版,2006年.
[12]人民教育出版社物理室.全日制普通高级中学教科书物理[M].云南：人民教育出版,2000年.
[13]王殿元,聂映中,罗江龙.大学物理实验[M].北京：北京邮电大学出版社,2004年.

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