西城区学习探究诊断_第二十八章__锐角三角函数.doc

第二十八章 锐角三角函数
1 锐角三角函数定义
一、填空题
1．如图所示，B、B′是∠MAN的AN边上的任意两点，BC⊥AM于C点，B′C′⊥AM于C′点，则△B'AC′∽______，从而，又可得
①______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比是一个______值；
②______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比也是一个______；
③______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比还是一个______．

第1题图
2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．

第2题图
①＝______， ＝______；
②＝______， ＝______；
③＝______， ＝______．
3．因为对于锐角a 的每一个确定的值，sina 、cosa 、tana 分别都有____________与它______，所以sina 、cosa 、tana 都是____________．又称为a 的____________．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝1，b＝3，则c＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，若a＝16，c＝30，则b＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinC＝______，cosC＝______，tanC＝______．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则∠B＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
二、解答题
8．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．
求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．

9．已知Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．

综合、运用、诊断
10．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．
DE∶AE＝1∶2．
求：sinB、cosB、tanB．

11．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，
求：AB及OC的长．

12．已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，
(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；
(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．

13．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，

(1)求AB边上的高CD；
(2)求△ABC的面积S；
(3)求tanB．

14．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．

拓展、探究、思考
15．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，按要求填空：

(1)
∴______；
(2)
∴b＝______，c＝______；
(3)
∴a＝______，b＝______；
(4)∴______，______；
(5) ∴______，______；
(6)∵3，∴______，______．
16．已知：如图，在直角坐标系xOy中，射线OM为第一象限中的一条射线，A点的坐标为(1，0)，以原点O为圆心，OA长为半径画弧，交y轴于B点，交OM于P点，作CA⊥x轴交OM于C点．设∠XOM＝a ．
求：P点和C点的坐标．(用a 的三角函数表示)

17．已知：如图，△ABC中，∠B＝30°，P为AB边上一点，PD⊥BC于D．

(1)当BP∶PA＝2∶1时，求sin∠1、cos∠1、tan∠1；
(2)当BP∶PA＝1∶2时，求sin∠1、cos∠1、tan∠1．

测试2 锐角三角函数
学习要求
1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．
2．初步了解锐角三角函数的一些性质．
课堂学习检测
一、填空题
1．填表．
锐角a
30°
45°
60°
sina

cosa

tana

二、解答题
2．求下列各式的值．
(1)

(2)tan30°－sin60°·sin30°

(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°

(4)

3．求适合下列条件的锐角a ．
(1) (2)

(3) (4)

4．用计算器求三角函数值(精确到0.001)．
(1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______．
5．用计算器求锐角a (精确到1″)．
(1)若cosa ＝0.6536，则a ＝______；
(2)若tan(2a ＋10°31′7″)＝1.7515，则a ＝______．

综合、运用、诊断
6．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，
求此菱形的周长．

7．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．
求：sin∠ACB的值．

8．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB．求：

(1)∠D及∠DBC；
(2)tanD及tan∠DBC；
(3)请用类似的方法，求tan22.5°．

9．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：

(1)∠BAD；
(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．

10．已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．

拓展、探究、思考
11．已知：如图，∠AOB＝90°，AO＝OB，C、D是上的两点，∠AOD＞∠AOC，求证：

(1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；
(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；
(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；
(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．

12．已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE．

(1)求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；
(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______．

13．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：

(1)sin2A＋cos2A＝1；
(2)

14．化简：(其中0°＜a ＜90°)

15．(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin30°______2sin15°cos15°； ②sin36°______2sin18°cos18°；
③sin45°______2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°______2sin30°cos30°；
⑤sin80°______2sin40°cos40°； ⑥sin90°______2sin45°cos45°．
猜想：若0°＜a ≤45°，则sin2a ______2sina cosa ．
(2)已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2a ．请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论．

16．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于H点．在底边BC保持不变的情况下，当高AD变长或变短时，△ABC和△HBC的面积的积S△ABC·S△HBC的值是否随着变化?请说明你的理由．

测试3 解直角三角形(一)
学习要求
理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型．
课堂学习检测
一、填空题
1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，

第1题图
①三边之间的等量关系：
__________________________________．
②两锐角之间的关系：
__________________________________．
③边与角之间的关系：
______； _______；
_____； ______．
④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．

第④小题图
在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．
CD2＝_________；AC2＝_________；
BC2＝_________；AC·BC＝_________．
⑤直角三角形的主要线段(如图所示)．

第⑤小题图
直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________．
若r是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆半径，则r＝_________＝_________．
⑥直角三角形的面积公式．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
S△ABC＝_________．(答案不唯一)
2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角)
3．填写下表：
已知条件
解法
一条边和
斜边c和锐角∠A
∠B＝______，a＝______，b＝______
一个锐角
直角边a和锐角∠A
∠B＝______，b＝______，c＝______
两条边
两条直角边a和b
c＝______，由______求∠A，∠B＝______
直角边a和斜边c
b＝______，由______求∠A，∠B＝______
二、解答题
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°．
(1)已知：a＝35，，求∠A、∠B，b；

(2)已知：，，求∠A、∠B，c；

(3)已知：，，求a、b；

(4)已知：求a、c；

(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积求a、b、c及∠B．

综合、运用、诊断
5．已知：如图，在半径为R的⊙O中，∠AOB＝2a ，OC⊥AB于C点．

(1)求弦AB的长及弦心距；
(2)求⊙O的内接正n边形的边长an及边心距rn．

6．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC′＝
BB′＝3.2m．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)

7．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)．

拓展、探究、思考
8．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．

(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米?(保留根号)
(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层?

9．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离?

10．已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?(保留整数)

测试4 解直角三角形(二)
学习要求
能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形．
课堂学习检测
1．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．
求AB及BC的长．

2．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．

3．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．
求AB及BC的长．

4．已知：如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6cm．求AD的长．

综合、运用、诊断
5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．

6．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，)

7．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC．

8．已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC＝20m，斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度(精确到1m)．

10．已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m长的竹竿，测得竹竿影长为1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m．问路灯高度为多少米?

11．已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求

(1)A、C两地之间的距离；
(2)确定目的地C在营地A的什么方向?

拓展、探究、思考
13．已知：如图，在△ABC中，AB＝c，AC＝b，锐角∠A＝a ．

(1)BC的长；
(2)△ABC的面积．

15．已知：如图，在Rt△ADC中，∠D＝90°，∠A＝a ，∠CBD＝b ，AB＝a．用含a及a 、b 的三角函数的式子表示CD的长．

16．已知：△ABC中，∠A＝30°，AC＝10，，求AB的长．

测试5 综合测试
1．计算．
(1) (2)

2．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AB＝32，BC＝12．
求：sin∠ACD及AD的长．

4．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，BE＝2EC，DM⊥AE于M点．求DM的长．

5．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝90°，∠ABD＝75°，∠DBC＝
30°，AB＝2a．求BC的长．

6．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，．AB＝3，求BC的长．

答案与提示
第二十八章 锐角三角函数
测试1
1．△BAC，AB，AC′．
①，对边，斜边，固定；
②，邻边，斜边，固定值；
③，对边，邻边，固定值．
2．①∠A的对边，∠B的对边，
②∠A的邻边，∠B的邻边，
③∠A的对边，∠B的邻边，
3．唯一确定的值，对应，a 的函数，锐角三角函数．
4．
5．
6．
7．
8．
9．
10．
11．AB＝2AC＝2AO·sin∠AOC＝24cm，
12．
13．(1)CD＝AC·sinA＝4cm；(2)
(3)
14．
15．(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
16．P(cosa ，sina )，C(1，tana )．提示：作PD⊥x轴于D点．
17．(1)
(2)
提示：作AE⊥BC于E，设AP＝2．
测试2
1．
锐角a
30°
45°
60°
sina

cosa

tana

1

2．(1)0； (2) (3) (4)
3．(1)a ＝60°；(2)a ＝30°；(3)22.5°；(4)46°．
4．(1)0.391；(2)1.423．
5．(1)49°11＇11″；(2)24°52＇44″．
6．104cm．提示：设DE＝12xcm，则得AD＝13xcm，AE＝5xcm．利用BE＝16cm．
列方程8x＝16．解得x＝2．
7．提示：作BD⊥CA延长线于D点．
8．(1)∠D＝15°，∠DBC＝75°；
(2) (3)
9．(1)15°；
(2)
10．提示：作DE∥BA，交AC于E点，或延长AD至F，使DF＝
AD，连结CF．
11．提示：作CE⊥OA于E，作DF⊥OA于F． (3)增大， (4)减小．
12．(2)增大．
13．提示：利用锐角三角函数定义证．
14．原式

15．(1)①～⑥略．sin2a ＝2sina cosa ．
(2)

∴sin2a ＝2sina cosa ．
16．不发生改变，设∠BAC＝2a ，BC＝2m，则
测试3
1．①a2＋b2＝c2； ②∠A＋∠B＝90°； ③
④AD·BD，AD·AB，BD·BA，AB·CD：
⑤一半，它的外心，(或)
⑥或(h为斜边上的高)或或或
(r为内切圆半径)
2．两个元素，有一个是边，直角边，一条直角边，斜边，一条直角边．
3．90°－∠A，sinA，cosA；

4．(1)∠A＝45°，∠B＝45°，b＝35；
(2)∠A＝60°，∠B＝30°，c＝4；
(3)
(4)
(5)
5．(1)AB＝2R·sina ，OC＝R·cosa ；
(2)
6．AB≈6.40米，BC≈5.61米，AB＋BC≈12.0米．
7．约为222cm．
8．(1)米．
(2)4层，提示：设甲楼应建x层则
9．
10．6米．
测试4
1．
2．cm．
3．提示：作CD⊥AB延长线于D点．
4．cm．
5．山高
6．约为27.3海里．
7．．
8．约为17m，提示：分别延长AD、BC，设交点为E，作DF⊥CE于F点．
9．约477.13m．
10．10m．
11．(1)AC＝1 000m； (2)C点在A点的北偏东30°方向上．
12．面积增加24m2，需用240 000m2土石．
13．(1)提示：作CD⊥AB于D点，则CD＝b·sina ，
AD＝b·cosa ．再利用BC2＝CD2＋DB2的关系，求出BC．
(2)
14．(1)AB＝b·cosa ＋a·cosb . 提示：作CD⊥AB于D点．
(2)提示：由bsina ＝CD＝asinb 可得bsina ＝asinb ，从而．
15．提示：AB＝AD－BD＝CD tan(90°－a )－CD tan(90°－b )
＝CD〔tan(90°－a )－tan(90°－b )〕，
或
16．或提示：AB边上的高CD的垂足D点可能在AB边上(这时AB＝
，也可能在AB边的延长线上(这时)．
17．
测试5
1．(1) (2)
2．
3．(1)或 (2)
4．
5．．提示：作BE⊥AD于E点．
6．BC＝6．提示：分别延长AB、DC，设它们交于E点．
7．(1)提示：作⊙O的直径BA＇，连结A＇C．
(2)提示：当A点在优弧BC上且AO⊥BC时，△ABC有面积的最大值．
8．提示：

第二十八章 锐角三角函数全章测试
一、选择题
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，则AC的长为( )
A．6 B． C． D．
2．⊙O的半径为R，若∠AOB＝a ，则弦AB的长为( )
A． B．2Rsina C． D．Rsina
3．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )
A． B．12 C． D．
4．若某人沿倾斜角为a 的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是( )
A． B．100sina m C． D．100cosb m
5．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m，路基高为4m，则路基的下底宽应为( )
A．15m B．12m C．9m D．7m
6．P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B点，若∠APB＝2a ，⊙O的半径为R，则AB的长为( )
A． B． C． D．
7．在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，若CB＝a，∠B＝b ，则AD等于( )
A．asin2b B．acos2b C．asinb cosb D．asinb tanb
8．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AD、BC相交于P点，那么的值为( )

A．sin∠APC B．cos∠APC C．tan∠APC D．
9．如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离(CE的长度)为8m，测得旗杆的仰角∠ECA为30°，旗杆底部的俯角∠ECB为45°，那么，旗杆AB的高度是( )

第9题图
A． B．
C． D．
10．如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l1＝5.2m、l2＝6.2m、l3＝7.8m、l4＝10m，四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用( )

第10题图
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
二、填空题
11．在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，若D是AC边中点，则tan∠DBC的值为______．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝10，若△ABC的面积为，则∠A＝______度．
13．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若则cos∠ADC＝______．

第13题图
14．如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度，拱形的半径R＝30m，则拱形的弧长为______．

第14题图
15．如图所示，半径为r的圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O的移动到与AC边相切时，OA的长为______．

第15题图
三、解答题
16．已知：如图，AB＝52m，∠DAB＝43°，∠CAB＝40°，求大楼上的避雷针CD的长．(精确到0.01m)

17．已知：如图，在距旗杆25m的A处，用测角仪测得旗杆顶点C的仰角为30°，已知测角仪AB的高为1.5m，求旗杆CD的高(精确到0.1m)．

18．已知：如图，△ABC中，AC＝10，求AB．

19．已知：如图，在⊙O中，∠A＝∠C，求证：AB＝CD(利用三角函数证明)．

20．已知：如图，P是矩形ABCD的CD边上一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，AC＝15，BC＝8，求PE＋PF．

21．已知：如图，一艘渔船正在港口A的正东方向40海里的B处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C岛运送一批物资到A港，已知C岛在A港的北偏东60°方向，且在B的北偏西45°方向．问该船从B处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A港(精确到1小时)(该船在C岛停留半个小时)?

22．已知：如图，直线y＝－x＋12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．

(1)求AE的长及sin∠BEC的值；
(2)求△CDE的面积．

23．已知：如图，斜坡PQ的坡度i＝1∶，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O点为原点，OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B，最高点为C．

(1)写出A点的坐标及直线PQ的解析式；
(2)求此抛物线AMC的解析式；
(3)求｜xC－xB｜；
(4)求B点与C点间的距离．

答案与提示
第二十八章 锐角三角函数全章测试
1．B． 2．A． 3．A． 4．B． 5．A．
6．C． 7．C． 8．B． 9．D． 10．B．
11． 12．60． 13． 14．20pm． 15．
16．约4.86 m．
17．约15.9m．
18．AB＝24．提示：作AD⊥BC于D点．
19．提示：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F．设⊙O半径为R，∠A＝∠C＝a ．
则AB＝2Rcosa ，CD＝2Rcosa ，∴AB＝CD．
20．提示：设∠BDC＝∠DCA＝a ．PE＋PF＝PCsina ＋PDsina ＝CDsina ．

21．约3小时，提示：作CD⊥AB于D点．设CD＝x海里．
22．(1)提示：作CF⊥BE于F点，设AE＝CE＝x，则EF 由CE2＝CF2＋EF2得
(2)提示：
设AD＝y，则CD＝y，OD＝12－y，由OC2＋OD2＝CD2可得
23．(1)A(0，1)，
(2)
(3)．
(4)