量子力学必考题.doc
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量子力学必考题 第二章 微扰理论 3.5 一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式是,L为角动量,求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数: (1) 转子绕一固定轴转动: (2) 转子绕一固定点转动:(考一问) 解:(1)设该固定轴沿Z轴方向,则有 哈米顿算符 其本征方程为 (无关,属定态问题) 令 ,则 取其解为 (可正可负可为零) 由波函数的单值性,应有 即 ∴m= 0,±1,±2,… 转子的定态能量为 (m= 0,±1,±2,…) 可见能量只能取一系列分立值,构成分立谱。 定态波函数为 A为归一化常数,由归一化条件 ∴ 转子的归一化波函数为 综上所述,除m=0外,能级是二重简并的。 (2)取固定点为坐标原点,则转子的哈米顿算符为 无关,属定态问题,其本征方程为 (式中设为的本征函数,为其本征值) 令 ,则有 此即为角动量的本征方程,其本征值为 其波函数为球谐函数 ∴ 转子的定态能量为 可见,能量是分立的,且是重简并的。 第七章 自旋与全同粒子 7.3.求的本征值和所属的本征函数。(考的本征值和本证函数) 解:的久期方程为 ∴ 的本征值为。 设对应于本征值的本征函数为 由本征方程 ,得 由归一化条件 ,得 即 ∴ 对应于本征值的本征函数为 同理可求得的本征值为。其相应的本征函数分别为 7.5设氢的状态是 ①求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值; ②求总磁矩 的 z分量的平均值(用玻尔磁矩子表示)(必考) 解:ψ可改写成 从ψ的表达式中可看出的可能值为 0 相应的几率为 的可能值为 相应的几率为 (以下的可能会考,最后一节课讲得) 第三章 量子力学中的力学量 1、动量算符的本征值方程: 2、两个表示力学量的算符之间的关系: (1) 对易:有组成完全系的共同本征态 (2) 不对易:若ÔÛ ≠ ÛÔ,则称Ô 与 Û 不对易。 3、量子力学中的算符表示对波函数(量子态)的一种运算 如动量算符 能量算符 动能算符 动能平均值 角动量算符 角动量平均值 薛定谔方程 算符 ,被称为哈密顿算符,(求算符的对易) 第五章 微扰理论 1、定态微扰理论 适用范围:求分立能级及所属波函数的修正,适用条件 (2分填空) (1) 非简并情况: (大题不会写公式4分) 第七章 自旋与全同粒子 施特恩-格拉赫实验——证明电子具有自旋 2、光谱线精细结构:钠原子光谱中的一条亮黄线 5893Å,用高分辨率的光谱仪观测,可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。其他原子光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些线组成的现象,称之为光谱线的精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释。(填空or选择) 1、 自旋角动量平方算符的本征值: 4、(1)简单塞曼效应:在强磁场作用下,光谱线的分裂 现象。 (2)复杂塞曼效应:当外磁场较弱,轨道-自旋相互作 用不能忽略时,将产生复杂塞曼效应。(填空or选择) 5、泡利不相容原理:如果N个单粒子态中有两个单粒子态相同,则(7.7.13)行列式中有两行相同,因而行列式等于零。这表示不能有有两个或两个以上的费米子处于同一状态,这结果成为泡利不相容原理。(填空or选择) 6、(1)玻色子:凡自旋为 整数倍(s = 0,1,2,……) 的粒子,其多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是对称的,称为 Bose 子。 (2)费米子:凡自旋为 半奇数倍(s =1/2,3/2,……) 的粒子,其多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是反对称的,称为Fermi 子。(填空or选择) 于是得到 Pauli 算符的矩阵形式为:(大题,填空or选择不确定) 从自旋算符与 Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示:- 配套讲稿:
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