七年级上册数学压轴题（含答案）.docx

七年级上册 数学压轴题
参考答案与试题解析

一．解答题（共 22 小题）

1．（2021 秋•普陀区期末）如图 1，长方形纸片 ABCD（AD＞AB），点 O 位于边 BC 上，点 E 位于边 AD 上，将纸片沿 OE 折叠，点 C、D 的对应点分别为点 C′、D′．
（1） 当点 C′与点 A 重合时，如图 2，如果 AD＝12，CD＝8，联结 CE，那么△CDE 的周长是 20 ；

（2） 如果点 F 位于边 AB 上，将纸片沿 OF 折叠，点 B 的对应点为点 B′．

①当点 B′恰好落在线段 OC′上时，如图 3，那么∠EOF 的度数为 90° ；（直接填写答案）

②当∠B′OC′＝20°时，作出图形，并写出∠EOF 的度数.

【分析】（1）证明 DE+EC＝AD＝12，可得结论；

（2）①利用角平分线的定义以及平角的性质解决问题即可；

②分两种情形，分别画出图形，利用角平分线的定义，平角的性质解决问题即可．

【解答】解：（1）如图 2 中，点 C′与点 A 重合时，

由翻折的性质可知，EA＝EC，

∴DE+EC＝DE+EA＝AD＝12，

∴△CDE 的周长＝DE+EC+CD＝12+8＝20． 故答案为：20；

第31页（共31页）

（2）①如图 3 中，

由翻折的性质可知，∠BOF＝∠B′OF，∠EOC＝∠EOC′，

∵∠BOC＝180°，
∴∠EOF＝∠EOB′+∠FOB′＝ （∠COB′+∠BOB′）＝ ∠BOC＝90°． 故答案为：90°；

②如图 4﹣1 中，当 OB′值 OC′的下方时，

∵∠B′OC′＝20°，

∴∠BOB′+∠COC′＝180°﹣20°＝160°，
∵∠FOB′＝ ∠BOB′，∠EOC′＝ ∠COC′，
∴∠FOB′+∠EOC′＝ ×160°＝80°，
∴∠EOF＝∠FOB′+∠EOC′+∠B′OC′＝100°． 如图 4﹣2 中，当 OB′在 OC′的上方时，

∵∠B′OC′＝20°，

∴∠BOB′+∠COC′＝180°+20°＝200°，
∵∠FOB′＝ ∠BOB′，∠EOC′＝ ∠COC′，
∴∠FOB′+∠EOC′＝ ×200°＝100°，
∴∠EOF＝∠FOB′+∠EOC′﹣∠B′OC′＝80°． 综上所述，∠EOF 的度数为 100°或 80°．

2．（2021 秋•浦东新区期末）生活中，有人喜欢把传送的便条折成“ ”形状，折叠过程按图①、②、③、

④的顺序进行（其中阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为 26 厘米，分别回答下列问题：

（1） 如果长方形纸条的宽为 2 厘米，并且开始折叠时起点 M 与点 A 的距离为 3 厘米，那么在图②中，BE＝ 21

厘米；在图④中，BM＝ 15 厘米．

（2） 如果长方形纸条的宽为 x 厘米，现不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点 P 的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点 M 与点 A 的距离（结果用 x 表示）．
【分析】（1）观察图形，由折叠的性质可得，BE＝纸条的长﹣宽﹣AM，BM 的长等于②中 BE 的长﹣2 个宽；
（2）根据轴对称的性质，由图可得 AP＝BM＝，继而可求得在开始折叠时起点 M 与点 A 的距离．
【解答】解：（1）图②中 BE＝26﹣3﹣2＝21（厘米），图④中 BM＝21﹣2×3＝15（厘米）．
故答案为：21，15；

（2）∵图④为轴对称图形，
∴AP＝BM＝ ，
∴AM＝AP+PM＝ +x＝13﹣ x．
即开始折叠时点 M 与点 A 的距离是 厘米．

3．（2020 秋•虹口区期末）如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 内部有两个大小相同的长方形 AEFG、HMCN，HM

与 EF 相交于点 P，HN 与 GF 相交于点 Q，AG＝CM＝x，AE＝CN＝y．

（1） 用含有 x、y 的代数式表示长方形 AEFG 与长方形 HMCN 重叠部分的面积 S 四边形 HPFQ，并求出 x 应满足的条件；
（2） 当 AG＝AE，EF＝2PE 时，

①AG 的长为 4 ．

②四边形 AEFG 旋转后能与四边形 HMCN 重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的所有点，并分别说明如何旋转的．

【分析】（1）依据 PH＝HM﹣PM＝y﹣（6﹣y）＝2y﹣6，PF＝EF﹣PE＝x﹣（6﹣x）＝2x﹣6，即可得到 S 四边形
HPFQ＝（2x﹣6）（2y﹣6）＝4xy﹣12x﹣12y+36，x 应满足的条件是：3＜x＜6；
（2）①当 AG＝AE，EF＝2PE 时，四边形 AEFG、四边形 MCNH 都是正方形，点 P 为 EF 的中点，据此可得 AG
＝EF＝ AD；②依据四边形 AEFG、HMCN 都是正方形，点 P 既是 EF 的中点也是 HM 的中点，点 Q 既是 GF
的中点也是 HN 的中点，联结 HF、PQ，设交点为点 O，那么该图形所在平面上可以作为旋转中心的点为点 O、点 P、点 Q．
【解答】解：（1）由题意可得：

PM＝BE＝AB﹣AE＝6﹣y，那么 PH＝HM﹣PM＝y﹣（6﹣y）＝2y﹣6， PE＝BM＝BC﹣CM＝6﹣x，那么 PF＝EF﹣PE＝x﹣（6﹣x）＝2x﹣6， 所以重叠部分长方形 HPFQ 的面积为：
S 四边形 HPFQ＝（2x﹣6）（2y﹣6）＝4xy﹣12x﹣12y+36，
x 应满足的条件是：3＜x＜6；

（2）①当 AG＝AE，EF＝2PE 时，四边形 AEFG、四边形 MCNH 都是正方形，点 P 为 EF 的中点，

∴EP＝PF＝GD，
∴AG＝EF＝ AD＝4， 故答案为：4；

②可以发现此时四边形 AEFG、HMCN 都是正方形，点 P 既是 EF 的中点也是 HM 的中点，点 Q 既是 GF 的中点也是 HN 的中点．
联结 HF、PQ，设交点为点 O，那么该图形所在平面上可以作为旋转中心的点为点 O、点 P、点 Q．

四边形 AEFG 绕着点 O 逆时针方向（或顺时针方向）旋转 180 度可与四边形 HMCN 重合；

四边形 AEFG 绕着点 P 顺时针方向旋转 90 度（或逆时针方向旋转 270 度）可与四边形 HMCN 重合； 四边形 AEFG 绕着点 Q 逆时针方向旋转 90 度（或顺时针方向旋转 270 度）可与四边形 HMCN 重合．

4．（2021 秋•宝山区期末）数学兴趣小组的同学发现：一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动组合形成的，如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，这样的一种图形运动，大家讨论后把它称为图形的“翻移运动”，这条直线则称为（这次运动的）“翻移线”．如图 1，△A2B2C2 就是由△ABC 沿直线 l 翻移后得到的，
（先翻折，然后再平移）．

（1） 在学习中，兴趣小组的同学就“翻移运动”对应点（指图 1 中的 A 与 A2，B 与 B2…）连线是否被翻移线平分发生了争议．对此你认为如何？（直接写出你的判断）
（2） 如图 2，在长方形 ABCD 中，BC＝8，点 E，F 分别是边 BC，AD 中点，点 G 在边 CD 延长线上，联结 AE， FG，如果△GDF 是△ABE 经过“翻移运动”得到的三角形．请在图中画出上述“翻移运动”的“翻移线”直线a：联结 AG，线段 AG 和直线 a 交于点 O，若△OGF 的面积为 3，求此长方形的边长 AB 的长．
（3） 如图 3，M 是（2）中的长方形边 BC 上一点，如果 BM＝1，△ABM 先按（2）的“翻移线”直线 a 翻折， 然后再平移 2 个单位，得到△A1B1M1，联结线段 AA1、MM1，分别和“翻移线”a 交于点 K 和点 H，求四边形AKHM 的面积．

【分析】（1）画出图形，即可得出结论；

（2） 作直线 EF，即为“翻移线”直线 a，再由“翻移运动”的性质和三角形面积关系求解即可；

（3） 分两种情况：①△ABM 先按（2）的“翻移线”直线 a 翻折，然后再向上平移 2 个单位，②△ABM 先按（2）的“翻移线”直线 a 翻折，然后再向下平移 2 个单位，由“翻移运动”的性质、梯形面积公式和三角形面积公式分别求解即可．
【解答】解：（1）如图 1，连接 AA2，BB2…，

则“翻移运动”对应点（指图 1 中的 A 与 A2，B 与 B2…）连线被翻移线平分；
（2） 作直线 EF，即为“翻移线”直线 a，如图 2 所示：

∵四边形 ABCD 是长方形，

∴AB＝CD，AD＝BC＝8，
由“翻移运动”的性质得：AB＝DC＝GD，AF＝DF＝AD＝4，O 是 AC 的中点，
∴S△AOF＝S△OGF＝3，
∴S△AFC＝2S△OGF＝6，
∵AF＝DF，

∴S△CDF＝S△AFC＝6，
∴S△CDF＝ DG×DF＝ ×DG×4＝6，
∴DG＝3，

∴AB＝3；

（3） 分两种情况：

①△ABM 先按（2）的“翻移线”直线 a 翻折，然后再向上平移 2 个单位，如图 3 所示：

设△ABE 翻折后的三角形为△DCP，连接 PM1， 则 A1D＝B1C＝M1P＝2，
同（2）得：KF＝ A1D＝1，HE＝ M1P＝1，
∵BE＝4，BM＝1，

∴ME＝BE﹣BM＝3，
∴四边形 AKHM 的面积＝梯形 ABEK 的面积﹣△ABM 的面积﹣△HME 的面积＝×（3+3+1）×4﹣ ×3×1
﹣ ×3×1＝11；
②△ABM 先按（2）的“翻移线”直线 a 翻折，然后再向下平移 2 个单位，如图 4 所示：

设△ABE 翻折后的三角形为△DCP，连接 PM1， 则 A1D＝B1C＝M1P＝2，
同（2）得：KF＝ A1D＝1，HE＝ M1P＝1，
∵BE＝4，BM＝1，

∴ME＝BE﹣BM＝3，
∴四边形 AKHM 的面积＝梯形 AFEM 的面积﹣△AFK 的面积+△HME 的面积＝×（3+4）×3﹣ ×4×1+ ×
3×1＝10；

综上所述，四边形 AKHM 的面积为 11 或 10．

5．（2020 秋•普陀区期末）如图，已知三角形 ABC 中，∠B＝90°，将三角形 ABC 沿着射线 BC 方向平移得到三角形 DEF，其中点 A、点 B、点 C 的对应点分别是点 D、点 E、点 F，且 CE＝DE．
（1） 如图①，如果 AB＝4，BC＝2，那么平移的距离等于 6 ；（请直接写出答案）

（2） 在第（1）题的条件下，将三角形 DEF 绕着点 E 旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），使得点 F 恰好落在线段 DE 上的点 G 处，并联结 CG、AG．请根据题意在图②中画出点 G 与线段 CG、AG，那么旋转角 α 等于 90°或 270° ；（请直接写出答案）
（3） 在图②中，如果 AB＝a，BC＝b，那么此时三角形 ACG 的面积等于 ；（用含 a、b 的代数式
表示）

（4） 在第（3）小题的情况下，如果平移的距离等于 8，三角形 ABC 的面积等于 6，那么三角形 ACG 的面积等于 20 ；（请直接写出答案）如果平移距离等于 m，三角形 ABC 的面积等于 n，那么三角形 ACG 的面积等于
﹣2n ．（用含 m、n 的代数式表示，请直接写出答案）

【分析】（1）由平移的性质可得△ABC≌△DEF，可得 AB＝DE＝4＝CE，即可求解；

（2） 由旋转的性质直接可求解；

（3） 由“SAS”可证△ABC≌△CEG，可得 AC＝CG，∠BAC＝∠GCE，可证△ACG 是等腰直角三角形，由勾股定理和三角形面积公式可求解；
（4） 由完全平方公式可求 BC2+AB2 的值，由勾股定理和等腰直角三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）∵将△ABC 沿着射线 BC 方向平移得到△DEF，

∴△ABC≌△DEF，

∴AB＝DE＝4，

∵CE＝DE，

∴CE＝4，

∴平移距离＝BC+CE＝4+2＝6， 故答案为：6；
（2） 如图②，点 G 为所求点，

∴△DEF 绕着点 E 顺时针旋转 270°或△DEF 绕着点 E 逆时针旋转 90°， 故答案为：90°或 270°；
（3） 如图②，由折叠可知：GE＝EF， 又∵AB＝CE，∠ABC＝∠CEG＝90°，
∴△ABC≌△CEG（SAS），

∴AC＝CG，∠BAC＝∠GCE，

∵∠BAC+∠ACB＝90°，

∴∠ACB+∠GCE＝90°，

∴∠ACG＝90°，

∴△ACG 是等腰直角三角形，

∵AB＝a，BC＝b，

∴AC＝ ＝，
∴S△ACG＝ ×AC2＝ ， 故答案为：；
（4） 若平移的距离等于 8，三角形 ABC 的面积等于 6，
∴BC+CE＝8， ×AB×BC＝6，
∵AB＝CE＝DE，

∴BC+AB＝8，AB×BC＝12，

∴BC2+AB2+2AB•BC＝64，
∴BC2+AB2＝40，
∵AC2＝BC2+AB2，
∴AC2＝40，
∵△ACG 是等腰直角三角形，
∴S△ACG＝ ×AC2＝20；
若平移距离等于 m，三角形 ABC 的面积等于 n，

∴BC+CE＝m， ×AB×BC＝n，
∵AB＝CE＝DE，

∴BC+AB＝m，AB×BC＝2n，

∴BC2+AB2+2AB•BC＝m2，
∴BC2+AB2＝m2﹣4n，
∵AC2＝BC2+AB2，
∴AC2＝m2﹣4n，
∵△ACG 是等腰直角三角形，
∴S△ACG＝ ×AC2＝ ﹣2n， 故答案为：20， ﹣2n．

6．（2019 秋•金山区期末）如图一，已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝AC＝3，在 Rt△DEF 中，∠DFE＝

90°，EF＝DF＝5，点 B、F 重合，点 C、F、B、E 在同一直线上．现将△ABC 沿 FE 方向平移．

（1） 如图二，若平移距离为 1.2，求四边形 ACFG 的面积．

（2） 若平移距离为 x（0≤x≤5），设△ABC 与△DEF 的重叠部分的面积 y，那么 y 与 x 有怎样的数量关系．

【分析】（1）根据梯形面积即可解决问题；

（2）分两种情况即可解决问题．
【解答】解：（1）根据题意可知：四边形 ACFG 的面积＝（1.2+3）（3﹣1.2）＝3.78；
（2）当 0≤x≤3 时，y＝x2；
当 3＜x≤5 时，y＝ 3×3＝ ．

7．（2019 秋•黄浦区校级期末）若 x 满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2 的值．解：设 9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若 x 满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2 的值
（2）已知正方形 ABCD 的边长为 x，E，F 分别是 AD、DC 上的点，且 AE＝1，CF＝3，长方形 EMFD 的面积是

48，分别以 MF、DF 作正方形，求阴影部分的面积．

【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可；

（2）设正方形 ABCD 边长为 x，进而表示出 MF 与 DF，求出阴影部分面积即可．

【解答】解：（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；

（2）∵正方形 ABCD 的边长为 x，AE＝1，CF＝3，

∴MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，

∴（x﹣1）•（x﹣3）＝48，

∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+4×48＝196．
∴a+b＝14．

∴a＝8，b＝6，a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即阴影部分的面积是 28．

8．（2019 秋•黄浦区校级期末）如图 1，长方形纸片 ABCD 的两条边 AB、BC 的长度分别为 a、b（0＜a＜b），小明它沿对角线 AC 剪开，得到两张三角形纸片（如图 2），再将这两张三角纸片摆成如图 3 的形状，点 A、B、D、 E 在同一条直线上，且点 B 与点 D 重合，点 B、F、C 也在同一条直线上．
（1） 将图 3 中的△ABC 沿射线 AE 方向平移，使点 B 与点 E 重合，点 A、C 分别对应点 M、N，按要求画出图形，并直接写出平移的距离；（用含 a 或 b 的代数式表示）
（2） 将图 3 中的△DEF 绕点 B 逆时针方向旋转 60°，点 E、F 分别对应点 P、Q，按要求画出图形，并直接写出∠ABQ 的度数；
（3） 将图 3 中的△ABC 沿 BC 所在直线翻折，点 A 落在点 G 处，按要求画出图形，并直接写出 GE 的长度．（用含 a、b 的代数式表示）

【分析】（1）根据平移作图的步骤进行平移作图即可，观察对应点之间的距离判断即可；

（2） 根据旋转作图的步骤进行旋转作图即可，计算∠ABQ 的度数，可以通过通过旋转作图过程，求出∠QBF 的度数；
（3） 根据翻折作图的步骤找到 A 点的对应点 G，然后连接 CG 即可．

【解答】解：（1）如图 3﹣1，即为所求作．

①找出已知图形中的相关的点 A，B，C；

②过这些点作与已知平移方向平行的线段，使这些平行线段的长度都等于平移的长度 b．

③依照图形依次连接对应点，得到新的图形，这个图形就是已知图形的平移图形．按要求画出正确的图形．平移的距离是 b．

（2） 如图 3﹣2，即为所求作．

①在已知图形上找到旋转中心 B，点 C、点 A；

②作出这些点的对应点，对应点的找法是：

以旋转中心为顶点，以 BC 为一边，向逆时针方向作角的另一边，

使这些角等于 60 度，且使另一边长度都等于对应线段到旋转中心的长度， 在这些“另一边“的端点 P 就是点 C 的对应点；同理找到点 A 的对应点 Q．
③顺次连接对应点 P、Q、B．

∵∠ABC＝90°，

又∵BQ 是由 BF 绕点 B 逆时针旋转 60°得到的

∴∠QBF＝60°

∴∠ABQ＝∠ABC﹣∠QBF＝90°﹣60°＝30°．

（3） 以点 B 为圆心，以 BA 长为半径作弧，交 BE 与点 G，连接 CG，

△CGB 即为所求的图形．如图 3﹣3：

由题意知 BE＝b，AB＝a

∵△CGB 是由△CAB 翻折而来，

∴BA＝BG＝a，

∴GE 的长度是 BE﹣BG＝（b﹣a）．

9．（2013 秋•浦东新区期末）贾宪三角如图，最初于 11 世纪被发现，原图载于我国北宋时期数学家贾宪的著作中．这一成果比国外领先 600 年！这个三角形的构造法则是：两腰都是 1，其余每个数为其上方左右两数之和．它给出（a+b）n（n 为正整数）展开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2 的展开式中的系数；第四行的四个数 1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 展开式中的系数；等等．

（1）请根据贾宪三角直接写出（a+b）4、（a+b）5 的展开式：（a+b）4＝ a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ．（a+b）5
＝ a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 ．
（2）请用多项式乘法或所学的乘法公式验证你写出的（a+b）4 的结果．
【分析】（1）根据系数规律，由题意展开即可；

（2）利用多项式乘以多项式，以及完全平方公式计算，即可得到结果．
【解答】解：（1）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）（a+b）4＝（a+b）2•（a+b）2
＝（a2+b2+2ab）（a2+b2+2ab）
＝a4+a2b2+2a3b+a2b2+b4+2ab3+2a3b+2ab3+4a2b2
＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
故答案为：（1）a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

10．（2019 秋•宝山区期末）已知：如图①长方形纸片 ABCD 中，AB＜AD．将长方形纸片 ABCD 沿直线 AE 翻折，使点 B 落在 AD 边上，记作点 F，如图②．
（1） 当 AD＝10，AB＝6 时，求线段 FD 的长度；

（2） 设 AD＝10，AB＝x，如果再将△AEF 沿直线 EF 向右起折，使点 A 落在射线 FD 上，记作点 G，若线段 FD
＝ DG，请根据题意画出图形，并求出 x 的值；
（3） 设 AD＝a，AB＝b，△AEF 沿直线 EF 向右翻折后交 CD 边于点 H，联结 FH，当＝时，求的值．

【分析】（1）根据折叠的性质可得 AF＝AB＝6，从而求出结论；

（2） 根据点 G 的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用 x 表示出 FD 和 DG，根据题意列出方程即可求出结论；
（3） 过点 H 作 HM⊥EF 于 M，根据用 a 和 b 表示出 S△HFE 和 S 四边形 ABCD，结合已知等式即可求出结论．
【解答】解：（1）由折叠的性质可得 AF＝AB＝6，

∵AD＝10，

∴FD＝AD﹣AF＝4；

（2） 若点 G 落在线段 FD 上时，如图 1 所示，
由折叠的性质可得：FG＝AF＝AB＝x，

∴FD＝AD﹣AF＝10﹣x，

∴DG＝FD﹣FG＝10﹣2x，
∵FD＝ DG，
∴10﹣x＝ （10﹣2x），

解得：x＝ ；
若点 G 落在线段 FD 的延长线上时，如图 2 所示，

由折叠的性质可得：FG＝AF＝AB＝x，

∴FD＝AD﹣AF＝10﹣x，

∴DG＝FG﹣FD＝2x﹣10，
∵FD＝ DG，
∴10﹣x＝（2x﹣10），解得：x＝ ；
综上：x＝ 或；
（3） 如图 3 所示，过点 H 作 HM⊥EF 于 M，

∴HM＝FD，

由题意可知：AF＝AB＝b，EF＝AB＝b，

∴FD＝AD﹣AF＝a﹣b，

∴HM＝a﹣b，
∴S△HFE＝EF•HM＝b（a﹣b），S 四边形 ABCD＝AD•AB＝ab，
∵ ＝，
∴ ，
整理可得：3a＝4b， ∴ ＝ ．

11．（2019 秋•普陀区期末）如图，正方形 ABCD，点 M 是线段 CB 延长线上一点，联结 AM，AB＝a，BM＝b．

（1） 将线段 AM 沿着射线 AD 方向平移，使得点 A 与点 D 重合．用代数式表示线段 AM 扫过得平面部分得面积

a2 ．（直接写出答案）
（2） 将三角形 ABM 绕着点 A 旋转，使得 AB 与 AD 重合，点 M 落在点 N，联结 MN．用代数式表示三角形 CMN

a2﹣ b2
的面积 ．（直接写出答案）

（3） 将三角形 ABM 顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边与正方形的一边完全重合（第（2） 小题的情况除外）．请在图中画出符合条件的三种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角．

【分析】（1）根据平移的性质和平行四边形的面积计算即可；

（2） 根据三角形的面积计算即可；

（3） 根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可．

【解答】解：（1）AD•DC＝a2，故答案为：a2；
（2）•MC•NC＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：a2﹣ b2，
（3）如图 1，旋转中心：AB 边的中点为 O，顺时针 180°， 如图 2，旋转中心：点 B；顺时针旋转 90°
如图 3，旋转中心：正方形对角线交点 O；顺时针旋转 90°，

；

．

12．（2020 秋•浦东新区期末）如图 1，图 2，图 3 的网格均由边长为 1 的小正方形组成，图 1 是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题．

（1） 图 1 中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是 中心 对称图形（填“轴”或“中心”）．

（2） 请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图 2，3 的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求：
①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影；

②图 2 中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形；图 3 中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【分析】（1）利用中心对称图形的意义得出答案即可；

（2）①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠，是轴对称图形；

②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形画出图．

【解答】解：（1）图 1 中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是中心对称图形．故答案为：中心；
（2）如图 2 是轴对称图形而不是中心对称图形；
图 3 既是轴对称图形，又是中心对称图形．

13．（2019 秋•浦东新区期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式 x2+的值．
解：因为 ，所以 ＝4 即 x+＝4，所以 x2+﹣2＝16﹣2＝14． 根据材料回答问题（直接写出答案）：
（1） ，则 x+＝ 3 ．

（2）解分式方程组 ，解得方程组的解为 ．

【分析】（1）根据题目中的例子，将题目中的分子分母的位置颠倒，然后化简即可求得所求式子的值；

（2）根据题目中的例子，对所求式子化简变形，即可求得分式方程组的解．
【解答】解：（1）∵，
∴ ＝2，
∴x﹣1+ ＝2，
∴x+ ＝3， 故答案为：3；

（2） ， 化简，得 ， 即 ，

令 ，

则得 ， 解得， ， 故 ，

故答案为： ．

14．（2019 秋•奉贤区期末）如图，在长方形 ABCD 中，AB＝8cm，BC＝10cm，现将长方形 ABCD 向右平移 xcm，再向下平移（x+1）cm 后到长方形 A′B′C′D′的位置，
（1） 当 x＝4 时，长方形 ABCD 与长方形 A'B'C'D'的重叠部分面积等于 18 cm2．
（2） 如图，用 x 的代数式表示长方形 ABCD 与长方形 A'B'C'D'的重叠部分的面积．

（3） 如图，用 x 的代数式表示六边形 ABB'C'D'D 的面积．

【分析】（1）表示出重叠部分的长与宽，然后根据长方形的面积公式列式整理，将 x＝4 代入解答即可；

（2） 表示出重叠部分的长与宽，然后根据长方形的面积公式列式整理即可；

（3） 利用平移前后的长方形的面积的和加上两个正方形的面积，然后再减去重叠部分的面积列式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）∵AB＝8cm，BC＝10cm，

∴重叠部分的长为（10﹣x），宽为[8﹣（x+1）]，

∴重叠部分的面积＝（10﹣x）[8﹣（x+1）]＝（10﹣x）（7﹣x）＝70﹣10x﹣7x+x2＝x2﹣17x+70（cm2），把 x＝4 代入 x2﹣17x+70＝16﹣17×4+70＝18（cm2），
故答案为：18；

（2）∵AB＝8cm，BC＝10cm，

∴重叠部分的长为（10﹣x），宽为[8﹣（x+1）]，

∴重叠部分的面积＝（10﹣x）[8﹣（x+1）]＝（10﹣x）（7﹣x）＝70﹣10x﹣7x+x2＝x2﹣17x+70（cm2），
（3）六边形 ABB'C'D'D 的面积＝10×8×2+x（x+1）×2﹣（x2﹣17x+70）
＝160+x2+x﹣x2+17x﹣70
＝18x+90（cm2）．

15．（2018 秋•浦东新区期末）如图①，点 O 为直线 MN 上一点，过点 O 作直线 OC，使∠NOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点 O 处，一边 OA 在射线 OM 上，另一边 OB 在直线 MN 的下方，其中∠OBA＝30°
（1） 将图②中的三角尺沿直线 OC 翻折至△A′B′O，求∠A′ON 的度数；

（2） 将图①中的三角尺绕点 O 按每秒 10°的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为 α（0＜α＜360°），在旋转的过程中，在第几秒时，直线 OA 恰好平分锐角∠NOC；
（3） 将图①中的三角尺绕点 O 顺时针旋转，当点 A 点 B 均在直线 MN 上方时（如图③所示），请探究∠MOB 与

∠AOC 之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．
【分析】（1）如图②中，延长 CO 到 C′．利用翻折不变性求出∠A′O′C′即可解决问题；

（2） 设 t 秒时，直线 OA 恰好平分锐角∠NOC．构建方程即可解决问题；

（3） 分两种情形分别求解即可解决问题；

【解答】解：（1）如图②中，延长 CO 到 C′．

∵三角尺沿直线 OC 翻折至△A′B′O，

∴∠A′OC′＝∠AOC′＝∠CON＝60°，

∴∠A′ON＝180°﹣60°﹣60°＝60°．

（2） 设 t 秒时，直线 OA 恰好平分锐角∠NOC． 由题意 10t＝150 或 10t＝330，
解得 t＝15 或 33s，

答：第 15 或秒时，直线 OA 恰好平分锐角∠NOC；

（3） ①当 OB，OA 在 OC 的两旁时，∵∠AOB＝90°，

∴120°﹣∠MOB+∠AOC＝90°，

∴∠MOB﹣∠AOC＝30°．

②当 OB，OA 在 OC 的同侧时，∠MOB+∠AOC＝120°﹣90°＝30°．

16．（2016 秋•金山区校级期末）观察下列等式： ＝1 ， ＝， ＝﹣ ，将以上三个等式两边分别相加得： ＝1﹣＝1﹣ ＝．
（1） 直接写出计算结果： ＝ ．
（2） 猜想并直接写出计算结果： +… ＝ ．
（3） 化简下列代数式（写出必要解题过程）：+… ．
【分析】（1）根据已知的规律，分别将每一个式子写成两个分数差的形式，再计算；

（2） 同（1），根据已知的规律，分别将每一个式子写成两个分数差的形式，再计算；
（3） 先将分母写成两个连续奇数的乘积，再化为分数差的形式：（1﹣），＝（），…，再计算即可．
【解答】解：（1）＝1﹣+﹣+﹣＝1﹣＝；故答案为：；
（2） +… ，
＝ + +…+ ﹣，
＝ ﹣，
＝ ，
＝ ；
故答案为：；
（3） +… ．
＝ + + +…+ ，
＝ + +…+ ﹣，
＝ （1﹣ ），
＝ ，
＝ ．

17．（2017 秋•青浦区期末）如图 1，小明将一张长为 4、宽为 3 的矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图 2），将这两张三角纸片摆成如图 3 的形状，但点 B、C、F、D 在同一条直线上，且点 C 与点 F 重合（在图 3至图 6 中统一用点 F 表示）

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．

（1） 将图 3 中的△ABF 沿 BD 向右平移到图 4 中△A1FG 的位置，其中点 B 与点 F 重合，请你求出平移的距离
3 ；

（2） 在图 5 中若∠GFD＝60°，则图 3 中的△ABF 绕点 F 按 顺时针 方向旋转 30° 到图 5 的位置

（3） 将图 3 中的△ABF 沿直线 AF 翻折到图 6 的位置，AB1 交 DE 于点 H，试问：△AEH 和△HB1D 的面积大小关系．说明理由．
【解答】解：（1）图形平移的距离就是线段 BC1 的长，又∵在 Rt△ABC 中，长为 4、宽为 3，
∴BF＝3cm，

∴平移的距离为 3cm； 故答案为 3．

（2）∵∠GFD＝60°，

∴∠AFA1＝30°，
图 3 中的△ABF 绕点 F 按顺时针方向旋转 30°到图 5 的位置； 故答案为：F，顺时针，30°．

（3）△AHE 与△DHB1 中，
∵∠FAB1＝∠EDF＝30°，
∵FD＝FA，EF＝FB＝FB1，
∴FD﹣FB1＝FA﹣FE，即 AE＝DB1， 又∵∠AHE＝∠DHB1，
∴△AHE≌△DHB1（AAS），
∴△AEH＝△HB1D．

18．如图（1），有 A 型、B 型、C 型三种不同的纸板，其中 A 形是边长为 m 的正方形，B 型是长为 m、宽为 n的长方形，C 型是边长为 n 的正方形．由图（2）中四块纸板拼成的正方形的面积关系可以说明（m+n）2＝m2+2mn+n2成立．

（1） 类似地，由图（3）中六块纸板拼成的大长方形的面积关系可以说明的等式是 （m+n）（2m+n）＝

2m2+3mn+n2 ．
（2） 现有 A 型纸板 2 块，B 型纸板 5 块，C 型纸板 2 块，要求紧密且不重叠地拼出一个大长方形，如果纸板最多剩一块，请画出所有可能拼出的大长方形的示意图；类似地，根据所拼出的大长方形的面积关系写出可以说明的等式．
【分析】（1）六块纸板拼成的大长方形的宽为（m+n）、长为（2m+n），而它由 2 块 A 型、3 块 B 型、1 块 C 型组成，所以可以说明的等式是（m+n）（2m+n）＝2m2+3mn+n2；
（2）A 型纸板 2 块，B 型纸板 5 块，C 型纸板 2 块不重叠地拼出一个大长方形可得到边长为 2m+n 与 m+2n 的长方形；若剩一块 C 型纸板，可得到边长为 2m+2n 与 m+n 的长方形．
【解答】解：（1）六块纸板拼成的大长方形的面积关系可以说明的等式为（m+n）（2m+n）＝2m2+3mn+n2；

（2）图（4）中九块纸板拼成的大长方形的面积关系可以说明的等式为（2m+n）（m+2n）＝2m2+5mn+2n2；
若剩一块 C 型纸