高职高等数学教案第三章导数的应用.doc

第三章 导数的应用
§3-1 中值定理
一、罗尔定理
定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则在内至少在一点，使得。
几何意义：若连续曲线上处处具有不垂直于轴的切线且两端点的纵坐标相等，则在曲线上至少能找到一点，使曲线在该点处的切线平行于轴。
例：验证在是否满足罗尔定理
证：在上连续，在上可导

则在上至少存在一点，使得
即
二、拉格朗日中值定理
定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少有一点，使得
几何意义：若连续曲线除端点外处处有不垂直于轴的切线，则该曲线上至少有一点存在，使得该点处切线平行于两个端点连线。
推论1：如果函数在区间上的导数恒为零，则在区间上是一个常数。
推论2：如果与在区间上连续，在区间内可导，且，则有。

例1：验证在上是否满足拉氏定理
解：在上连续，在内可导
因为，则在上至少存在一点，使得
则，即

例2：证明当时，
证：设，由于，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，则有：，即
由，易推得
三、柯西中值定理
定理：如果函数及在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内的每一点均不为零，则在内至少有一点，使得.
三个定理的联系：
罗尔定理通过推广可得拉氏定理，拉氏定理通过推广可得柯西定理。
柯西定理中令可得拉氏定理，拉氏定理中令可得罗尔定理。

§3-2 洛必达法则
一、型和型未定式
定理1：设满足以下条件
（1）；
（2）在点的某去心邻域内可导，且；
（3）存在（或无穷大）
则
例1：求
解：
注：不是型，不能继续使用洛必达法则。

例2：求
解：

例3：求
解：
定理2：设满足以下条件
（1）；
（2）在点的某去心邻域内可导，且；
（3）存在（或无穷大）
则
例4：求
解：
例5：求
解：
二、其他未定式
，，，，型的未定式可以转化为型和型未定式。
1.型
例1：求
解：
2.型
例2：求
解：
3.，，型
例3：求
解：令，则，

则

例4：求
解：

例5：求
解：

总结：（1）每次使用洛必达法则，须检验是否为型和型
（2）应用洛必达法则后及时化简
（3）洛必达法则失效后，极限仍可能存在

§3-3 函数单调性与极值
一、函数单调性的判定法
如果函数在上单调增加（单调减少），那么它的图像是一条上升（下降）的曲线。这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即。因此，函数的单调性与导数的符号存在关系。
定理(函数单调性的判定法)：设函数在上连续，在内可导，
(1)如果在内，那么函数在上单调增加；
(2)如果在内，那么函数在上单调减少。
证明：，令
应用拉格朗日中值定理可得：
由于，
则，，即
所以函数 在上单调增加。（同理可证单调减）
注：1.上面定理中，区间若改为或无线区间，定理仍然成立。
2.若函数的导数在有限个点处导数为零，其余各点处均为正（或负）时，函数在该区间仍为单调函数。如函数，导数为，除时，外，其他各点处均有，因此函数在区间及内都是单调增加的，从而在整个定义域内是单调增加的。
例1：讨论函数的单调性
解：
则函数在定义域内为的单调增函数

例2：讨论函数的单调性
解：定义域为
，在处不可导
则，时，，函数在上单调减少；
时，，函数在上单调增加。
注：导数不存在的点两边也可能出现不同的单调性。

单调区间：使函数单调增或单调减的区间。
单调区间的求法：
如果函数在有导数
1.确定函数的定义域
2.求导数，令求其根及使不存在的点，并由小到大排序
3.将定义域划分为若干子区间
4.判断每个子区间内的符号，从而判断单调性
例3：确定函数的单调区间
解：定义域为
，

-
+
-

↘
↗
↘
函数在区间和内单调减少，在区间上单调增加
例4：确定函数的单调区间
解：定义域为
，

+
-
+

↗
↘
↗
函数在区间和内单调增加，在区间上单调减少
例5：证明当时，
证明：令

由，则有，即函数在单调增加
则有，即得证
二、函数的极值及其求法
定义：设函数在的某一去心邻域内有定义，对于该邻域内异于 的点恒有：
（1），则称为函数的极大值，为的极大值点；
（2），则称为函数的极小值，为的极小值点。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。
注：函数的极大值和极小值概念是局部性的。如果是函数的一个极大（小）值，只是就附近的一个局部范围而言是的一个最大（小）值；如果就的整个定义域来说，不一定是最大（小）值。
定理1(必要条件)：设函数在点处可导，且为极值，则
驻点：使导数为零和使导数不存在的点。
说明：1.函数的驻点不一定是极值点。如，导数为，，但不是极值点。
2.导数不存在的点仍可能是极值点。如，处连续但不可导，但仍是该函数的极小值点。
定理2(第一充分条件)：设函数在点的一个邻域内可导，且
(1) 如果时，；时，，则函数在处取得极大值；
(2) 如果时，；时，，则函数在处取得极小值；
(3)如果在的某一邻域内不改变符号，则函数在处无极值。
求极值点和极值的步骤：
(1)求出导数
(2)求出的全部驻点
(3)列表考察符号变化情况
例1：求函数的极值
解：，

1

2

+
0
-
0
+

↗
2（极大）
↘
1（极小）
↗
极大值为，极小值为

例2：求函数的极值
解：，

0

+
不存在
-
0
+

↗
0（极大）
↘
-0.3（极小）
↗
极大值为，极小值为

定理3(第二充分条件)：
设函数在点处具有二阶导数，且，，则
(1)当时，函数在处取得极大值；
(2)当时，函数在处取得极小值；
注：当时，利用第一充分条件判定
例1：求函数的极值
解：，

则，，即为极大值
，即为极小值

例2：求函数的极值
解：，

则，，即为极大值

例3：求函数的极值
解：，

则，，即为极小值
，因此需用第一充分条件判定

-1

0

1

-
0
-
0
+
0
+

↘
非
↘
0（极小）
↗
非
↗

三、最值问题
实际生活中经常遇到如何使用料最省、成本最低、效率最高等问题，这类问题在数学上归结为求函数的最值问题。
最值的求法：求出在上所有的驻点，求这些驻点函数值与端点函数值，比较他们的大小得到最值。
例1：求函数在上的最值
解：，，端点
函数值
则在上最大值为2，最小值为-4
例2：求函数在上的最值
解：，，端点
函数值
则在上最大值为，最小值为

最值的应用问题解法：函数有实际意义，在区间内极值总是唯一存在的，因此极值与最值相同。
例3：求乘积为常数而其和最小的两个正数
解：设为所求两个正数，表示两数之和
由题意可得：，则
，可推出
已知为正数，所以，唯一驻点
则即为所求
例4：要做一个圆柱体有盖铁桶，其容积为，问其底半径与高之比为多少才能使所需铁皮最省？
解：设底半径为，高为
由题意可得：
所需铁皮表面积为：，将上式代入可得：
，可推出，唯一驻点，即铁皮最省
，即时，所需铁皮最省

§3-4 曲线的凹凸性与拐点及函数图象的描绘
一、曲线的凹凸与拐点
定义1：设在区间上连续，对，
（1）如果恒有，则称在上的图形是(向上)凹的
（2）如果恒有，则称在上的图形是(向上)凸的
x1
x 2
y
x
O
f(x2)
f(x1)
x1
x 2
y
x
O
f(x2)
f(x1)

定义1¢ ：设函数在区间上连续，如果函数的曲线位于其上每一点切线的上方，则称该曲线在区间上是凹的；如果函数的曲线位于其上每一点切线的下方，则称该曲线在区间上是凸的。

定理1：设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，则在该区间上
(1)若，则在上的是凹的；
(2)若，则在上的是凸的。
例1：判断的凹凸性
解：
则曲线是凸的。

例2：判断在上的凹凸性
解：
当时，，则函数是凸的
当时，，则函数是凹的
定义2：设函数在区间上连续，则曲线在该区间内的凹凸分界点，叫做曲线的拐点。

定理2（拐点的必要条件）：若函数在处的二阶导数存在，且为曲线的拐点，则有。

定理3：若函数在处，且在两侧的二阶导数符号不同，则为曲线的拐点。
注：（1）二阶导数存在的条件下，拐点处，反之未必。如
（2）二阶导数不存在的点也可能是拐点。

确定凹凸区间和拐点的步骤：
(1)确定函数的定义域
(2)求出在二阶导数
(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点
(4)列表判断出曲线凹凸区间和拐点

例3：判断的凹凸性
解：，

0

+
0
-
0
+

拐点

拐点

则曲线在和是凹，在是凸，拐点为和
例4：判断的凹凸性
解：，

-1

1

-
0
+
0
-

拐点

拐点

则曲线在和是凸，在是凹，拐点为和
例5：求的拐点
解：函数的定义域为
，
没有二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为
当时；当时，
则点是曲线的拐点
二、函数图象的描绘
1.水平渐近线与垂直渐近线
定义：如果曲线上一点沿着曲线趋向无穷远时，该点与某条直线的距离趋近于零，则该直线为曲线的渐近线。
垂直渐近线：如果（或或），则称直线为的垂直渐近线。
例1：求的垂直渐进线
解：，
则是的垂直渐进线
例2：求的垂直渐近线
解：
则是的垂直渐进线
水平渐近线：如果（或或），则称直线为的水平渐近线。
例3：求的水平渐进线
解：
则是的水平渐近线

例4：求的水平渐进线
解：，
则是的水平渐近线
2.函数图形的描绘
描绘步骤：(1)确定函数的定义域，讨论其对称性及周期性
(2)确定函数的单调性、极值点和极值
(3)确定函数的凹凸性和拐点
(4)确定函数的渐近线
(5)确定函数与坐标轴的交点
(6)作图描绘
例1：描绘函数的图像
解：定义域为，由得到函数为奇函数，图像关于原点对称
；

0

+
0
-
-
-
0
+

-
-
-
0
+
+
+

Ç↗
极大
Ç↘
拐点
È↘
极小
È↗
当时，
特殊点：，，
描绘图像：
O
x
y

例2：描绘函数的图像
解：定义域为，由得到函数为偶函数，图像关于轴对称
；

-1

0

1

+
+
+
0
-
+
-

+
0
-
-
-
0
+

È↗
拐点
Ç↗
极大
Ç↘
拐点
È↘
由，曲线有水平渐近线
特殊点：，
描绘图像：
O
x
y