三角形证明题.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/8/5,#,掌门,1,对,1,北京大学 徐莹,初中几何证明,证明,：判断一个命题的推理的过程叫做证明。,命题,：判断一件事情的句子叫做命题。（命题就是具有真假意义的一句话）命题通常由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断的事项，命题写成“如果那么”的形式。,定理,：通过推理得到证实的真命题叫做定理。证明一个命题的正确性，要按“已知”，“求证”，“证明”的顺序和格式书写。,一、直线,两条直线的位置关系：,1,、相交，,2,、平行（重合看做是平行的特例）。,二、多边形,(,三角形,),1,、概念。,由不在同一条直线上的三条线,段,首尾,顺次连接所组成的图形叫做三角形。,三角形有三条边、三个内角和三个顶点。,如图：顶点是,A,，,B,，,C,的三角形记作,ABC,。,A,所对边,BC,用,a,来表示。,B,所对边,AC,用,b,来表示，边,AB,用,c,来表示。,BCF,叫,ACB,的外角。有三个外角。,2,、分类,。,按,角分有：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。,按,边分有：一般三角形，等腰三角形、等边三角形。特殊的有等腰直角三角形。,3,、三角形的性质,。,（,1,）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。,（,2,）三角形三个内角之和等于,180,。,（,3,）直角三角形的两个锐角互余。,（,4,）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。,（,5,）三角形的边、角关系：三角形中，等边对等角，等角对等边。大边对大角，大角对大边。,（,6,）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半,。,（,7,）角平分线的性质：一个角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等；反过来，与一个角的两边等距离的点在这个角的平分线上。,（,8,）内心：三角形的三个内角的平分线交于一点，叫做内心,。,是,三角形内切圆的圆心。,（,9,）外心：三角形的三边垂直平分线交于一点,，,叫做,外心,。是,三角形外接圆的圆心。,（,10,）垂心：三角形的三条高交于一点，叫做垂心。,（,11,）重心：三角形的三条中线交于一点,，,叫做,重心,。且,重心和各边中点的距离,等于,这,边上中线的三分之一。,1,、,全,等三角形,2,、,等腰三角形,3,、,直角三角形,全等三角形,（,1,）,定义,：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。例如,ABC,和,DEF,能够完全重合，它们是全等的。记作“,ABC,DEF,”,。,（,2,）全等三角形的,性质,：全等三角形的对应边相等，对应角相等。,例,如图,ABC,BAD,，找出它们的对应边和对应角。,解：,AC,与,BD,，,BC,与,AD,，,AB,与,BA,是对应边。,ABC,与,BAD,，,BAC,与,ABD,，,C,与,D,是对应角。,（,3,）全等三角形的判定定理,：,如果三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等。记作（边边边）或（,SSS,）。,如果三角形的两角及夹边分别相等，那么这两个三角形全等。记作（角边角）或（,ASA,）。,如果三角形的两边及夹角分别相等，那么这两个三角形全等。记作（边角边）或（,SAS,）。,如果三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等。记作（角角边）或（,AAS,）。,（,2010,山东淄博，,19,，,7,分）已知：如图，,E,为正方形,ABCD,的边,BC,延长线上的点，,F,是,CD,边上一点，且,CE,CF,，连接,DE,，,BF,求证：,DE,BF,F,E,D,C,B,A,(第19题),证明,：,四边形,ABCD,是正方形,，,BC,=,DC,，,BCD,=90,E,为,BC,延长线上的点,，,DCE,=90,，,BCD,=,DCE,CE,CF,，,BCF,DCE,，,DE,BF,F,E,D,C,B,A,(第19题),（,2014,淄博）如图，在直角坐标系中，点,A,的坐标是（,0.3,），点,C,是,x,轴上的一个动点，点,C,在,x,轴上移动时，始终保持,ACP,是等边三角形当点,C,移动到点,O,时，得到等边三角形,AOB,（此时点,P,与点,B,重合）,（,1,）点,C,在移动的过程中，当等边三角形,ACP,的顶点,P,在第三象限时（如图），求证：,AOC,ABP,；由此你发现什么结论？,（,1,）证明：,AOB,与,ACP,都是等边三角形，,AO,=,AB,，,AC,=,AP,，,CAP,=,OAB,=60,，,CAP,+,PAO,=,OAB,+,PAO,，,CAO,=,PAB,，,在,AOC,与,ABP,中,，,AOC,ABP,（,SAS,）,COA,=,PBA,=90,，,点,P,在过点,B,且与,AB,垂直的直线上或,PB,AB,或,ABP,=90,故结论是：点,P,在过点,B,且与,AB,垂直的直线上或,PB,AB,或,ABP,=90,；,等,腰三角,形,等腰三角,形,定义,：,等腰三角形是轴对称图形。,等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称三线合一）。它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。,轴对称图形及性质,：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两边的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴,。,在,轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相,等,。,性质,定理,：等腰三角形的两个底角相等。,判定,定理,：如果一个三角形的两个角相等，那么它们所对的边相等。,等,边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形的三个角都相等。,（,2013,淄博）如图，,ADBC,，,BD,平分,ABC,求证：,AB=AD,ADBC,，,ADB=DBC,，,BD,平分,ABC,，,ABD=DBC,，,ABD=ADB,，,AB=AD,（,2015,淄博）如图，在菱形,ABCD,和菱形,BEFG,中，点,A,、,B,、,E,在同一直线上，,P,是线段,DF,的中点，连接,PG,，,PC,若,ABC=BEF=60,，则,PG,PC,（）,A.,B.,C,D,解：如图，,延长,GP,交,DC,于点,H,，,P,是线段,DF,的中点,，,FP=DP,，,由题意可知,DCGF,，,GFP=HDP,，,GPF=HPD,，,GFPHDP,，,GP=HP,，,GF=HD,，,四边形,ABCD,是菱形,，,CD=CB,，,CG=CH,，,CHG,是等腰三角形,，,PGPC,，（三线合一）,又,ABC=BEF=60,，,GCP=60,，,=,（,2014,淄博）如图，四边形,ABCD,中，,AC,BD,交,BD,于点,E,，点,F,，,M,分别是,AB,，,BC,的中点，,BN,平分,ABE,交,AM,于点,N,，,AB,=,AC,=,BD,连接,MF,，,NF,（,1,）判断,BMN,的形状，并证明你的结论；,（,1,）答：,BMN,是等腰直角三角形,证明：,AB,=,AC,，点,M,是,BC,的中点，,AM,BC,，,AM,平分,BAC,BN,平分,ABE,，,AC,BD,，,AEB,=90,，,EAB,+,EBA,=90,，,MNB,=,NAB,+,ABN,=,（,BAE,+,ABE,）,=45,直角,三角形,（,1,）,定义,：有一个角等于,90,的三角形叫做直角三角形。,（,2,）,性质,：直角三角形的两个锐角互余。推论：等腰直角三角形的底角等于,45,。,在直角三角形中，如果一个锐角等于,30,，那么它所对的直角边等于斜边的一半。,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。,在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是,30,。,勾股定理,：直角三角形两直角边的平方的和等于斜边的平方。如果用,a,，,b,和,c,分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么,a,+b,=c,。,判定定理：如果三角形的三边长,a,，,b,，,c,满足,，,那么,这个三角形是直角三角形。,b,a,c,8,如图，,OA,OB,，等腰直角三角形,CDE,的腰,CD,在,OB,上，,ECD,=45,，将三角形,CDE,绕点,C,逆时针旋转,75,，点,E,的,对应点,N,恰好落在,OA,上，则,OC,CD,（）,（,A,）,（,B,）（,C,）（,D,）,【答案】,C,。,解析：本题考查的是直角三角形,30,度,所对的直角边是斜边的一半、三角形的旋转的性质定理、勾股定理的应用。由旋转可知,NCE,=75,，因为,ECD,=45,ECD,+,NCE,+,NCO,=180,所以，,NCO,=60,，所以,CNO,=30,，所以,OC,=1/2,CN,，因为三角形,CDE,等腰直角三角形，所以,CD,=,CE,，又因为,CN,=,CE,，,所以,（,2013,淄博）矩形纸片,ABCD,中，,AB=5,，,AD=4,（,1,）如图,1,，四边形,MNEF,是在矩形纸片,ABCD,中裁剪出的一个正方形你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；,解：（,1,）正方形的最大面积是,16,设,AM=x,（,0 x4,），则,MD=4,x,四边形,MNEF,是正方形，,MN=MF,，,AMN+FMD=90,AMN+ANM=90,，,ANM=FMD,在,ANM,和,DMF,中,ANMDMF,（,AAS,）,DM=AN,S,正方形,MNEF,=MN,2,=AM,2,+AN,2,，,=x,2,+,（,4,x,）,2,，,=2,（,x,2,）,2,+8,函数,S,正方形,MNEF,=2,（,x,2,）,2,+8,的开口向上，,对称轴是,x=2,，,在对称轴的左侧,S,随,x,的增大而减小，在对称轴的右侧,S,随,x,的增大而增大，,0 x4,，,当,x=0,或,x=4,时，,正方形,MNEF,的面积最大,最大值是,16,（,2,）请用矩形纸片,ABCD,剪拼成一个面积最大的正方形要求：在图,2,的矩形,ABCD,中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）,（,2,）先将矩形纸片,ABCD,分割成,4,个全等的直角三角形和两个矩形如图,1,，然后拼成如图,2,的正方形,课后练习,（,8,分）（,2013,淄博）分别以,ABCD,（,CDA90,）的三边,AB,，,CD,，,DA,为斜边作等腰直角三角形，,ABE,，,CDG,，,ADF,（,1,）如图,1,，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接,GF,，,EF,请判断,GF,与,EF,的关系（只写结论，不需证明）；,（,2,）如图,2,，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接,GF,，,EF,，（,1,）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由,