北京市海淀区高三数学上学期期中练习试题-理-新人教A版.doc

海淀区高三年级第一学期期中练习
数 学（理科） 2012. 11

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集，集合，则
A．
B．
C．
D．
2．下列函数中，在定义域内是减函数的是
A．
B．
C．
D．
3．在平面直角坐标系中，已知，，，则的值为
A．
B．
C．
D．
4．已知数列的前项和，则
A．
B．
C．
D．
5．的值为
A．
B．
C．
D．
6．“”是“函数在内存在零点”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知函数则不等式的解集为
A．
B．
C．
D．
8．已知集合，若对于任意，存在，
使得成立，则称集合是“好集合”．给出下列4个集合：
① ②
③ ④
其中所有“好集合”的序号是
A．①②④
B．②③
C．③④
D．①③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9． ．
10．设，，，则从大到小的顺序为 ．
11．函数的值域为 ．
12．在中，点为边的中点，若∥，且，
则 ．
13．已知函数的图象由的图象向右
平移个单位得到，这两个函数的部分图象
如图所示，则 ．
14．数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值．
（Ⅰ）若，则的峰值为 ；
（Ⅱ）若，且不存在峰值，则实数的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
已知等差数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式成立的的最小值．

16．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最小正周期及单调递减区间．

17．（本小题满分13分）
在中，，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积．

18．（本小题满分13分）
如图所示，已知边长为米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中
米，米．为了合理利用这块钢板，将在五边形内
截取一个矩形块，使点在边上．
（Ⅰ）设米，米，将表示成的函数，求该函数的解析式及定义域；
（Ⅱ）求矩形面积的最大值．

19．（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）若在处取得极大值，求实数的值；
（Ⅱ）若，直线都不是曲线的切线，求的取值范围；
（Ⅲ）若，求在区间上的最大值．

20．（本小题满分14分）
已知数集……具有性质P：对任意
的，，使得成立．
（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）求证：…；
（Ⅲ）若，求数集中所有元素的和的最小值．

海淀区高三年级第一学期期中练习
数 学 （理）
参考答案及评分标准 2012．11
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
B
D
C
A
D
B

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
9．
10．
11．
12．1
13．
14．10；
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．（本小题满分13分）
解：（I）设的公差为，
依题意，有 ………………2分
联立得
解得 ………………5分
所以 ………………7分

（II）因为，所以 ………………9分
令，即 ………………11分
解得或
又，所以
所以的最小值为 ………………13分

16.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为
………………2分
………………4分
………………6分
所以 ………………7分（Ⅱ）因为
所以 ………………9分
又的单调递减区间为， ………………10分
所以令 ………………11分
解得 ………………12分
所以函数的单调减区间为， ………………13分

17．（本小题满分13分）
解：（I）在中，因为 ………………1分
所以 ………………3分
因为，所以 ………………4分
又
解得 ………………5分
因为
所以 ………………6分
（II）因为，所以
解得 ………………8分
因为 所以 ………………9分
由正弦定理，代入得到 ………………11分
所以
………………13分

18.（本小题满分13分）
解：（I）作于，所以 ………………2分
在中，
所以 ………………4分
所以，定义域为 ………………6分
(II) 设矩形的面积为，则
………………9分
所以是关于的二次函数，且其开口向下，对称轴为
所以当，单调递增 ………………11分
所以当米时，矩形面积取得最大值平方米 ………………13分

19.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为
………………2分
令，得，
所以，随的变化情况如下表：

0

0

极大值

极小值

………………4分
所以 ………………5分

（II）因为 ………………6分

因为，直线都不是曲线的切线
所以对成立 ………………7分
只要的最小值大于
所以 ………………8分
(III) 因为所以
当时，对成立
所以当时，取得最大值 ………………9分
当时， 在时，，单调递增
在时，，单调递减
所以当时，取得最大值 ………………10分
当时， 在时，，单调递减
所以当时，取得最大值 ………………11分
当时，在时，，单调递减
在时，，单调递增
又，
当时，在取得最大值
当时，在取得最大值
当时，在，处都取得最大值. ………………14分
综上所述，
当或时，取得最大值
当时，取得最大值
当时，在，处都取得最大值
当时，在取得最大值.
20.（本小题满分14分）
解：(Ⅰ)因为 3， 所以 不具有性质P.
因为 ，所以具有性质P ………………4分
(Ⅱ)因为集合具有性质P：
即对任意的 ，使得成立，
又因为，所以
所以，所以
即， ………………6分
将上述不等式相加得

所以 ………………9分
(Ⅲ)最小值为
首先注意到，根据性质P,得到
所以易知数集A的元素都是整数.
构造或者，这两个集合具有性质P, 此时元素和为147.
下面，我们证明147是最小的和
假设数集，满足最小（存在性显然，因为满足的数集只有有限个）.
第一步：首先说明集合中至少有８个元素:
由(Ⅱ)可知
又，所以，
所以
第二步：证明：
若，设，因为，为了使得最小，在集合
中一定不含有元素，使得，从而 ；
假设，根据性质P，对，有，使得
显然, 所以
而此时集合中至少还有5个不同于的元素，
从而，矛盾，
所以，进而，且；
同理可证：
（同理可以证明：若，则
假设.
因为根据性质P，有，使得
显然, 所以，
而此时集合中至少还有４个不同于的元素
从而，矛盾，
所以，且
同理可以证明：若，则
假设
因为根据性质P，有，使得
显然, 所以
而此时集合中至少还有３个不同于的元素
从而，矛盾，
所以，且 ）
至此，我们得到了.
根据性质P，有，使得
我们需要考虑如下几种情形：
①, 此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素，才能得到元素8，
则；
②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素，才能得到元素7，
则；
③，此时集合的和最小，为147；
④，此时集合的和最小，为147. ………14分

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用心 爱心 专心