高中数学人教版一年级必修1-指数与指数函数单元整体设计.doc

高中学数学必修1第2单元教学设计
单元名称：指数与指数函数
单元学习概述
数、反比例函数、一次函数、二次函数作为函数基础，二是高中第一章函数的一般概念与性质，三是指数的概念及运算.
本单元是高中数学的核心内容，是对基本初等函数的深化研究，是对函数按照“定义域、值域、单调性、奇偶性、恒过定点”等方面进行全面研究的实例，有利于学生形成函数的研究方法. 这对今后学习三角函数等初等函数是至关重要的. 同时，函数是数学新课程贯穿整个学习过程的主线. 函数与方程思想是高中数学最重要的思想.
单元教学目标
知识与技能：
1.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质。
2.了解指数函数模型的实际背景及定义.
3. 会用描点法和计算机画出指数函数的图像.
过程与方法：
1. 通过定义的引入，图像特征的观察、发现过程使学生懂得理论与实践的辩证关系，适时渗透分类讨论的数学思想，培养学生的探索发现能力和分析问题、解决问题的能力
2.经历计算机画函数图象的过程，掌握由图像探求函数性质的方法.
情感态度与价值观：
1. 通过函数实例展示及性质的实际应用，体会数学知识发生发展过程，感受数学在实际生活中的广泛应用，激发学数学、用数学的浓厚兴趣.
2. 通过计算机画函数图象，增强教育技术在数学学习、研究中的应用意识.
课时划分
课时一：指数与指数幂的运算(2课时)
课时二：指数函数的图象与性质 (2课时)
课时三： 指数函数的应用 (1课时)
各课时的联系
指数与指数幂的运算是学习指数函数图象与性质的基础，指数函数的图象与性质是在学习了指数幂的运算性质之后对指数内容的升华，指数函数的应用是学习指数函数之后的实际应用。它们之间是层层递进的关系。
课时一
一、教学内容分析
经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.
二、教学目标
1、知识与技能：理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。
2、过程与方法：通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n次方根；通过对“当是偶数时， ”的理解 ，培养学生分类讨论的意识。
3、态度情感价值关：通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。
三、学习者特征分析
“指数与指数幂的运算”是高中数学《数学1》第二章《基本初等函数（1）》第一单元《指数函数》的第一节。学生在初中已学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。现是在此基础上，将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，将整数指数幂扩充到有理指数幂，进一步将指数的取值范围扩充到实数。“根式”是“指数与指数幂的运算”第一课时，主要学习根式的概念和性质。根式是后面学习所必备的。分数指数幂是根式的另一种表示，只有学习了根式才能学习指数、指数函数和对数函数。
四、教学策略选择与设计
由于初中已经学习过二次、三次根式，所以采用由特殊到一般，用类比的方法来学习n次根式；为了加深对根式性质的理解，加上在尖子班上课，因此决定让学生探究发现根式的性质；为了巩固概念和性质，特精选了例题、练习题，通过学生动手做题，教师讲评来巩固所学知识。
通过复习引入，使学生了解由特殊到一般的方法、类比法，培养学生运用“由特殊到一般的方法、类比法”去解决问题的意识；通过运用性质“当是偶数时，”去解题，培养学生分类的意识。
五、教学重点及难点
由于本节课只学习根式的有关知识，只有充分理解根式的概念、性质，才能正确进行根式的化简和运算，因此确定本节课的教学重点为“对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算”。由于“当是偶数时， ”这条性质学生得出和理解有点困难，运用的时候特别容易出错，因此确定本节课的教学难点为“当是偶数时，的得出及运用”。
六、教学过程
教师活动
预设学生活动
设计意图
（一）、提出问题：
回顾初中时的整数指数幂及运算性质.

什么叫实数？有理数，无理数统称实数.
老师提问，学生回答.
学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.
（二）、复习引入
观察以下式子，并总结出规律：＞0
①
②
小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.
根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：

即：
老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义.
数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的.
（三）、形成概念
为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：

正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是

学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导．
让学生经历从“特殊一一般”，“归纳一猜想”，是培养学生“合情推理”能力的有效方式.
（四）、深化概念
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
（1）
（2）
（3）
由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：

让学生讨论、研究，教师引导．
通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图.
（五）、应用举例
例1（P56，例2）求值
；；；.
例2（P56，例3）用分数指数幂的形式表示下列各式（＞0）
；；.
分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.
解：；
；
.

学生思考，口答，教师板演、点评．
例1解：
①
；
②
；
③
；
④
.
通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力.
（六）：归纳总结：
1．分数指数是根式的另一种写法.
2．无理数指数幂表示一个确定的实数.
3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.
先让学生独自回忆，然后师生共同总结．
巩固本节学习成果，使学生逐步养成会总结的习惯和能力．
七、教学评价设计
评价方法：小测试，小练习
评价说明：根据测试以及练习的情况，判定学习的掌握程度
八、PPT及板书设计
见附件。
九、新课标的具体体现
围绕三维目标设计了教学过程，强化了学生的合作探究能力，在课堂探究阶段，让学生大胆猜想，对比分析出指数的运算性质。再通过分析概括，总结出性质的适用范围，这正是新课标思想的鲜活体现。
课时二
一、教学内容分析
本课时是学生在学习了分数指数幂的前提下，再进一步升华为指数函数的第一节课，它承上启下，对学生来说至关重要。学生在前面已经学过了一般函数的性质和数形结合的思想，本节课就要学以致用。指数函数是本单元的第一个函数，它的研究在整个单元中起着“榜样”作用，通过对指数函数的研究形成对基本初等函数图像与性质的研究模式.对进一步研究其它函数至关重要.指数函数性质的探求采取了由图像直观特征探求函数性质的方法，有一定的推广价值. 本专题教学用2课时.
二、教学目标
1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.
2.理解指数函数的概念和意义.
3.能借助描点作图法和计算机画出具体指数函数的图象.
4.熟练掌握指数函数的性质，能运用性质解决简单数学问题和实际问题.
5.理解、掌握根据图像探求具体函数性质的方法、步骤.
三、学习者特征分析
1.学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导
2.从学生原有的知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题
四、教学策略选择与设计
为充分贯彻新课程理念，使教学过程真正成为学生学习过程，让学生体验数学发现和创造的历程，本节课拟采用直观教学法、启发发现法、课堂讨论法等教学方法。以多媒体演示为载体，启发学生观察思考，分析讨论为主，教师适当引导点拨，让学生始终处在教学活动的中心。
五、教学重点及难点
指数函数的图象是研究函数性质的直观工具，它清晰地刻画了指数函数的性质。因此确定在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和由图象得出的性质为本节教学重点。
对于a>1和0<a<1时函数值变化的不同情况，学生容易混淆，这是本节课的一个难点。
六、教学过程
教师活动
预设学生活动
设计意图
实例展示 引入课题
口答题：计算下列各式的值：
（1）2-1 （2）20 （3）2-2. (4) (5)
问题：某种细胞分裂时，由1个分裂成2 个，2个分裂成4个，......,一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与分裂次数x有怎样的函数关系？
经过1次分裂 y=2=21
2 y=4=22
3 y=8=23
… … …
x … y=2x
函数y=2x,自变量x出现在指数的位置上，而底数2是一个大于0且不等于1的常量。我们把这样的函数叫做指数函数。
口答题是复习关于零指数、负指数、分数指数幂的意义。
问题是为了引入新课内容，同时说明指数函数的概念来自实践，便于学生接受。
抽象概括 概念形成
一．指数函数的定义：
一般地，形如y=ax(a>0且a≠1)的函数
叫做指数函数。
讨论1：为什么定义中要规定底数a>0,且a≠1？
如果a=0,那么
如果a<0,那么ax对某些x值可能没有意义，
比如a= -2 时，（-2）x对于x=1/4,x=1/2,...无意义；
如果a=1,那么y=1x=1对任意x都是常数，对它就没有研究的必要。
为了避免出现上述情况，所以规定a>0且a≠1。
讨论2:下列函数是否是指数函数：
（1）y=0.2x (2)y=(-2)x (3)y=1x
(4)y=(1/3)x (5)y=2x＋1
小结：指数函数的特点是
(1)y=ax的形式
(2)底数a>0且a≠1
新课引入后，直接书写课题，给出指数函数的定义。
通过讨论使学生对指数函数底数的取值有深刻的认识，从而进一步理解指数函数的定义。
通过小结使学生对指数函数的定义有了完整的认识。
研究图象 深化概念
二．指数函数的图像：
现在研究指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像和性质。
1．请同学们在坐标纸上用描点法画出指数函数y=2x 和y=(1/2)x 的图像。
教师借助电脑，用描点法画出图象。

2．使用几何画板在同一坐标系内画出下列5个指数函数的图象
（1）y=2x (2)y=(1/2)x (3)y＝3x
(4)y=(1/3)x (5)y=5x

通过动手画图象，使学生对指数函数的图像有一个感性认识。教师作图便于学生校对。
借助几何画板画图象，既快速，又准确，图像形象、直观，有助于学生分析图像特征，总结函数性质，培养学生数形结合的能力。
抽象概括 引出性质
三．指数函数的图像特征和函数的性质：
投影电脑已制作好的图像，要求学生从以下几个方面：（1）图像范围；（2）图像经过的特殊点；（3）图像从左向右的变化趋势。观察分析图像特征，并由此得出指数函数的性质。教师边提问、边分析、边整理成表（如下所示）
指数函数y=ax图像特征
指数函数y=ax的性质
(1)这些图像都位于x轴上方
(1)x取任何实数时，ax >0
即定义域为R,值域为(0,+∞)
(2) 这些图像都
过点（0,1）
(2)无论a为任何正数，
总有a0＝1
(3)自左向右看，图像Ⅰ逐渐上升，图像Ⅱ逐渐下降
(3)当a>1时，y=ax是增函数；当 0<a<1时，y=ax是减函数
(4)图像Ⅰ在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1；
图象Ⅱ正好相反。
(4) 当a>1时,
若x>0，则ax>1
若x<0，则0< ax <1
当 0<a<1时
若x<0，则ax >1
若x>0，则0< ax <1

巩固指数函数的性质，渗透分类讨论思想。

应用举例 加深理解
例：比较下列各题中两个值的大小：
　　（1）1.72. 5 , 1.73 ；
　　（2）0.8-0. 1 ，0.8-0.2
教师板书第1小题，学生完成第2小题
解：(1)考察指数函数y=1.7 x ，由于底数1.7>1，所以指数函数y=1.7 x在Ｒ上是增函数。∵2.5 < 3 ∴1.72. 5 < 1.73
（2）考察指数函数y=0.8x，由于底数0.8<1，所以指数函数y=0.8 x在Ｒ上是减函数。
∵-0.1>-0.2 ∴0.8 -0. 1< 0.8 -0.2
应用是加深理解概念最有效的途径，紧扣教材应当成为教与学的立足点。规范解题过程，培养基本技能。

练习巩固 强化新知
1.根据指数函数的性质，利用不等号填空：
（1）0.6 3___0.6 4 (2) 5-1___5-1. 5 (3) 0.23___0.21. 3
2. (1)已知a1/3 >1，则a的取值范围是________;
(2)已知0.3 b >1，则b的取值范围是_________;
(3)已知c-3>1，则c的取值范围是__________;
练习1和2是指数函数性质的简单应用，目的是让学生熟悉一下性质。
归纳小结 复习回顾
1． 指数函数的定义
2． 指数函数的性质：（1）定义域（-∞,+∞），值域（0,+∞）；（2）函数的特殊值（0，1）；（3）函数的单调性：a>1,单调增；0<a<1，单调减。
强调：学习指数函数时，应当思图像、抓特征、说性质，做到数形结合，而不是死记硬背性质。
（1）(0,1)是所有指数函数的交汇点；
（2）a>1和0<a<1代表两类不同的指数函数，其主要区别是单调性不同。
通过小结，使学生理清本节课的重难点，有利于学生系统掌握所学知识。
七、教学评价设计
可评价的学习要素
1.由实例抽象指数函数的概念
评价方法：现场评价
评价指标：1）概念叙述正确. 2）对概念辨析准确. 3）能举出实例.
2.描点法做指数函数图像.
评价方法：现场评价
评价指标：1）列表正确，取值合理；2）描点准确；3）连线平滑，能准确反映指数函数性质.
3.用几何画板作指数函数的图像.
评价方法：现场评价
评价指标：1）能准确使用几何画板软件；2）能使用几何画板软件准确画出相应函数图像；3）能准确反映相应函数性质.
八、PPT及板书设计
见附件。
九、新课标的具体体现
本节课很好的体现了新课标理念中面向全体学生，提高合作探究能力的要求，通过提出问题，学生思考回答，使每个学生都亲临探究的现场，探究事物发展的规律，通过创设情境，激发了学生的学习欲望。
最后对本节课进行了拓展延伸，归纳升华，充分体现了课堂教学学习新知识的同时，注重学生积极主动参与的意识和各方面能力的培养。
课时三
一、教学内容分析
通过对现实生活中指数型函数问题的研究和探讨，进一步感受应用数学解决问题的方法,在解决实际问题过程中体会指数函数这一类重要的函数模型，感受数学的和谐美.
二、教学目标
1.利用指数函数的性质解决简单的实际问题；
2.指数型函数的应用；
三、学习者特征分析
学生已经学习了指数的运算性质及指数函数的图象与性质，可以对一些简单的问题进行分析、处理.
四、教学策略选择与设计
讲练结合的教学策略
五、教学重点及难点
重点：指数型复合函数的单调性；
难点：指数函数图象与性质的综合应用.
六、教学过程
教师活动
预设学生活动
设计意图
创设情景，导入新课
（1）指数函数的具体性质有哪些？
（2）指数函数是数学中的重要模型之一，我们可以借助指数函数的概念与基本性质来解决一些简单的实际问题.

学生回忆指数函数的图象与性质
回顾知识，利于开展本节课的教学活动。
合作交流，解读探究
1.指数型复合函数的单调性
例1：求的单调区间，并求其值域.
2．指数型复合函数的奇偶性
例2：已知,判断函数的奇偶性.
3.指数函数的实际应用
例3：（复利问题）某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x(x∈N*),本利和（本金加上利息）为y元.
（1）写出本利和y随存期x的函数关系式；
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.
思考：（1）第几期的本利和超过本金的1.5倍？
（2）要使10期后的本利和翻一番，利率应为多少（精确到0.001）？
例4：（增、减率问题）2000 ～2002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%左右，按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2010年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）.
在交流互动中解决相关问题。
学生先思考，教师再讲解
通过本环节，学生对指数型复合函数的单调性、奇偶性等性质有更深入的了解和形成解决方法。
对实际应用问题有更清晰的认识。
课堂练习，当堂巩固
1．求 的单调区间.
2．已知 是奇函数，求常数a的值.
学生到前面板演。
达到对所学知识的熟练应用。
课堂小结，深化理解
1.指数型符合函数定义域、值域、单调性、奇偶性等性质的求解方法；
2.指数函数在实际生活中的应用.
学生总结。
更深入理解本节课知识。
七、教学评价设计
评价方法：小测试，小练习
评价说明：根据测试以及练习的情况，判定学习的掌握程度
八、PPT及板书设计
见附件。
九、新课标的具体体现
引导学生经过分析，得出利用所学的函数单调性与奇偶性的判断方法，得到指数型复合函数单调性与奇偶性的判别，引导了学生对转化化归思想和分类讨论思想的灵活应用。
保证课堂练习的时间和质量，以使学生牢记和熟练运用图象与性质，同时，教师根据课堂交流和作业反馈信息，对知识技能目标的完成度进行量化检测。这样教学，使得学生的知识技能目标和过程方法目标都得到了落实，而且各个目标在功能上形成了一种相互促进的关系，这正是实施新课程标准的目标所在。