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七年级数学暑假专题 再谈一次方程组与不等式 华东师大版

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
专题四 再谈一次方程组与不等式(组)

二、知识点分析
1. 挖掘一次方程组蕴涵的思想方法
　　⑴“转化”思想
　　 “转化”思想就是将复杂的、陌生的问题迁移为简单的、熟悉的问题进行求解，这是学习新知识，研究新问题的一种基本方法.本章中二元一次方程组的解法的实质就是借助“消元”（加减消元和代入消元是两种最常见的消元方法）的方法将“二元”转化为“一元”.
　　⑵方程的思想
　　将数量关系转化为方程（组）的形式，通过解方程（组）使问题得以解决的思维形式就是方程的思想，本章中有关计算和解决有关应用题将运用这种思想。用方程的思想解决往往比用其它方法简捷、方便得多。
　　⑶整体思想
　　当一个问题中未知数较多，一个一个求解比较复杂，或有时不能求解时，可将其中满足某一共同特性的某一个固定代数式看作一个整体，在运算和求解时整体参与，这样有时可使运算简捷，这种方法是整体思想的体现，解方程组时有时也需用到这种思想和方法.
　　⑷数形结合的思想
　　⑸“换元”思想
换元法在初中代数中的应用非常广泛，它通过用一个字母表示一个整体进行变量替换，将形式简化，将问题转化，从而起到化繁为简，化隐为显，化难为易的目的，本章中呈现形式较复杂的一些方程组的解法多采用这种方法。
2. 利用数轴确定不等式（组）中待定字母的取值
已知一个不等式（组）的解的情况，求其待定字母的取值，是一类灵活性较强的问题.利用数轴通过“数”与“形”的结合来解决问题将会减少理解上的难度，更能直观地求出字母的取值范围。近几年，各地的中考试题中经常涉及到这一类问题，本讲将从几道例题的解法来介绍利用数轴解决这类问题的方法，希望对大家能有所帮助.

三、典型例题
　例1. 解方程组
　　分析1: 由于①中x系数为1,可将①变形为x=-2y-2③，然后将③代入②,消去x，得到关于y的一元一次方程.从中求出y，然后将y代入③中求x.
　　解法1: 由①得x=-2y-2, ③
　　③代入②中得7(-2y-2)-4y=-41,y=.
　　将y=代入③中得x=-5.∴
　　说明:本题通过“代入”达到消元的目的，将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.
　　分析2：①和②中y的符号相反，且系数成2倍关系，故将①×2+②可消去y.
　　解法2：①×2+②得9x=-45,x=-5.
　　将x=-5代入①中得y=.∴
说明：本题通过“加减消元”，同样将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.

　例2. 已知与是同类项,求m、n的值.
　　分析: 同类项要求相同字母的指数相同,故有解这个方程组可求得m、n.
　　解: 依题意有解得
说明:本题运用了转化的思想.第一,根据同类项的意义,将求解问题转化为解关于m、n的二元一次方程组的问题.第二,运用“消元”的方法，将解二元一次方程组问题转化为解一元一次方程问题，当然本题还运用了方程的思想.

　例3. 古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的.驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮货物的袋数是(　　)
　　A.5　　　B.6　　　C.7　　　D.8
　　分析：此题中有两个未知量——驴子和骡子各驮的货物的袋数.
问题中有两个等量关系：⑴骡子驮袋数+1袋=2（驴子驮的袋数-1袋）;⑵骡子驮袋数-1袋=驴子驮的袋数+1袋.
　　解: 设驴子驮x袋,骡子驮y袋,根据题意, 得
　　解这个方程组,得
　　答:驴子驮5袋,骡子驮7袋.故选A.
说明：列方程（组）解应用题是方程思想在数学中的最典型、最基本的体现，也是方程思想反映的最常见的题型，是中考必考查的考点.

　例4. 某班春游，上午8时从学校出发，先沿平路到山脚下，再爬到山顶，在山顶停留1个半小时，沿原路返回学校时已是下午3时30分，已知平路每小时行4千米，上山速度是平路的，下山速度是上山的2倍，求所行全程.
　　分析：设全程中平路为2x千米，上、下山路各为y千米，则平路所用的时间为小时，上山时间为小时，下山时间为小时，而总时间为15.5-8-1.5=6小时，得到方程++=6.从而求解.
　　解：设全程中平路为2x千米，上、下山路各为y千米，依题意有++=6.
6x+2y+4y=72,所以2x+2y=24.
答：全程为24千米.

例5. 小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示，小红看见了，说：“我来试一试”.结果小红七拼八凑,拼成如图2所示的正方形,中间还留下一个洞,恰好是边长为2mm的小正方形!你能算出每个长方形的长和宽是多少吗?

　　分析: 本题有两个未知量——长方形的长与宽.观察图形得到两个等量关系:由图1得:长的3倍等于宽的5倍;由图2得:长的2倍+2=长+宽的2倍.
　　解: 设长方形的长为xmm,宽为ymm,根据题意,得
　　整理,得解得
　　答:这些小长方形的长为10mm,宽为6mm.
说明:本题巧妙地运用了两个拼图,建立起小长方形的长与宽的关系,它体现了数与形之间的相互关系,打破了用语言描述两个量之间关系的常规,渗透了数形结合的数学思想.

例6. 如图,在长方形ABCD中,AB=8cm，BC=6cm且△BEC的面积比△DEF的面积大5,求的DF长.

　　分析: 本题是数形结合题,未知数只有一个,若直接设DF的长为x,不易找出等量关系,可以分步来解,如设△BEC的面积为x,△DEF的面积为y,梯形ABED的面积为z，则有从中求出△ABF的面积y+z=43，再求DF就容易了.
　　解: 设△BEC的面积为x,△DEF的面积为y,梯形ABED的面积为z，
梯形的面积为
　　依题意,得
　　②-①得y+z=43，
　　即△ABF的面积为43.
　　设DF的长为a,有
　　答: DF的长为
注意:⑴本题综合性较强，涉及到的知识有三角形的面积、长方形的面积、看图识图、列方程等.⑵本题解方程组有一定的技巧，要求整体求解.⑶解题思路超出常规，要求我们认真理解题意，努力探索解题方法.

　例7. 解方程组
　　解：设，
　　则原方程组变为
　　①+②×9得17u=68，u=4.
　　将u=4代入②中得v=2.
　　∴解得
说明:本题借助换元的方法,将复杂的方程组转化为简单的方程组来解决.

例8. 不等式的负整数解只有2个.求m的范围.
解析：的解集为：.
因为不等式的负整数解只有2个.则借助于数轴知：只能在-3与-2之间，
并且可以等于-3.即：-3≤<-2.故m的范围是：-11≤m<-8.

例9. 如果不等式组 无解，则m的取值范围是 .
解析：不等式2x-4≥0的解集为x≥2，借助于数轴分析，如图，可知m<2.

例10. 不等式组有解，则（ ）.
A. m<2 B. m≥2 C. m<1 D. 1≤m<2
解析：借助下图，可以发现：要使原不等式组有解，表示m的点不能在2的右边，也不能在2上，所以，m<2.故选（A）.

例11. 若不等式组的解集中的任何一个x的值均不在２≤x≤５内，则a的范围是　　　　.
解析：解不等式组，得a<x<a+1，借助下图可知，
满足条件的a的取值范围应是：a+1≤2或a≥5.
即a的范围是：a≤1或a≥5.

例12. 已知不等式组的整数解只有3、4.求a和b的范围.
解析：解不等式组得，借助于数轴，如下图知：

2+a只能在2与3之间.只能在4与5之间.
所以：2≤2+a<3 4<≤5
所以：0≤a<1， 9<b≤11.

四、本讲数学思想方法的学习
1. 数学思想方法是解题的灵魂，在解与一次方程组有关的题型中，要体会这些思想方法的应用.
2. 已知不等式（组）解集，求有关字母的取值范围，画数轴运用数形结合的思想可以顺利地解决此类问题.

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、解下列方程组：
1.解方程组.
2.解方程组
3.解方程组
4.解方程组
5.解方程组　　　
6.解方程组　　　
7.解方程组.
8.解方程组.

二、一次方程（组）的应用：
9.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
10.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅.经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.
⑴求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
⑵若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.
.
三、求不等式（组）中字母的取值范围：
11. 已知不等式组的解集为＞2，则（ ）
A.＜2 B.≤2 C.＞2 D.≥2
12. 若关于的不等式组的解集为＜2，则的取值范围是 .
13. 如果不等式组无解，则的取值范围是 .

【试题答案】
一、解下列方程组：
两个方程的常数项相同
1. 解方程组.
解析：这样的方程组的解法是将两个方程相减后再用代入消元法求解.
由①－②得，整理得.再用代入消元法解得.
有一个为未知数的系数相差１
2. 解方程组
解析：这样的方程组的解法是两个方程相减后用代入法求解.
由②－①整理得,用代入消元法解得.
两个未知数的系数之差相等或互为相反数
3. 解方程组
解析：这样的方程组的解法是两个方程相减后用代入法求解.
由①－②整理得.再用代入消元法解得.
两个未知数的系数之和相等且系数互换
4. 解方程组
解析：这样的方程组的解法是两个方程相加、相减后用得到的简单的方程组求解.
由①－②整理得　.③;
由①＋②整理得　.　④.
解③、④组成的方程组得.
方程组中某一未知数的系数成倍数关系
5. 解方程组　　　
解析：方程①变形为3x＝4ｙ＋7;
方程②可以变形为2×3ｘ－7ｙ＝19.
把“3ｘ＝4ｙ＋7”整理代入上式，消去ｘ，解得ｙ＝5，代入方程①，求得ｘ＝9.所以原方程组的解为.
方程组的两个方程中均含有相同的某一未知数的代数式
6. 解方程组　　　
解析：方程组的两个方程中含有相同的代数式ｙ＋2，采用整体代入，消ｙ.
将①代入②，得4［3（ｘ＋1）］＝ｘ＋12,解得ｘ＝0，
将ｘ＝0代入方程①，求得ｙ＝1.
所以,原方程组的解为.
有方程是比例的形式
7. 解方程组.
解析：方程组中含有比例的形式,通常是设出比例系数ｋ，将两个未知数用ｋ表示,再求解.本题可设,得x=5k-1,y=2k+3.③
将③中的两式代入方程②,得3(5k-1)+4(2k+3)=32.
解关于k的方程,得k=1.
将ｋ＝１代入③.
解得，.
换元法
解法是设出比例系数ｋ，将两个未知数用ｋ表示，再求解.
8. 解方程组.
解析：注意到两个方程中含有同样结构（ｘ＋ｙ）、（ｘ－ｙ），
可以设ｘ＋ｙ＝ａ，ｘ－ｙ＝ｂ；
原方程组变为.
解这个较为简单的方程组，得，
所以得到新方程组，
解得.
二、一次方程组的应用：
9. 解：设进价为x元,标价为y元.可得方程组:
，解得
答：进价为155元,标价为200元.
10. 解:⑴设1个大餐厅可供名学生就餐，1个小餐厅可供名学生就餐，根据题意，得

解这个方程组，得
答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐.
⑵因为，
所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐.

三、求不等式（组）中字母的取值范围：
11. 解：由＞1，解得＞5，即＞6，∴＞2.
于是原不等式组可简化为：，且不等式组的解集为：＞2，

∴根据数轴，必有≤2.故选B.
12. 解：由＞，解得＞，∴＜2.
又＜0，即＜.
于是原不等式组可简化为：，且该不等式组的解集为＜2，

∴根据数轴可知，必有≥2，即≤.
所以的取值范围为≤.
13. 解：由≤0，解得≤.又由≥0，得≥，
于是原不等式组可简化为：，由于该不等式组无解，

结合数轴，可知＞.即的取值范围为＞.