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初中数学竞赛辅导资料(9)一元一次方程解的讨论
甲内容提要
1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如：方程　2x＋6＝0，　x（x-1）=0, 　 |x|=6, 　 0x=0, 　　0x=2的解
分别是：　　　x=－3, x=0或x=1, 　 x=±6, 所有的数，无解。
2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后，
讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解　x=；　
当a=0且b≠0时，无解；
当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立）
3,　求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解
　当a｜b时，方程有整数解；
当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解；
当a、b同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b
乙例题
例1 a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2)　①有唯一的解？②无解？
③有无数多解？④是正数解？
解：①当a≠0且a≠2 时，方程有唯一的解，x=
②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解；
③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解
④由①可知当a≠0且a≠2时，方程的解是x=,∴只要a与4同号，
即当a>0且a≠2时，方程的解是正数。
例2 k取什么整数值时，方程
　　①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？
②（1－x）k=6的解是负整数？
解：①化为最简方程（k＋2）x=4
当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数
　∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。
②化为最简方程kx=k－6，
当k≠0时x==1－，
只要k能整除6,　即 k=±1，±2，±3，±6时，x就是整数　
　当　k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。
例3　己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a　无解。问a和b应满足什么关系？
解：原方程化为最简方程：　(a－b)x=b
∵方程无解，∴a－b=0且b≠0
∴a和b应满足的关系是a=b≠0。
例4　a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？
解：原方程化为最简方程：（3a+2b－8）x=2a+3b－7，
　根据　0x＝0时，方程有无数多解，可知
当　时，原方程有无数多解。
解这个方程组得
　答当a=2且b=1时，原方程有无数多解。
丙练习（9）
1, 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
① (x+1)=0, 　　②x2=9,　　③|x|=9，　④|x|=－3,　
⑤3x+1=3x－1,　⑥x+2=2+x
2,关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________
3,在方程a(a－3)x=a中，
当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解；　　当a＿＿＿时无解；
　当a＿＿＿＿＿时,有无数多解；　　　　　当a＿＿＿＿时,解是负数。
4， k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？
① x= ②x= ③x= ④x=
5， k取什么值时，方程x－k=6x的解是 ①正数？ ②是非负数？
6， m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解 ①是零？ ②是正数？
7， 己知方程的根是正数，那么a、b应满足什么关系？
8， m取什么整数值时，方程的解是整数?
9， 己知方程有无数多解，求a、b的值。
初一下部分参参答案
练习9
1. ①－1　②±3　③±9　④无解　⑤无解　⑥无数多个解
2. 　a=1 　　3. a≠3,a≠0；a=3；a=0；　a<3且a≠0
4.①　k=±1,±2,±4　②2，0，3，－1，4，－2，7，－5
③±1，±3　　　　④4，－5，0－2（）
5.　①k<0 ②k ≤0　　6.　①m=－1　②m＜－1 7. 2a+b>0
8. 化为最简方程mx=m+3, 当m=±1,±3时，有整数解
9.化为最简方程(3a－b)x=b+2
当时方程无解，解得