七年级数学正数和负数、数轴、相反数华东师大版知识精讲.doc

七年级数学正数和负数、数轴、相反数华东师大版

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
正数和负数、数轴、相反数

学习目标：
1. 体会到现实世界中具有相反意义的量的含义，并能用有理数表示。
2. 能在数轴上表示有理数，并借助数轴理解相反数的意义。
3. 会求有理数的相反数。

【知识内容】
一. 正数和负数
在日常生活中，常遇到一些具有相反意义的量，如：向东和向西，零上和零下，收入和支出。上升和下降等，只用原来小学学过的数很难区分这些具有相反意义的量。例如零上5℃用5表示，那么零下5℃再用一个数5表示就不够了，在天气预报图中，零下5℃是用－5℃表示的。
对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示；把与它意义相反的量规定为负的。用过去学过的数（零除外）前面放上一个“－”（读作“负”）号表示。
就拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零下5℃用－5℃表示。
象－5，－2等这样的数是一种新数，叫做负数。过去学过的那些数，（零除外），如10，3，1.2等，叫正数。正数前面有时也放一个“+”（读作“正”）号。
零既不是正数，也不是负数。
正整数、零、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。
整数和分数统称有理数。
我们可以作出如下的分类表：

二. 数轴
我们在小学学习数学时，就能用直线上依次排列的点表示自然数，它帮助我们认识了自然数的大小关系。
我们可以在一条直线上规定一个正方向，用这条直线上的点表示正数、负数、零。

具体做法如下：
画一条直线（通常画成水平位置），在这条直线上任取一点作为原点，用这点表示0，规定直线上从原点向右为正方向，画上箭头，而相反方向为负方向，再取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，……，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上－1，－2，－3……，如图所示

像这样规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。
在数轴上画出表示有理数的点，除了数零用原点表示外，对于不为零的任一有理数。可以先由这个数的符号确定它在数轴上原点的哪一边（正数在原点的右边，负数在原点的左边），再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度，然后画上点。例如：表示－4.5的点，应在原点的左边4.5个单位处。
在数轴上表示的两个数，右边的数总是比左边的数大。
比较有理数大小的法则：
正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。

三. 相反数
如图所示，在数轴上，－6和6所对应的点位于原点两旁，且与原点的距离相等。

也就是说，它们相对于原点的位置只有方向不同。1.5和－1.5所对应的点也是这样。
容易看出：－5与5，－4与4都只有符号不同。
像以上这样只有符号不同的两个数称互为相反数。
例：1.5和－1.5互为相反数，即1.5是－1.5的相反数，－1.5是1.5的相反数。
在数轴上表示互为相反数的两个点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等。
零的相反数是零。

【典型例题】
例1. 下列说法是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”，并说明理由。
（1）前进2km记作+2km，那么－5km就表示后退－5km。（ ）
（2）有理数中不是正数的数就是负数。（ ）
（3）有一种记法，80分以上如88分记为+8，某学生得分为74分，应记为－6分。（ ）
（4）负整数和非负整数统称为整数。（ ）
分析：本例应准确把握互为相反意义的量的含义以及有理数的两种分类标准才能准确判断。
解：（1）（×）根据互为相反意义的量的含义，－5km应表示后退5km，后退－5km就表示前进5km。
（2）（×）有理数包括正数、负数以及0，而本小题忽视了0为有理数这一特殊情况。
（3）（√）“0”的标准我们可以根据具体情况而定，故本题80分相当于0分，所以80分以上为正，80分以下为负，故74分应记为－6分。
（4）（√）整数包括正整数、负整数、零，而非负整数指正整数和零。所以本题对整数的分类正确。
说明：对类似于本例的说理判断题，应注意灵活运用，全面把握各概念，否则易因考虑不周全，似是而非致错。

例2. 把下列各数填入相应的大括号内，，0.1，0，。
（1）正整数集：{ ……}
（2）分数集：{ ……}
（3）正分数集：{ ……}
（4）负分数集：{ ……}
分析：正数集合包括所有的正整数和正分数；分数集合包括所有的正分数和负分数。
解：（1）正整数集：
（2）分数集：
（3）正数集：
（4）负分数集：
说明：本例是对有理进行分类，做题之前首先要明确各集合的含义，特别是对于以分数和百分数形式出现的数应注意化简。
如本例中的“300%”和“”经化简后为正整数。

例3. 用正数、负数表示下面各组具有相反意义的量，并指出它们的分界点。
（1）零上10℃与零下5℃；
（2）高于海平面100米与低于海平面200米。
分析：在现实世界中，存在着大量具有相反意义的量，比如收入与支出，上升与下降。零上温度与零下温度等。引入负数后，我们就可以用相应的数表示它们。
解：（1）如果用正数表示零上温度，那么零上10℃就表示+10℃，零下5℃就表示为－5℃，它的分界点是0℃。
（2）如果用正数表示高出海平面的高度，那么高出海平面100米就表示为+100米，而低于海平面200米就表示为－200米，海平面就是它的分界点，用0表示。
说明：具有相反意义的两个量规定其中一个用正数表示，另一个量就用负数来表示，到底用正数，还是用负数来表示其中的一个量，只是我们的一种规定，但也常遵守人们的习惯。比如人们习惯用正数表示零上温度，用正数表示收入等。

例4. 数轴上与表示+2的点距离是3个单位长度的点有几个？它们分别是什么数？
分析：在数轴上，与已知点距离相等的点一定有两个，它们分别位于该点的左、右两边。
解：与表示+2的点的距离是3个单位长度的点有两个，它们分别是－1和+5。
说明：类似于本例借助于数轴求解的题目，我们只需把已知点按照题中要求移动（如本题移动3个单位长度），左右各移动一次，即可求得两个数。本题易出现考虑不全只有一个数的情况。

例5. 如图所示，在数轴上有三个点A、B、C，请回答：

（1）将B点向左移动3个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？
（2）将A点向右移动4个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？
（3）将C点向左移动6个单位后，这时B点表示的数比C点表示的数大多少？
（4）怎样移动A、B、C中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？
解：（1）因为将B点向左移动3个单位后，点B表示－5，而点A表示－4，点C表示3，因此点B表示的数最小，是－5；
（2）将A点向右移动4个单位后，点A表示0，点B表示－2，点C表示3，因此点B表示的数最小，是－2；
（3）将C点向左移动6个单位后，C点表示数－3，A点表示数－4，B点表示数－2，所以B点表示的数比C点表示的数大1。
（4）使三个点表示的数相同共有三种移动的方法。
第一种：把点A向右移动2个单位，点C向左移动5个单位；
第二种：把B点向左移动2个单位，C点向左移动7个单位；
第三种：把A点向右移动7个单位，B点向右移动5个单位。

例6. 某人从A地向东走10米，然后折回向西走3米，又折回向东走6米，此人在A地哪个方向？距离是多少？
分析：我们可以借助数轴求解，以A地为原点。1cm长表示2m，向东的方向表示数轴的正方向。
解：

观察数轴得知：此人在A地向东方向，距离为13米。
说明：借助数轴求解，即把实际问题转化为数学知识模型，实际行走路线是。

例7. 判断下列语句是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”，并说明理由。
（1）符号相反的两个数叫做互为相反数。（ ）
（2）互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数。（ ）
（3）相反数和我们以前学过的倒数是一样的。（ ）
分析：本例要求准确理解相反数的定义，只有符号不同的两个数称互为相反数。其中“只有”指的是除了符号不同以外完全相同。
解：（1）（×）。符号相反的两个数不一定互为相反数，如“－3”和“+5”虽然符号相反，但它们不是互为相反数。
（2）（√）。因为0的相反数是0，但0既不是正数，也不是负数。
（3）（×）。相反数和我们以前学过的倒数是两种绝然不同的意义，互为相反数对符号提出了要求，但倒数并没有此限定。
说明：对类似于本例的说理判断题，应注意特殊的数0，注意0的相反数是本身。

例8. 化简下列各数的符号，并回答后面的问题。
（1）________________
（2）___________________
（3）________________
（4）________________
（5）_____________
（6）_____________
（7）+2前面有2000个正号，2001个负号。化简后的结果是_____________，符号化简的规律为___________________。
分析：某数的相反数在形式上表现为在该数前面添加“－”号，本例应从相反数本身出发，总结化简规律。
解：（1）； （2）；
（3）； （4）
（5）3； （6）
（7）+2前面有2000个正号，2001个负号，化简的结果是－2。
符号化简的规律是：一个数符号的改变与它前面的正号无关，与负号的个数有关。当负号的个数为奇数时，这个数的符号改变，正的变为负的，负的变为正的。当负号的个数为偶数时，这个数的符号不变。

例9. 已知a和b互为相反数，m、n互为倒数，，求：的值。
分析：相反数有一个很重要的性质，若两个数互为相反数，则这两个数的和为零；倒数也有一个很重要的性质，若两个非零的数互为倒数，则这两个数的积为1。
解：根据题意知：
又

例10. 有理数a、b、c的位置如图（1）所示，试确定下列各组数之间的大小关系。

图（1）
（1）a与b （2）与
（3）与 （4）与
（5）与 （6）与
分析：把a、b、c的相反数在数轴上表示出来。因为在数轴上表示的两个数，右边的数总是比左边的大，我们就可以比较出以上各组数的大小。
解：把表示在数轴上，如图（2）所示，由图可知：

图（2）
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 选择题
1. 正整数集合和负整数集合合在一起，构成数的集合是（ ）
A. 整数集合 B. 有理数集合
C. 自然数集合 D. 非零整数集合
2. 下列说法：
（1）零是正数； （2）零是整数； （3）零是最小的有理数；
（4）零是非负数； （5）零是偶数。
其中正确说法的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数
B. 一个有理数不是正数就是负数
C. 一个有理数不是整数就是分数
D. 以上说法都正确
4. 如图所示，根据有理数a、b、c在数轴上的位置，下列关系正确的是（ ）

A. B.
C. D.
5. 若有理数，在数轴上点M表示数m，点N表示数n，那么下面说法正确的是（ ）
A. 点M在点N的右边
B. 点M在点N的左边
C. 点M在原点右边，点N在原点的左边
D. 点M和点N都在原点的右边
6. 数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2000厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点共有（ ）个。
A. 1998或1999 B. 1999或2000
C. 2000或2001 D. 2001或2002
7. 数轴上点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d，已知A在B的右侧。C在B的左侧，D在B、C之间，则下列式子成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 一个数大于它的相反数，那么这个数是（ ）
A. 负数 B. 正数
C. 非负数 D. 非正数
9. 下列说法：
（1）－3是相反数；
（2）－3和+3都是相反数；
（3）－3是+3的相反数；
（4）－3和+3互为相反数；
（5）+3是－3的相反数；
（6）一个数的相反数必定是另一个数。
其中正确的为（ ）
A. （1）（3）（5） B. （2）（4）（6）
C. （2）（3）（4） D. （3）（4）（5）

二. 填空
1. 设向东走为正，向东30米，记作____________，向西走20米记作___________，原地不动记作________________，记作－25米表示向______________走25米，记作+16米表示向_____________走16米。
2. 把下列各数：，分别填在相应的大括号里。
正有理数集合：{ ……}；
非负有理数集合：{ ……}；
整数集合：{ ……}；
负分数集合：{ ……}。
3. 数轴上点M表示2，点N表示－3.5，点A表示－1，点M和点N中，距离点A较远的是___________________。
4. 若点P在数轴上原点的右边，则点P表示的是_______________数，－3在数轴上原点的_________________边，表示－3的点距离原点_________________个单位长度，距离原点3个单位长度的点表示的有理数是____________________。
5. 阅读下面的文字并回答问题：
1的相反数是－1，则。
0的相反数是0，则
的相反数是，则。
故a、b互为相反数，则，若，则a、b互为相反数。
说明了_________________________________________，相反_____________________也成立。

三. 计算
1. 张金同学给自己的压岁钱记了流水账，大姑给+50元，二姑给+30元，三叔给+20元，去动物园花了10元，记为－10元，买文具用品花了15元，记为－15元，他的账上余额为多少元？
2. 工厂生产乒乓球的重量是规定的，但实际生产出的乒乓球，可能重一点或轻一点，比标准重量重0.02克，记0.02克；比标准重量轻0.02克，记作－0.02克，恰好等于标准重量记作0克，现有10个乒乓球，称得它们的重量比标准重量重0.02克，0.01克，0克，－0.02克，－0.01克，0.03克，0克，0.01克，0克，－0.01克，产品规定最重不超过0.02克，最轻不少于0.02克为合格，这10个乒乓球中合格的有几个？
3. 一个负有理数a在数轴上的位置为A，那么在数轴上与A相距d个单位（d>0）的点中，与原点距离最远的点所对应的数是多少？
4. 数轴上离开原点距离小于2的整数点的个数为x，不大于2的整数点的个数为y，等于2的整数点的个数为z，求x+y+z的值。
5. 已知数轴上点A和B分别表示互为相反的两个数a，b。并且A、B两点间的距离是，求a、b两数。

【试题答案】
一. 选择题
1. D 2. B 3. C 4. D 5. A
6. C 7. D 8. B 9. D

二. 填空题
1. +30米，－20米，0米，西，东；
2. 正有理数集合：
非负有理数集合：
整数集合：
负分数集合：
3. 点m
4. 正数，左边，3，+3或－3
5. 互为相反数的两数之和为零。若两数之和为零。则这两个数互为相反数。

三. 计算
1. 50+30+20－10－15=75（元）
2. 9个
3. 提示：在数轴上与A相距d个单位的数有两个：
，与原点的距离分别是，
由于。
则，
时，
当时，，
故
因此，与原点距离最远的点所对应的数是。
4. 根据题意知：

5. 。