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二次函数解析式的求法及其简单应用
第16时 二次函数解析式的求法及其简单应用
【基础知识梳理】
在二次函数的问题中，经常会遇到求二次函数解析式的问题.用待定系数法求二次函数的解析式有三种常用的方法
1、设顶点式，即设
当知道抛物线的顶点坐标或对称轴方程与函数最值时,除代入这一点外，再知道一个点的坐标即可求函数解析式
2、设一般式，即设
一般的，知道三个点坐标或自变量与函数的三组对应数值可设为一般式，从而列三元一次方程组求得函数解析式.
3、已知抛物线与x轴有两个交点(或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式:
即设
【注意:求二次函数解析式，要根据具体图象特征灵活设不同的关系式,除上述常用方法以外,还有：如抛物线顶点在原点可设 ；以y轴为对称轴，可设 ;顶点在x轴上，可设 ；抛物线过原点可设 等】
顶点式的几种特殊形式。

y
x
O
3
x=1
图1
【基础诊断】
1。 抛物线的图象如图所示,则此抛物线的解析式为 ．
2。已知关于的二次函数图象顶点（1，—1)，且图象过点（0，—3）,
则这个二次函数解析式为 。
3.已知一抛物线与x轴的交点是、B(1,0），且经过点C（2,8）。
（1）求该抛物线的解析式;
（2）求该抛物线的顶点坐标。

【精典例题】
例1（2012•佛山)（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
①y随x变化的部分数值规律如下表：
x
—1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
②有序数对（—1，0)、（1，4）、(3，0)满足y=ax2+bx+c;
③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分（如图）．
（2）直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质．

点拨：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象,二次函数的性质．关键是熟练掌握二次函数的三种形式，灵活运用解析式的三种形式解题

例2(2012•珠海)如图,二次函数y=（x—2)2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0)及点B．
A
B
C
O
x
y
（1)求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x—2）2+m的x的取值范围．

点拨：本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式组，求出B点坐标是解题的关键．
例3.(2011湖南永州)如图,已知二次函数的图象经过A（,)，B（0,7）两点．
⑴求该抛物线的解析式及对称轴；
⑵当为何值时，？
⑶在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于C,D两点(点C在对称轴的左侧），过点C，D作轴的垂线,垂足分别为F,E．当矩形CDEF为正方形时,求C点的坐标．

【自测训练】
A—基础训练
一、选择题(每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.)
1．（2012•株洲)如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=—1,则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（　　) A．(—3，0） B．（-2,0） C．x=-3 D．x=—2
2. （2011江苏无锡，)下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴,且经过点（0，1）的是（ )
A．y = （x − 2)2 + 1 B．y = (x + 2)2 + 1
C．y = (x − 2）2 − 3 D．y = (x + 2）2 − 3
3。把函数y=－2x2+1的图象沿x轴对折，得到的图象的解析式为（ ).
A、y=－2x2 B、y=2x2—1 C、y=－2(x+1)2 D、y=－2(x－1）2
4(2012年四川德阳)在同一平面直角坐标系内，将函数的图象沿轴方向向右平移2个单位长度后再沿轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是
A.（，1) B.（1，）C。（2，）D.(1，）
5. （2011泰安）若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：
x
－7
－6
－5
－4
－3
－2
y
－27
－13
－3
3
5
3
则当x＝1时，y的值为（　　）
A．5 B．－3 C．－13 D．－27
二、填空题
1.当m=_________时，函数y = （m2 －4）x + 3是二次函数,其解析式是__________________．
2．（2012•无锡)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0),则抛物线的函数关系式为 ．
3．对称轴是轴且过点A（1，3）、点B（－2，－6)的抛物线的解析式为 ．
4．一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y= - 2x2相同，这个函数解析式为____________．
5．抛物线与x 轴的交点横坐标为1和5,并且经过点（0，5）,这个函数解析式为____________．
三、解答题
1。 （2011重庆江津）已知双曲线与抛物线y=ax2+bx+c交于A（2，3)、B(m,2）、c(－3,n)三点.
（1）求双曲线与抛物线的解析式;
(2）在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出△ABC的面积,
y
x
1
1
o

-1
-1

2．(2012•佳木斯)如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2,0)．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）写出顶点坐标及对称轴；
（3)若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．

3. （2011湖南湘潭）如图，直线交轴于A点,交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3，0）.

O
C
B
A

⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由。

B提升训练
一、选择题(每小题有四个选项,只有一个选项是正确的.）
1。若抛物线的顶点在x轴下方，则m的值为 （ )
(A） m=5 (B）m=-1 （C) m=5或m=-1 (D） m=—5
2．若y=ax2+bx+c，则由表中信息可知与的函数关系式是（ ）
x
-1
0
1
ax2

1
y=ax2+bx+c
8
3

A. y=x2－4x+3 B. y=x2－3x+4 C. y=x2－3x+3 D. y=x2－4x+8
3. 二次函数y=x+bx+c的图象向左平移两个单位,再向上平移3个单位得二次函数则b与c分别等于（ ）
（A)2，—2 (B）-6,6 (c)—8，14 （D)-8，18。
4.（2012•桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线y=x上的A处，则平移后的抛物线解析式是（　　)
A．y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-1

5.（2011•包头)已知二次函数y=ax2+bx+c同时满足下列条件：对称轴是x=1;最值是15;二次函数的图象与x轴有两个交点,其横坐标的平方和为15﹣a，则b的值是（　　)
A、4或﹣30 B、﹣30 C、4 D、6或﹣20
二、填空题
1．（2012•宁波)把二次函数y=（x—1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为 ．
2.( 2011重庆江津）将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是_______。
3。（2011浙江舟山)如图,已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，—2）,当随的增大而增大时，的取值范围是　 ．
4．已知抛物线与轴交于点A，与轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3,则= ，= ．
5．（2012•扬州）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是　　 ．

三、解答题

1．如图，点A在x轴上，OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2)求经过点A．O、B的抛物线的解析式；
（3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标;若不存在，说明理由．

2．(2012•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为(3,）．
（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；
(2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在,请求出Q点的坐标;如果不存在，请说明理由．

3．（2012•湘潭）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点,已知B点坐标为(4，0)．
(1）求抛物线的解析式；
(2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

【08—12济南】

答案提示:
【基础诊断】
⑴y=—x2+2x+3 ⑵y=—2（x—1)2-1 ⑶y=2x2+2x—4
【精典例题】
例1(1)抛物线解析式为y=—（x-1）2+4,即y=—x2+2x+3；
(2）抛物线y=-x2+2x+3的性质如:
①对称轴为x=1，
②当x=1时,函数有最大值为4,
③当x＜1时，y随x的增大而增大．
例2(1）二次函数解析式为y=（x-2）2-1．
一次函数解析式为y=x—1；
（2）1≤x≤4．
例3(1）该抛物线的解析式为。
对称轴为直线。
(2）当函数值时，的解为。
∴结合图象，容易知道时,。
（3）点C的坐标为（－1,4）.

【自测训练】
A— 基础训练
ACBBD m=3 y=5x2+3 ； y=—x2+4x—3； y=-3x2+6; y=—2(x-2）2+1; y=x2-6x+5
解答题
1（1）把点A（2，3)代入得 ：k=6 ∴反比例函数的解析式为：
把点B(m，2）、C（－3，n)分别代入得： m=3，n=－2·
把A（2，3)、B（3，2)、C(－3，－2)分别代入y=ax2+bx+c得:
解之得 ∴抛物线的解析式为：y=－·
(2)描点画图
S△ABC=(1+6）×5－×1×1－×6×4==5·
·A(2,3)
y
x
1
1
o

-1
-1
·B(2,3)
·C(-2,-3)

2． 解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c得
，
解得 ，
所以解析式为y=x2-2x。
（2）∵y=x2—2x=（x—1）2—1，
∴顶点为（1，-1），
对称轴为:直线x=1 。

（3）设点B的坐标为(a,b），则
×2｜b｜=3，
解得b=3或b=—3,
∵顶点纵坐标为—1,—3＜—1 （或x2—2x=—3中，x无解)
∴b=3，
∴x2-2x=3，
解得x1=3，x2=—1
所以点B的坐标为（3，3）或(-1，3）.

3解:(1)设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c。
∵直线交轴于A点，交轴于B点,
∴A点坐标为(-1,0)、B点坐标为(0,3）.
又∵抛物线经过A、B、C三点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3．
（2）∵y=-x2+2x+3= ，∴该抛物线的对称轴为x=1．
设Q点坐标为（1，m)，则，又.
当AB=AQ时， ，解得：，
∴Q点坐标为（1，）或（1，）；
当AB=BQ时,，解得：,
∴Q点坐标为(1，0）或(1，6）；
当AQ=BQ时，，解得:，
∴Q点坐标为（1，1）．
∴抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1,）、(1，0）、（1，6）、（1，1)，使△ABQ是等腰三角形．

B—提升训练
BABCC y=—（x+1）2-2 ； y=（x—5）2+2 或 y=x2—10x+27; ;
b=-4, c=±3; 1 .
解答题
1解：（1)如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C,则∠BCO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4,
∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；
(2）∵抛物线过原点O和点A．B，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx,
将A（4,0），B(﹣2．﹣2）代入，得
,
解得，
∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x
（3）存在，
如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y)，
①若OB=OP，（21世纪教育网版权所有）
则22+|y｜2=42，
解得y=±2，
当y=2时,在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，
∴∠POD=60°，
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，
即P、O、B三点在同一直线上，
∴y=2不符合题意，舍去,
∴点P的坐标为（2,﹣2)
②若OB=PB，则42+｜y+2|2=42，
解得y=﹣2，
故点P的坐标为（2，﹣2)，
③若OP=BP，则22+|y｜2=42+|y+2|2,
解得y=﹣2，
故点P的坐标为（2,﹣2)，
综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2，﹣2)，

2解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a≠0),
又∵函数的顶点坐标为(3,）,
∴，
解得：,
故函数解析式为：，
由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）；

（2）∵S△POA=2S△AOB，
∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为，
代入函数解析式得:=，
解得：x1=3+3，x2=3-3,
即满足条件的点P有两个，其坐标为:P1（3+3，），P2（3-3，）．
（3）存在．

过点B作BP⊥OA，则tan∠BAP=，
故可得∠BOA=30°,
设Q1坐标为（x，），过点Q1作Q1F⊥x轴,
∵△OAB∽△OQ1A，
∴∠Q1OA=30°，
故可得OF= 3 Q1F，即x=(），
解得:x=9或x=0（舍去），
经检验得此时OA=AQ1，△OQ1A是等腰三角形，且和△OBA相似．
即可得Q1坐标为（9，3 ），
根据函数的对称性可得Q2坐标为（-3，3)．
∴在抛物线上存在点Q，使△AQO与△AOB相似，其坐标为：（9，3）或（-3，3）．

3解:(1）将B(4，0）代入抛物线的解析式中,得：
0=16a﹣×4﹣2，即：a=；
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．(21世纪教育网版权所有）

（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2)；
∴OA=1，OC=2,OB=4，
即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径；
所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为:（，0)．

（3)已求得:B（4，0）、C（0,﹣2），可得直线BC的解析式为:y=x﹣2；
设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程：
x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；
∴4﹣4×(﹣2﹣b）=0，即b=4；
∴直线l：y=x﹣4．
由于S△MBC=BC×h，当h最大（即点M到直线BC的距离最远)时，△ABC的面积最大
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有：
，
解得：
即 M（2，﹣3）．

【08—12济南】

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