矩阵A的m重伴随矩阵的性质.doc

莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文

矩阵A的m重伴随矩阵的性质
数学系 01数本 2001141105 程清妹 指导老师：杨忠鹏

摘要　本文定义了矩阵的重伴随矩阵，并利用已有的理论成果，对的性质进行推广，主要讨论了的行列式、秩、转置和逆矩阵与的关系，及为特殊阵与为特殊阵之间的联系，发现的重伴随矩阵的性质与的性质很相似.

关键词　矩阵；伴随矩阵；秩；特征值；数学归纳法

0引言
设是阶方阵，的伴随矩阵定义如下
定义1　设是阶方阵的元素的代数余子式，则阶方阵
，其中，称为的伴随矩阵

　　本文推广了这一定义，给出了的重伴随矩阵的概念
定义2　设为阶方阵，称阶方阵为的重伴随矩阵，记为
＝,
特别地，，
引理　设为阶方阵，则秩
　证明：（1）当秩，即可逆时，由于，故也是可逆的，即秩；
　　　　（2）当秩时，有，于是，从而秩；
　　　　　　又因为秩，所以至少有一个代数余子式，从而又有
秩，　于是秩
　　　　（3）当
引理　设为阶方阵，则有
证明：（1）当时，由引理1知秩，如果，由引理1知
秩，因此
如果，令也有

（2）当时，则也，则，于是

主要结果

命题1.1　当＝时，秩＝
　　　　　　　当>2时，秩＝
证明：　当>时
由引理1知，　秩＝
　　　　　 所以　　　　　秩

　　　　　　　　　　　　　秩
　　 　　　当时
　　　　　 设＝，则，
　　　　　　　 所以　

因此　　秩＝秩＝
命题得证

命题1.2　设为阶方阵（），
＝
证明：（1）因为　当，时

从而得到关于的指数的一个数列，且

由数列的性质得到通项公式，则
同理可证，当，

从而得到关于的指数的一个数列，且

由数列性质得到通项公式，则
（2）用数学归纳法证明结论
　　　　 　当，时，
　　　　　取＝１，有，则＝，等式成立
　　　　　设时，等式成立，即＝
　　　　　当时，
=

等式成立
　　综上所述，当，，有
同理可证，当，，有
命题得证

命题1.3　
证明：若，由引理1知，当时，，则有
　　　　　若，
即　时，有
命题1.4　可逆时，有
=
证明：（数学归纳法）
　　　当时，，等式成立
　　　设时，
　　　当时，

综上所述，当时，有
又由1.2知，

命题得证
命题1.5　
证明：由数学归纳法和1.2即可证得
命题1.6　若是幂等阵，则也是幂等阵。
证明：因为　，所以或
　　　 若，由引理1知，，则
　　　 若，可逆，则，即，所以
　 命题得证
命题1.7　若是对合阵，则也是对合阵。反之也成立
证明：由，得＝１或＝－１，且＝
由1.2知，当时，由知，

　　　 当时，由知

所以，当时，有
　 　　　　反之，若，则＝或=，且

　　　　 由1.2知，＝１或＝－１，
　　　　 　　　　由1.4，当时，
所以　，由知，即
同理可证，当时，
因此，当，时，有
命题得证
命题1.8　若是正定阵，则也是正定阵，反之为正定阵，且为偶数，　可逆时，为正定阵
证明：若正定，则，，有
　　　因为　，
　又由　，正定，，得正定
　　　同理可证，正定，以此类推，正定
反之，若正定，有正定
因为　，当为偶数时，有为奇数，则
由1.2知，当时，，正定，所以为正定阵
同理可证，当时，也是正定阵
命题得证
命题1.9　若是正交阵，则是正交阵。反之也成立　
证明：由已知得，且或
　 　 　当时，由1.5知

由1.4知，
由上述可得时，，有，即为正交阵
若， 当，
，
由，，知
同理可证，当时，有
所以，，，有，即为正交阵
综上所述，若是正交阵，则是正交阵
　　　 反之，若，且或，
则由1.2知或
由1.5知，当时，

得　，由知，即
同理可证，当时，
综上所述，当时，有
命题得证
命题1.10　 设是阶方阵（），若是幂零阵，则是幂零阵
证明： 由，得或秩
　　　（1）若，则
（2）若秩，由1.1知，
当时，秩，则
　　　　当时，，有
　　　　 所以，当，有
命题1.11　若是对称阵，则也是对称。反之是对称阵，且是可逆的，则是对称阵
证明：运用1.2即可得到
命题1.12　若为反对称阵，当为奇数时，为对称阵；当为偶数时，
为反对称
证明：运用1.2即可得到

结束语：本文得出的重伴随矩阵的一些性质与的关系，使的重伴随矩阵的性质简单化，望以后能进一步探论的重伴随矩阵的其它性质。

参考文献:
北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数.第2版.[M] 高等教育出版社.1978.(176-207)
杨子胥. 高等代数习题解.第2版.[M] 山东科学技术出版社.2003.(522-540)
姜家辉. 矩阵理论基.第1版.[M]大连理工大学出版社.1995.(17-19)
刘敏捷. —重伴随矩阵的若干性质.[J] 广西大学梧州分校学报.2003.第13卷第1期.
金辉. 伴随矩阵的若干性质探讨.[J] 数学理论与应用. 2005.第25卷第1期.
高养恩　吴云天　马菊侠. 关于伴随矩阵的有关问题.[J] 榆林高等专科学校学报.2002.第12卷.第4期.

Abtract
　The paper sets time’s accompany is , uses theory result to expand the property of ,and discusses the relation between it’s determinant 、matrix rank、adjugate matrix、conversely matrix and .Find that the property of is rather similar to ’s.

Key words: matrix; adjoint matrix; matrix rank;eigenvalue; mathematical induction

致 谢:
　　为期一个多月的毕业论文设计终于顺利完成了。在这一个多月中，指导老师给我提供了许多宝贵的意见，并多次精心审阅我的手稿，使我的论文得以不断地完善。在此由衷地感谢我的指导老师！同时也感谢其他老师的指导和同学们的热情帮助！
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