吉林省高三数学上学期期末考试试题-理-新人教A版.doc

座号

绝密★启用前
2012－2013学年第一学期公主岭实验高中期末考试
高三数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。试卷满分150分，考试时间
120分钟。
注意事项：
1．开始答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2．将选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案答在答题卡上对应的答题区域内。在试题卷上作答无效。
3．考生必须保持答题卡的整洁。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每题只有一个选项是最符合题意的。
1．函数y＝＋lnx的定义域为
A．（0，＋∞） B．（－∞，1］
C．（－∞，0）∪［1，＋∞） D．（0，1］
2．数列{an}是由实数构成的等比数列，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则数列{Sn}中
A．任一项均不为0
B．必有一项不为0
C．至多有有限项为0
D．或无一项为0，或有无穷多项为0
3．已知f (x)＝cos2x－1，则判断f (x)是
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
4．设全集U＝R，A＝{y｜y＝tanx，x∈B}，B＝{x｜｜x｜≤}，则图中阴影部分表示的集合是
A
B
U
A．［－1，1］
B．［－，］
C．［－1，－）∪（，1］
D．［－1，－］∪［，1］
5．曲线y＝cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的面积是
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知向量＝(2，0)，＝(2，2)，＝(－1，－3)，则和的夹角为
A． B． C． D．
7．设变量x，y满足约束条件，则z＝x－3y的最小值与最大值分别为
A．－8，4 B．－，0
C．－8，－ D．－，4
8．如图所示，若向量e1、e2是一组单位正交向量，则向量2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为
e2
e1
b
a
A．（3，4）
B．（2，4）
C．（3，4）或（4，3）
D．（4，2）或（2，4）
－2
－1
O
1
2
x
y
－1
O
1
2
x
y
－2
－1
O
1
x
y
－1
O
1
2
x
y
－2
－1
O
1
x
y
A B C D
9．已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则函数y＝f (2－x)的图象是下图中的

B
A
D1 C1
A1 B1
E
D
F
C
G
10．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1A，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为
A． B．
C． D．
11．已知正项等比数列{an}满足：a2012＝a2011＋2a2010，且＝4a1，则6(＋)的最小值为
A． B．2 C．4 D．6
12．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，若f (x)在区间［1，a］（a＞2）上单调递增，且
f (x)＞0，则以下不等式不一定成立的是
A．f (a)＞f (0) B．f ()＞f ()
C．f ()＞f (－a) D．f ()＞f (－2)
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上的相应位置。
13．函数y＝x2(x－3)的递减区间是 ．
A
F
D
E
C
B
14．已知函数f (x)＝log2[sin(2x－)]，则满足f (x)＝0的x的
取值范围是 ．
15．如图所示，在正三棱锥A－BCD中，E，F分别为BD，AD的
中点，EF⊥CF，则直线BD与平面ACD所成的角为 ．
16．已知不等式︱a－2x︱＞x－1，对任意x∈［0，2］恒成立，则a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上的相应位置。
17．（本小题满分10分）
设集合M＝{x︱x2－7x＋12≥0，x∈R}，N＝{x︱︱x＋1︱＜1}，Q＝{x︱x－a≥0}，令
P＝M∩N．
求：（1）求集合P．
（2）若PQ，a的最大值．

18．（本小题满分12分）
设函数f (x)＝ax3－3x2＋bx，已知不等式＜0的解集是{x︱1＜x＜2}．
（1）求a、b的值．
（2）设函数g (x)＝，x∈［1，2］，求函数y＝g (x)的最小值及对应的x值．

19．（本小题满分12分）
在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a3＋a5＝5，又a3与a5的等比中项为2．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）设bn＝，记数列{bn}的前n项和Sn，求证：Sn≤．
20．（本小题满分12分）
已知a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），且a与b之间满足关系：︱ka＋b︱＝
︱a－kb︱，其中k＞0．
（1）用k表示a·b．
（2）求a·b的最小值，并求此时a与b夹角θ的大小．

21．（本小题满分12分）
B
A
O
C
D
在Rt△AOB中，∠OAB＝，斜边AB＝4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴
旋转得到，且二面角B－AO－C为直二面角，D是AB的中点．
（1）求证：平面COD⊥平面AOB．
（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．

22．（本小题满分12分）
设函数f (x)＝lnx－px＋1．
（1）求函数f (x)的极值点．
（2）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有f (x)≤0，求p的取值范围．
（3）证明：（n∈N，n≥2）．

2012－2013学年第一学期公主岭实验高中期末考试
高三数学答案（理科）
一、选择题：本题共12小题，共60分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
C
C
C
A
A
C
C
D
C
D
二、填空题：本大题共4小题，共20分。
13．（0，2） 14．{x︱x＝kπ＋或x＝kπ＋，k∈Z} 15．45° 16．（－∞，2）∪（5，＋∞）
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17．（10分）
解：（1）x2－7x＋12≥0有：(x－3)(x－4)≥0 ……1分
得到：x≤3或x≥4 ……2分
∣x＋1∣＜1有：－1＜x＋1＜1 ……3分
得到：－2＜x＜0． ……4分
所以M＝{x∣x≤3或x≥4}，N＝{x∣－2＜x＜0} ……5分
所以P＝M∩N＝N＝{x∣－2＜x＜0}． ……7分
（2）Q＝{x∣x≥a} ……8分
PQ，则a≤－2 ……9分
故a的最大值为－2． ……10分
18．（12分）
解：（1）∵不等式＜0的解集为{x∣1＜x＜2}，∴1和2是方程ax2－3x＋b＝0的根． ……2分
则，得：． ……6分
（2）函数≥－3 ……10分
当且仅当x＝时取“＝”号．注意到∈［1，2］， ……11分
所以函数y＝g(x)的最小值是－3，对应x的值是． ……12分
19．（12分）
解：（1）an＞0，∴a3＋a5＝5，又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5＝4，
而q∈（0，1），∴a3＞a5，∴a3＝4，a5＝1， ……3分
∴q＝，a1＝16，
∴an＝16×()n－1＝25－n． ……6分
（2）bn＝＝＝() ……9分
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－＋－＋…＋)＝(1－)≤． .……12分
20．（12分）
解：∵︱ka＋b︱＝︱a－kb︱两边平方，得：︱ka＋b︱2＝3︱a－kb︱2
∴k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2－2ka·b＋k2b2)
即a·b＝．
∵a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），∴a2＝1，b2＝1，
∴a·b＝． ……6分
（2）∵k＞0，∴(k－1)2≥0，从而k2＋1≥2k，≥≥，∴a·b的最小值为，
此时cosθ＝＝，θ＝60°，即a与b夹角为60°． ……12分
B
A
O
C
D
E
21．（12分）
（1）证明：∵AO⊥BO，AO⊥CO，
∴∠BOC为二面角B－AO－C的平面角， ……2分
∠BOC＝90°，∴CO⊥BO，∴CO⊥平面AOB，
又CO平面COD．
∴平面COD⊥平面AOB． ……5分
（2）解：取OB的中点E，连结DE，由于D为AB的中点，
∴DE∥OA，
∴DE⊥BO，∠CDE为AO与CD所成的角， ……7分
由于AO⊥CO，AO⊥BO，∴AO⊥平面BOC，
∴DE⊥平面BOC，又CE平面BOC，∴DE⊥CE． ……9分
又∠OAB＝，故有，OB＝OC＝2，
AO＝，DE＝AO＝，OE＝1，∴CE＝＝，
∴tan∠CDE＝＝，
则异面直线AO与CD所成角的大小为arctan． ……12分
22．（12分）
解：（1）∵f (x)＝lnx－px＋1，∴f (x)的定义域为（0，＋∞）．
f ′(x)＝－p＝． ……2分
当p≤0时，f ′(x)＞0，f (x)在（0，＋∞）上无极值点．
当p＞0时，令f ′(x)＝0，∴x＝∈（0，＋∞），f ′(x)、f (x)随x的变化情况如下表：
x
（0，）

（，＋∞）
f ′(x)
＋
0
－
f (x)
↗
极大值
↘
从上表可以看出：当p＞0时，f (x)有唯一的极大值点x＝． ……4分
（2）当p＞0时，在x＝处取得极大值f ()＝ln，此极大值也是最大值，
要使f (x)≤0恒成立，只需f ()＝ln≤0，
∴p≥1，∴p的取值范围为［1，＋∞）． ……6分
（3）令p＝1，由（2）知，lnx－x＋1≤0，∴lnx≤x－1，∵n∈N，n≥2，∴lnn2≤n2－1，
∴， ……8分
∴
＝(n－1)－()＜(n－1)－()
＝(n－1)－()
＝(n－1)－()＝，
∴结论成立． ……12分

7