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专题之三 带电粒子在复合场中的运动
1.带电粒子在匀强电场、匀强磁场中运动的比较

在场强为E的匀强电场中
在磁感应强度为B的匀强磁场中
初速度为零
做初速度为零的匀加速直线运动
保持静止
初速度∥场线
做匀变速直线运动
做匀速直线运动
初速度⊥场线
做匀变速曲线运动(类平抛运动)
做匀速圆周运动
共同规律
受恒力作用，做匀变速运动
洛伦兹力不做功，动能不变
2.带电粒子以垂直(或平行)于场线的初速度进入匀强电(磁)场
解决这类问题时一定要重视画示意图的重要作用。
⑴带电粒子在匀强电场中做类平抛运动。这类题的解题关键是画出示意图，要点是末速度的反向延长线跟初速度延长线的交点在水平位移的中点。
⑵带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。这类题的解题关键是画好示意图，画示意图的要点是找圆心、找半径和用对称。
y
l/2
L
h
O
例1 右图是示波管内部构造示意图。竖直偏转电极的板长为l=4cm，板间距离为d=1cm，板右端到荧光屏L=18cm，（本题不研究水平偏转）。电子沿中心轴线进入偏转电极时的速度为v0=1.6×107m/s，电子电荷e=1.6×10-19C，质量为0.91×10-30kg。为了使电子束不会打在偏转电极的极板上，加在偏转电极上的电压不能超过多少？电子打在荧光屏上的点偏离中心点O的最大距离是多少？
[解：设电子刚好打在偏转极板右端时对应的电压为U，根据侧移公式不难求出U(当时对应的侧移恰好为d/2)：，得U=91V；然后由图中相似形对应边成比例可以求得最大偏离量h=5cm。]
例2 如图甲所示，在真空中，足够大的平行金属板M、N相距为d，水平放置。它们的中心有小孔A、B，A、B及O在同一条竖直线上，两板的左端连有如图所示的电路，交流电源的内阻忽略不计，电动势为U，U的方向如图甲所示，U随时间变化如图乙所示，它的峰值为ε。今将S接b一段足够长时间后又断开，并在A孔正上方距A为h（已知）的O点释放一个带电微粒P，P在AB之间刚好做匀速运动，再将S接到a后让P从O点自由下落，在t=0时刻刚好进入A孔，为了使P一直向下运动，求h与T的关系式？
[解析：当S接b一段足够长的时间后又断开，而带电微粒进入A孔后刚好做匀速运动，说明它受到的重力与电场力相等，有 若将S接a后，刚从t=0开始，M、N两板间的电压为，2ε，故带电粒子进入电场后，所受到的电场力为，也就是以大小为g、方向向上的加速度作减速运动。当t=T/2后，M、N两板间的电压为零，微粒在重力的作用下运动。若要使带电微粒一直向下运动，则带电粒子在t=T/2时的速度V≥0。由带电粒了在电场外和电场内加速、减速运动的对称性，要使V≥0，则可知

M N
O
例3 如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？
[解：由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式和周期公式知，正、负电子的半径和周期是相同的，只是偏转方向相反。由于向心力方向跟速度方向垂直，所以圆心一定在过O点垂直于速度的直线上，因此可确定圆心和半径；由对称性知，射入、射出点处速度和MN所成的角必然相等。因此射入点、射出点和圆心恰好是正三角形的三个顶点。两个射出点相距2r。由图看出，正负电子在磁场中的轨迹圆弧所含的度数分别是60°和300°，经历的时间分别为T/6和5T/6，相差2T/3。故答案为射出点相距，时间差为。]
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
－ － － － － －
3.电场力和洛仑兹力的综合应用：
当E⊥B时，正交的匀强磁场和匀强电场组成速度选择器。带电粒子必须以唯一确定的速度（包括大小、方向）才能匀速通过速度选择器。否则将发生偏转。这个速度的大小可以由洛伦兹力和电场力的平衡得出：qvB=Eq ，v=E/B。在本图中，速度方向必须向右。①这个结论与离子带何种电荷、电荷多少都无关。②若速度小于这一速度，电场力将大于洛伦兹力，带电粒子向电场力方向偏转，电场力做正功，动能将增大，洛伦兹力也将增大，粒子的轨迹既不是抛物线，也不是圆，而是一条复杂曲线；若大于这一速度，将向洛伦兹力方向偏转，电场力将做负功，动能将减小，洛伦兹力也将减小，轨迹是一条复杂曲线。

O
E
B
O/
a b
d c
O
E
B
O/
a b
d c
L
r
例5正方形abcd内有方向如图的场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场。质子流从ad边的中点O以初速度v0，沿着与ab平行的方向射入正方形区域。若撤去匀强磁场，质子将达到b点；若撤去匀强电场，质子将打到c点。求：⑴E∶B ⑵当匀强电场和匀强磁场同时存在时，为使质子沿原方向射入后能做直线运动而打到bc边的中点O/，其初速度应调整为v0的多少倍？
[解：⑴只有匀强电场时，由图知质子打到b点时速度的偏转角为α=45°，可得：
；只有匀强磁场时，由图可求得质子做圆周运动的半径r=5L/4，可得：；由以上两式可得E∶B=5v0∶4 ⑵为了使质子做直线运动，必须满足Eq=Bqv，所以1.25v0 ]
例6、（1991年上海高考题）如图所示质量为m、带电量为+q的粒子，从两平行电极板正中央垂直电场线和磁感线方向以速度V飞入。已知两板间距为d，磁感强度为B，这时粒子恰好能沿直线穿过电场和磁场区域（重力不计）现将磁感应强度增大到某值，则粒子将落到板上，粒子落到极板上时的动能为多大？
[答案：]

S1

S2

S3
B
A
Q
U

d
P
例7、（2001年全国高考理综题）如图所示是测量带电粒子质量的仪器工作原理示意图。设法使某有机化合物的气态分子导入图中所示的容器A中，使它受到电子束轰击，失去一个电子变成为正一价的分子离子，分子离子从狭缝S1以很小的速度进入电压为U的加速电场区（初速不计），加速后，再通过狭缝S2、S3射入磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于磁场区的界面PQ，最后，分子离子打到感光片上，形成垂直于纸面且平行于狭缝S3的细线，若测得细线到狭缝S3的距离为d。导出分子离子的质量m的表达式。
质谱仪主要是分析同位素、测定其质量、荷质比和含量比的现代科学仪器。m=qB2d2/8U

例8、（1993年上海高考题）如图所示为一种获得高能粒子的装置。环形区域内存在垂直纸面向外、大小可调节的均匀磁场。质量为m、电量为+q的粒子在环中做半径为R的圆周运动。A、B为两块中心开有小孔的极板，原来电势都为零，每当粒子飞经A板时，A板电势升高为+U，B板电势仍为零，粒子在两板间的电场中得到加速。第当粒子离开时，A板电势又降到零。粒子在电场一次次加速下动能不断增大，而绕行半径不变。
（1） 设t=0时，粒子静止在A板小孔处，在电场作用下加速，并开始绕行第一圈，求粒子绕行n圈回到A板时获得的总动能En。
（2） 为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运动，磁场必须周期性递增，求粒子绕行第n圈时磁感应强度B。
（3） 求粒子绕行n圈所需的总时间tn（设极板间距远小R）
（4） 在图中画出A板电势U与时间t的关系（从t=0起画到粒子第四次离开B极板）
（5） 在粒了绕行的整个过程中，A板电势可否始终保持+U？为什么？
O
t
u
A +U
B 0
R
本题是回旋加速器原理图：
（1） En=Ek=nqU
（2）

（3）
（4） 图略
（5） 不可以。因为这样会使粒子在AB两板之间飞行时，电场力对其做功+qU，从而使之加速；在AB板之外飞行时，电场力又对其做功-qu，从而使之减速。粒子绕行一周电场对其所做的总功为零，能量不会增加。
例9、（2001年北京海淀区高考模拟题）目前世界上正在研究的一种新型发电机叫做磁流体发电机。这种发电机与一般发电机不同，它可以直接把内能转化为电能，它的发电原理是：将一束等离子体（即高温下电离的气体，含有大量带正电和带负电的微粒，而整体来说呈中性）喷射入磁场，磁场中A、B两平行金属板上会聚集电荷，产生电压。设AB两平行板的面积为S，彼此相距L，等离子体气体的导电率为P（即电阻率ρ的倒数）喷入速度为V，板间磁感应强度B与气流方向垂直，与板相连的电阻的阻值为R。问流过R的电流I为多少？
A板
B板
R
解析：电源电动势为外电路断开时电源两极间的电势差，当等离子体匀速通过AB板时，AB两板间的电势差达到最大

例10、（2001年全国理科综合考题）电磁流量计广泛应用于测量可导电流体（如污水）在管中流量（单位时间内通过管内横截面的流体的体积）。为了简化，假设流量计是如图所示的横截面长长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a、b、c。流量计的两端与输送流体的管道相连（图中虚线）图中流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料。现于流量计所在处加磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面，当导电流体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表分别与一串接了电阻R的电流表的两端连接。I表示测得的是流值。已知液体的电阻率为ρ，不计电流表的内阻，则可求得流量为
b
c
a
A、I（bR+ρC/a）/B B、I（aR+ρb/c）/B
C、I（cR+ρa/b）/B D、I（R+ρbc/a）/B
电磁流量计是一根管道内部没有任何阻碍流体流动的仪器，所以可以用来测量度粘度强腐蚀性流体的流量，它还具有测量范围宽、反应快、易与其它自动控制配套等优点。当导电液流动时，流体中定向移动离子受洛仑兹力作用，在上下金属板上就聚集电荷，产生电场。当导电液体匀速运动时，有洛仑兹力等于电场力。
该电源电动势ε=VBc 根据电阻定律r=ρc/ab 由全电路欧姆定律I=ε/（R+r）解得：
V=I（R+ρc/ab）/Bc 故流量Q=SV=（答案A）

例11、（2000年全国理科综合考题）如图所示，厚度为h，宽度为d的导体放在垂直于它的磁感应强度为B的均匀磁场中。当电流通过导体板时，在导体板的上侧面A和下侧面A1之间会产生电势差。这种现象称为霍尔效应。实验表明，当磁场不太强时，电势差U、电流I和磁感应强度B的关系为U=KIB/d，式中的比例系数K称为霍尔系数。霍尔效应可解释如下：
外部磁场的洛仑兹力使运动的电子聚集在导体板的一侧，在导体板的另一侧会出现多余的正电荷，从而形成横向电场对电子施加与洛仑兹力相反的静电力。当静电力与洛仑兹力达到平衡时，导体板上下两侧面之间会形成稳定的电势差。设电流I是由电子的定向流动形成的，电子的平均定向速度为V，电量为e，回答下列问题：
（1）达到稳定状态时，导体板上侧A的电势（ 低于 ）下侧面A1的电势；（填“高于”“低于”或“等于”）
（2）电了所受的洛仑兹力的大小为（ ）；
（3）当导体板上下两侧面之间的电势差为U时，电子所受静电力的大小为（ ）；
B
A1
d
h
I
A
（4）由静电力和洛仑兹力平衡，证明：霍尔系数为K=1/ne，其中n代表导体板的单位体积内的电子的个数。
解答略