云南省昆明市实验中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．抛物线经过点与，若，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点离墙1米，离地面3米，则水流下落点离墙的距离是( )

A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米
3．如图，把长40，宽30的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950，则的值是（ ）

A．3 B．4 C．4.8 D．5
4．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为(　　)

A．(2，2)，(3，2) B．(2，4)，(3，1)
C．(2，2)，(3，1) D．(3，1)，(2，2)
5．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=1．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B． C． D．
6．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x，则可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知关于x的方程x2+ax﹣6＝0的一个根是2，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．校园内有一个由两个全等的六边形（边长为）围成的花坛，现将这个花坛在原有的基础上扩建成如图所示的一个菱形区域，并在新扩建的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD＝60°，CD＝2，则阴影部分的面积为（　　）

A． B．π C．2π D．4π
10．如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ ）

A．﹣4+4 B．4+4 C．8﹣4 D．+1
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在平面直角坐标系中，直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m ）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t=_____秒时，⊙P与坐标轴相切.

12．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为2.4km，则两点间的距离为______km.

13．如图，AB为⊙O的直径，C，D 是⊙O上两点，若∠ABC=50°，则∠D的度数为______．

14．已知：在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点P是BC上的一点，若∠APD=90°，则AP=_____．
15．在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中为常数，令，则的值为_________．（用含的代数式表示）

16．抛物线向右平移个单位，向上平移1个单位长度得到的抛物线解析式是_____
17．如图，，请补充—个条件：___________，使（只写一个答案即可）．

18．如图，是由10个小正三角形构造成的网格图（每个小正三角形的边长均为1），则sin（α+β）＝__．

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O的直径．

20．（6分）如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，
（1）求B到C的距离；
（2）如果在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由（≈1.732）．

21．（6分）用适当的方法解下列方程：
(1)4x2－1＝0；　　　　　　　　 (2)3x2＋x－5＝0；
22．（8分）小明和小亮两人一起玩投掷一个普通正方体骰子的游戏．
（1）说出游戏中必然事件，不可能事件和随机事件各一个；
（2）如果两个骰子上的点数之积为奇数，小明胜，否则小亮胜，你认为这个游戏公平吗？如果不公平，谁获胜的可能性较大？请说明理由．请你为他们设计一个公平的游戏规则．
23．（8分）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．
（1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是　 　
（2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率．

24．（8分）如图示，是的直径，点是半圆上的一动点（不与，重合），弦平分，过点作交射线于点.

（1）求证：与相切：
（2）若，，求长；
（3）若，长记为，长记为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值.
25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+(m-1)x+4m的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）．

（1）求m的值及点A的坐标；
（2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B、BE′．
①当点E′落在该二次函数的图象上时，求AA′的长；
②设AA′=n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；
③当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，抛物线的对称轴x＝1，与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式及A、B点的坐标．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形；若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大；求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】将点A、B的坐标代入解析式得到y1与y2，再根据，即可得到答案.
【详解】将点A、B的坐标分别代入，得
，
，
∵，
∴，
得：b，
∴b的最小值为-4，
故选：D.
【点睛】
此题考查二次函数点与解析式的关系，解不等式求取值，正确理解题意是解题的关键.
2、B
【分析】由题意可以知道M（1，2），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．
【详解】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+2，
把A（0，2.25）代入，得
2.25=a+2，
a=-0.1．
∴抛物线的解析式为：y=-0.1（x-1）2+2．
当y=0时，
0=-0.1（x-1）2+2，
解得：x1=-1（舍去），x2=2．
OB=2米．
故选：B．
【点睛】
本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题，解答本题是求出抛物线的解析式．
3、D
【分析】观察图形可知阴影部分小长方形的长为，再根据去除阴影部分的面积为950，列一元二次方程求解即可．
【详解】解：由图可得出，

整理，得，
解得，（不合题意，舍去）．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．
4、C
【解析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以得出即可．
【详解】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．
故选C．
【点睛】
本题考查位似变换；坐标与图形性质，数形结合思想解题是本题的解题关键．
5、C
【解析】试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选C．
点睛：相似三角形的判定：两组角对应相等，两个三角形相似.
两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似.
三组边对应成比例，两个三角形相似.
6、D
【分析】根据题意分别用含x式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．
【详解】解：设增长率为x，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2，
根据题意可列方程为．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式．
7、C
【解析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．利用方程解的定义将x＝2代入方程式即可求解．
【详解】解：将x＝2代入x2+ax﹣6＝2，得22+2a﹣6＝2．
解得a＝2．
故选C．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．
8、C
【分析】根据题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG=GM=3.5m，同理可证出AF=EF=3.5m，再根据AB=BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长．
【详解】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，
∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，
∴∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BG=GM=3.5（m），
同理可证：AF=EF=3.5（m）
∴AB=BG+GF+AF=3.5×3=10.5（m），
∴扩建后菱形区域的周长为10.5×4=42（m），

故选：C．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，用到的知识点是等边三角形的判定与性质、菱形的性质和正六边形的性质，关键是根据题意作出辅助线，找出等边三角形．
9、A
【解析】试题解析：连接OD.

∵CD⊥AB，

故，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又

∴OC=2，
∴S扇形OBD 即阴影部分的面积为
故选A.
点睛：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
10、A
【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，∠ACD=15°，AD=CD=2，
则S△ACD=AD•CD=×2×2=2；
AC=AD=2，
则EC=2﹣2，
∵△MEC是等腰直角三角形，
∴S△MEC=ME•EC=（2﹣2）2=6﹣1，
∴阴影部分的面积=S△ACD﹣S△MEC=2﹣（6﹣1）=1﹣1．
故选A．
考点：正方形的性质．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1，3，5
【分析】设⊙P与坐标轴的切点为D， 根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B、C的坐标，即可求出AB、AC的长，可得△OBC是等腰直角三角形，分⊙P只与x轴相切、与x轴、y轴同时相切、只与y轴相切三种情况，根据切线的性质和等腰直角三角形的性质分别求出AP的长，即可得答案.
【详解】设⊙P与坐标轴的切点为D，
∵直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点B、C，点A坐标为（4，m），
∴x=0时，y=-2，y=0时，x=2，x=4时，y=2，
∴A（4，2），B（2，0），C（0，-2），
∴AB=2，AC=4，OB=OC=2，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC=45°，
①如图，当⊙P只与x轴相切时，
∵点D为切点，⊙P的半径为1，
∴PD⊥x轴，PD=1，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD=PD=1，
∴BP=，
∴AP=AB-BP=，
∵点P的速度为个单位长度，
∴t=1，

②如图，⊙P与x轴、y轴同时相切时，
同①得PB=，
∴AP=AB+PB=3，
∵点P的速度为个单位长度，
∴t=3.

③如图，⊙P只与y轴相切时，
同①得PB=，
∴AP=AC+PB=5，
∵点P的速度为个单位长度，
∴t=5.

综上所述：t的值为1、3、5时，⊙P与坐标轴相切，
故答案为：1，3，5
【点睛】
本题考查切线的性质及一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上的点的坐标都适合该一次函数的解析式；圆的切线垂直于过切点的直径；熟练掌握切线的性质是解题关键.
12、1.1
【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC= AB=1.1km．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，
∴MC=AB=AM=1.1(km).   
故答案为：1.1．
【点睛】
此题考查直角三角形的性质，解题关键点是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键.
13、40°．
【解析】根据直径所对的圆心角是直角，然后根据直角三角形的两锐角互余求得∠A的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠ABC=90°-50°=40°．
∴∠D=∠A=40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，理解定理是关键．
14、2或4
【解析】设BP的长为x，则CP的长为(10-x)，分别在Rt△ABP和Rt△DCP中利用勾股定理用x表示出AP2和DP2，然后在Rt△ADP中利用勾股定理得出关于x的一元二次方程，解出x的值，即可得出AP的长．
【详解】解：如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，DC=AB=4，
设BP的长为x，则CP的长为(10-x)，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
AP2=AB2+BP2=42+x2，
在Rt△DCP中，由勾股定理得：
DP2=DC2+CP2=42+(10-x)2，
又∵∠APD=90°，
在Rt△APD中，AD2=AP2+DP2，
∴42+x2+42+(10-x)2=102，
整理得：x2-10x+16=0，
解得：x1=2，x2=8，
当BP=2时，AP==；
当BP=8时，AP==．
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质和勾股定理及一元二次方程，学会利用方程的思想求线段的长是关键．
15、
【分析】根据题意由二次函数的性质、反比例函数的性质可以用含m的代数式表示出W的值，本题得以解决．
【详解】解：∵两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，
∴其中有两个点一定在二次函数图象上，且这两个点的横坐标互为相反数，第三个点一定在反比例函数图象上，
假设点A和点B在二次函数图象上，则点C一定在反比例函数图象上，
∴m=，得x3=，
∴=x1+x2+x3=0+x3=；
故答案为：.
【点睛】
本题考查反比例函数的图象和图象上点的坐标特征、二次函数的图象和图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数和二次函数的性质解答．
16、
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【详解】解：将抛物线向右平移个单位，向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式是将抛物线，
故答案为：．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
17、∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE（填一个即可）．
【分析】根据相似三角形的判定方法，已知一组角相等则再添加一组相等的角或夹该角的两个边对应成比例即可推出两三角形相似．
【详解】∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC，
∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时两三角形相似．
故答案为：∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE(填一个即可)．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．
18、．
【分析】连接BC,构造直角三角形ABC,由正三角形及菱形的对角线平分对角的性质, 得出∠BCD=α=30°,∠ABC=90°,从而α+β=∠ACB,分别求出△ABC的边长，
【详解】如图,连接BC,

∵上图是由10个小正三角形构造成的网格图,
∴任意相邻两个小正三角形都组成一个菱形,
∴∠BCD＝α＝30°,∠ABC＝90°,
∴α+β＝∠ACB,
∵每个小正三角形的边长均为1,
∴AB＝2,
在Rt△DBC中,
,
∴BC＝,
∴在Rt△ABC中,
AC＝,
∴sin（α+β）＝sin∠ACB＝,
故答案为: ．
【点睛】
本题考查了构造直角三角形求三角函数值,解决本题的关键是要正确作出辅助线,明确正弦函数的定义.

三、解答题(共66分)
19、1
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=60°，根据等边三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接OB，OC，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=BC=4，
∴⊙O的直径=1．

【点睛】
本题考查三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，解题关键是正确的作出辅助线．
20、（1）12海里；（2）该货船无触礁危险，理由见解析
【分析】（1）证出∠BAC＝∠ACB，得出BC＝AB＝24×＝12即可；
（2）过点C作CD⊥AD于点D，分别在Rt△CBD、Rt△CAD中解直角三角形，可先求得BD的长，然后得出CD的长，从而再将CD与9比较，若大于9则无危险，否则有危险．
【详解】解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣10°＝30°，∠MBC＝90°﹣30°＝10°，
∵∠MBC＝∠BAC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠MBC﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴BC＝AB＝24×＝12（海里）；
（2）该货船无触礁危险，理由如下：
过点C作CD⊥AD于点D，如图所示：
∵∠EAC＝10°，∠FBC＝30°，
∴∠CAB＝30°，∠CBD＝10°．
∴在Rt△CBD中，CD＝BD，BC=2BD,
由（1）知BC=AB,∴AB=2BD.
在Rt△CAD中，AD＝CD＝3BD＝AB+BD＝12+BD，
∴BD＝1．
∴CD＝1．
∵1＞9，
∴货船继续向正东方向行驶无触礁危险．

【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21、（1）；（2）
【分析】（1）把方程化为：再利用直接开平方法求解即可得到答案；
（2）由再计算 利用公式法求解即可得到答案．
【详解】解：（1）

（2）

b2－4ac＝61＞，

【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法，公式法解一元二次方程是解题的关键．
22、（1）详见解析；（2）不公平，规则详见解析．
【分析】（1）根据题意说出即可；
（2）游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，算出该情况下两人获胜的概率．
【详解】（1）必然事件是两次投出的朝上的数字之和大于1；不可能事件是两次投出的朝上的数字之和为13；随机事件是两次投出的朝上的数字之和为5；
（2）不公平．所得积是奇数的概率为×＝，故小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
小亮获胜的可能性较大．
将“点数之积”改为“点数之和”．
【点睛】
考查了判断的游戏公平性．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．概率=所求情况数与总情况数之比．
23、（1）；（2）棋子最终跳动到点C处的概率为．
【解析】（1）和为8时，可以到达点C，根据概率公式计算即可；
（2）列表得到所有的情况数，然后再找到符合条件的情况数，利用概率公式进行求解即可.
【详解】随机掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是 6、7、8、9.
（1）随机掷一次骰子，满足棋子跳动到点 C 处的数字是 8，则棋子跳动到点C处的概率是，
故答案为；
（2）列表得：

9
8
7
6
9
9，9
8，9
7，9
6，9
8
9，8
8，8
7，8
6，8
7
9，7
8，7
7，7
6，7
6
9，6
8，6
7，6
6，6
共有16种可能，和为14可以到达点C，有3种情形，
所以棋子最终跳动到点C处的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图，概率公式等知识，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
24、（1）详见解析；（2）4；（3）
【分析】（1）首先连接，通过半径和角平分线的性质进行等角转换，得出，进而得出，即可得证；
（2）首先连接，得出，进而得出，再根据勾股定理得出DE；
（3）首先连接，过点作，得出，再得，进而得出，然后构建二次函数，即可得出其最大值.
【详解】（1）证明：连接
∵
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵
∴
又∵是的半径
∴与相切

（2）解：连接
∵AB为直径
∴∠ADB=90°
∵
∴
∴
∴
∴中

（3）连接，过点作于
∵，DE⊥AE，AD=AD
∴
∴，DE=DG
∴
∴
∴
即：
∴
∴
根据二次函数知识可知：当时，

【点睛】
此题主要考查直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质与二次函数的综合应用，熟练掌握，即可解题.
25、（2）m="2,A(-2,0);" (2)①,②点E′的坐标是（2，2）,③点E′的坐标是（，2）．
【分析】试题分析：(2)将点代入解析式即可求出m的值，这样写出函数解析式，求出A点坐标；
（2）①将E点的坐标代入二次函数解析式，即可求出AA′；②连接EE′，构造直角三角形，利用勾股定理即可求出A′B2+BE′2 当n=2时，其最小时，即可求出E′的坐标；③过点A作AB′⊥x轴，并使AB′ =" BE" = 2．易证△AB′A′≌△EBE′，当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B + B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，由相似就可求出E′的坐标
试题解析：
解：（2）由题意可知4m=4，m=2．
∴二次函数的解析式为．
∴点A的坐标为（-2,0）．
（2）①∵点E（0,2），由题意可知，
．
解得．
∴AA′=．
②如图，连接EE′．

由题设知AA′=n（0＜n＜2），则A′O=2-n．
在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，
得A′B2=(2–n)2+42=n2-4n+3．
∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，
∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．
∴∠BEE′=90°，EE′=n．
又BE=OB-OE=2.
∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=n2+9，
∴A′B2+BE′2=2n2-4n+29=2(n–2)2+4．
当n=2时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时点E′的坐标是（2，2）．
③如图，过点A作AB′⊥x轴，并使AB′=BE=2．
易证△AB′A′≌△EBE′，
∴B′A′=BE′，
∴A′B+BE′=A′B+B′A′．
当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．
易证△AB′A′∽△OBA′，
∴，
∴AA′=
∴EE′=AA′=，
∴点E′的坐标是（，2）．
考点：2.二次函数综合题；2.平移.
【详解】
26、（1）y＝x2﹣2x﹣3，点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；（2）存在，点P（1+，﹣）；（3）故S有最大值为，此时点P（，﹣）．
【分析】（1）根据题意得到函数的对称轴为：x＝﹣＝1，解出b＝﹣2，即可求解；
（2）四边形POP′C为菱形，则yP＝﹣OC＝﹣，即可求解；
（3）过点P作PH∥y轴交BC于点P，由点B、C的坐标得到直线BC的表达式，设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点H（x，x﹣3），再根据ABPC的面积S＝S△ABC+S△BCP即可求解．
【详解】（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+c，
再将点C（0，﹣3）代入得到c=-3，
,∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x＝﹣1或3，
故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；
（2）存在，理由：
如图1，四边形POP′C为菱形，则yP＝﹣OC＝﹣，

即y＝x2﹣2x﹣3＝﹣，
解得：x＝1（舍去负值），
故点P（1+，﹣）；
（3）过点P作PH∥y轴交BC于点P，
由点B、C的坐标得到直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点H（x，x﹣3），

ABPC的面积S＝S△ABC+S△BCP
＝×AB×OC+×PH×OB
＝×4×3+×3×（x﹣3﹣x2+2x+3）
＝﹣x2+x+6，
=
∵-＜0，
∴当x=时，S有最大值为，此时点P（，﹣）．
【点睛】
此题是一道二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，图象与坐标轴的交点，翻折的性质，菱形的性质，利用函数解析式确定最大值，（3）是此题的难点，利用分割法求四边形的面积是解题的关键.