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微分方程数值解

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时间：2014、

引言：

微分方程是数学科学联系实际问题的主要桥梁之一，它是含有未知函数及其导数的方程。常微分方程的求解是现代科学研究和工程技术中经常遇到的实际问题，然而，从实际问趣中建立出来的微分方程往往具有非常复杂的形式，有些解析式难以计算，有些则根本不能用解析式来表达，所以利用数值解法求解实际问题就显得非常重要。

基础介绍：
混沌现象指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。或者说混沌系统对无限小的初值变动和微扰也具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多维线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。混沌现象是自然界中的普遍现象，天气变化就是一个典型的混沌运动。混沌现象的一个著名表述就是蝴蝶效应：南美洲一只蝴蝶扇一扇翅膀，就会在佛罗里达引起一场飓风。
混沌系统具有三个关键要素：一是对初始条件的敏感依赖性；二是临界水平，这里是非线性事件的发生点；三是分形维，它表明有序和无序的统一。混沌系统经常是自反馈系统，出来的东西会回去经过变换再出来，循环往复，没完没了，任何初始值的微小差别都会按指数放大，因此导致系统内在地不可长期预测。 ------------（以上参考百度百科定义）

实验目的：

1． 掌握用MATLAB求微分方程初值问题数值解的方法；
2．  通过实例学习微分方程模型解决简化的实际问题。

实验内容

超混沌Lorenz 系统的设计:

Lorenz 方程是一个微型大气模型的简化形式，是麻省理工学院的气象学家E.Lorenz 设计的这个模型来研究RayleihBenard 对流，这是热在流体（例如空气）中从较低的热介质（例如地面）到较高的冷介质（例如上面的大气层）的运动。在这个二维大气模型中形成了空气循环，Lorenz 系统可表示为如下方程:

变量x 表示顺时针循环的速度，y 表示上升和下降空气柱之间的温度差，而z 度量了来自垂直方向的严格线性温度剖面的偏差.Prandtl 数s、Reynolds 数r 及b 时方程组的参数. 在大多数情况下，取参数为：a=10，b=28，c=8/3应用微分方程数值解法的龙格库塔算法通过计算机模拟仿真结果如图1 所示。

算法程序代码如下：
global a b c
a=10;b=8/3;c=28;%定义参数 lorenz=@(t,x)[ x(3)+x(1)*(x(2)-10);1-8/3*x(2)-x(1)*x(1);-x(1)-28*x(3))];%定义函数
[T,X]=ode45(lorenz,[0,30],[12;4;0]);%数值法解微分方程
hold on
plot3(X(:,1),X(:,2),X(:,3))%绘图
view(-20,60);%设置视角
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');%标记坐标轴
hold off

对应在各个平面上的投影如图2、图3、图4所示：

图2

图3

图4
实验结论:
基于Lorenz 系统提出了新的四维超混沌Lorenz 系统, 给出可令超混沌Lorenz系统分别处于收敛、发散、周期、混沌及超混沌状态的参数的取值范围. 通过分岔图,验证了超混沌Lorenz 系统的运动规律. 本文中的理论及分析方法具有普适性, 对于其他低维混沌系统产生超混沌运动具有一定启示意义.