北京市北京理工大附中2022年九年级数学第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图,丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当他向前再步行20 m到达Q点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部,已知丁轩同学的身高是1.5 m,两个路灯的高度都是9 m,则两路灯之间的距离是(　　)

A．24 m B．25 m C．28 m D．30 m
2．sin65°与cos26°之间的关系为（ ）
A．sin65°＜cos26° B．sin65°＞cos26°
C．sin65°=cos26° D．sin65°+cos26°=1
3．在一块半径为的圆形钢板中裁出一个最大的等边三角形，此等边三角形的边长（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ）

A．x＞2 或x＜－3 B．－3＜x＜2
C．x＞2或x＜－4 D．－4＜x＜2
5．如图,在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°,点D在线段AC上,∠BDC=60°,AD=1,则BD等于( )

A． B．+1 C．-1 D．
6．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）
A．65 B．65 C．2 D．
7．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　）

A．2 B．5 C．7 D．9
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(-2.2，y1)，B(-3.2，y2)是图象上的两点，则y1与y2的大小关系是(　　)．

A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定
9．如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是( )

A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC
10．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝8，DB＝4，AE＝6，则EC的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为_____．
12．如图，在圆中，是弦，点是劣弧的中点，联结，平分，联结、，那么__________度．

13．如图，的半径弦于点，连结并延长交于点，连结.若，，则的长为_______．

14．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为米，旗杆的影长为米，若小青的身高为米，则旗杆的高度为__________米.

15．若为一锐角，且，则 ．
16．一个三角形的三边之比为，与它相似的三角形的周长为，则与它相似的三角形的最长边为____________.
17．关于x的方程2x2－ax＋1＝0一个根是1，则它的另一个根为________．
18．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）某公司研发了一种新产品，成本是200元/件，为了对新产品进行合理定价，公司将该产品按拟定的价格进行销售，调查发现日销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系y＝﹣2x+800（200＜x＜400）．
（1）要使新产品日销售利润达到15000元，则新产品的单价应定为多少元？
（2）为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？
20．（6分）如图，是半径为的上的定点，动点从出发，以的速度沿圆周逆时针运动，当点回到地立即停止运动．

（1）如果，求点运动的时间；
（2）如果点是延长线上的一点，，那么当点运动的时间为时，判断直线与的位置关系，并说明理由．
21．（6分）如图，在中，，，圆是的外接圆.
（1）求圆的半径；
（2）若在同一平面内的圆也经过、两点，且，请直接写出圆的半径的长.

22．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝4（2x﹣1）．
23．（8分）如图，四边形内接于⊙，是⊙的直径，，垂足为，平分．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）,，求的长．

24．（8分）根据广州市垃圾分类标准，将垃圾分为“厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾”四类．小明将分好类的两袋垃圾准确地投递到小区的分类垃圾桶里．请用列举法求小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的概率．
25．（10分）如图，在阳光下的电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，同一时刻，竖起一根1米高的竹竿MN，其影长MF为1.5米，求电线杆的高度．

26．（10分）已知，为⊙的直径，过点的弦∥半径，若．求的度数．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【解析】由题意可得:EP∥BD,所以△AEP∽△ADB,所以,因为EP=1.5,BD=9,所以,解得:AP=5,因为AP=BQ,PQ=20,所以AB=AP+BQ+PQ=5+5+20=30,故选D.
点睛:本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用,应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度,解题时关键是找出相似三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.
2、B
【分析】首先要将它们转换为同一种锐角三角函数，再根据函数的增减性进行分析．
【详解】∵cos26°=sin64°，正弦值随着角的增大而增大，
∴sin65°＞cos26°．
故选：B．
【点睛】
掌握正余弦的转换方法，了解锐角三角函数的增减性是解答本题的关键．
3、D
【分析】画出图形，作于点，利用垂径定理和等边三角形的性质求出AC的长即可得出AB的长.
【详解】解：依题意得，
连接，，作于点，
∵，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．

【点睛】
本题考查了圆的内接多边形，和垂径定理的使用，弄清题意准确计算是关键.
4、C
【分析】先根据对称轴和抛物线与x轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合图形，求出y<0时，x的取值范围．
【详解】解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x= -1，
根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（-1，0），
因为抛物线开口向下，y<0时，图象在x轴的下方，
此时，x＞2或x＜－1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是利用二次函数的对称性，判断图象与x轴的交点，根据开口方向，形数结合，得出结论．
5、B
【分析】设BC=x，根据锐角三角函数分别用x表示出AC和CD，然后利用AC－CD=AD列方程即可求出BC，再根据锐角三角函数即可求出BD.
【详解】解：设BC=x
∵在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°,
∴AC=BC=x
在Rt△BCD中，CD=
∵AC－CD=AD，AD=1
∴
解得：
即BC=
在Rt△BCD中，BD=
故选：B.
【点睛】
此题考查的是解直角三角形的应用，掌握用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.
6、C
【分析】由样本平均值的计算公式列出关于a的方程，解出a，再利用样本方差的计算公式求解即可．
【详解】由题意知
（a+0+1+2+3）÷5=1，解得a=-1，
∴样本方差为
故选：C．
【点睛】
本题考查样本的平均数、方差求法，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答本题的关键
7、B
【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为1．3，最小值是2．3，可解答．
【详解】解：连接DN，
∵ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝DN，
∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝＝＝13，
∴EF的最大值为1．3．
∵∠A＝90，AD＝3，
∴DN≥3，
∴EF≥2．3，
∴EF长度的可能为3；
故选：B．

【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
8、A
【分析】根据抛物线的对称性质进行解答．
【详解】因为抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝−3，点 A(-2.2，y1)，B(-3.2，y2)，
所以点B与对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，
所以y1＜y2
故选：A．
【点睛】
考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．解题时，利用了二次函数图象的对称性．
9、C
【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可.
【详解】解：弧AE所对的圆周角是：∠ABE或∠ACE
故选：C
【点睛】
本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键.
10、C
【分析】根据平行线所截的直线形成的线段的比例关系,可得,代数解答即可.
【详解】解:由题意得,
,
,
解得.
【点睛】
本题考查了平行线截取直线所得的对应线段的比例关系,理解掌握该比例关系列出比例式是解答关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、0<m＜
【解析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【详解】把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，
﹣5=12k，
∴k=﹣；
由y=﹣x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示）
当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，
∴A（m，0），B（0，m），
即OA=m，OB=m，
在Rt△OAB中，AB=，
过点O作OD⊥AB于D，
∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，
∴OD•=×m×m，
∵m＞0，解得OD=m，
由直线与圆的位置关系可知m ＜6，解得m＜，
故答案为0<m＜.

【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了.
12、120
【分析】连接AC，证明△AOC是等边三角形，得出的度数．
【详解】连接AC
∵点C是 的中点
∴
∵ ，
∴AB平分OC
∴AB是线段OC的垂直平分线
∴
∵
∴
∴△AOC是等边三角形
∴
∴
∴
故答案为 ．

【点睛】
本题考查了等边三角形的判定定理，从而得出目标角的度数．
13、
【分析】如下图，连接EB.根据垂径定理，设半径为r，在Rt△AOC中，可求得r的长；△AEB∽△AOC，可得到EB的长，在Rt△ECB中，利用勾股定理得EC的长
【详解】如下图，连接EB

∵OD⊥AB，AB=8，∴AC=4
设的半径为r
∵CD=2，∴OC=r-2
在Rt△ACO中，，即
解得：r=5，∴OC=3
∵AE是的直径，∴∠EBA=90°
∴△OAC∽△EAB
∴，∴EB=6
在Rt△CEB中，，即
解得：CE=
故答案为：
【点睛】
本题考查垂径定理、相似和勾股定理，需要强调，垂径定理中五个条件“知二推三”，本题知道垂直和过圆心这两个条件
14、1
【分析】易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．
【详解】解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，

∴∠CED=∠OAB=90°，
∵CD∥OE，
∴∠CDA=∠OBA，
∴△AOB∽△ECD，
∴，
解得OA=1．
故答案为1．
15、30°
【详解】试题分析：∵，
∴.
∵为一锐角，∴.
考点：特殊角的三角函数值.
16、18cm．
【分析】由一个三角形的三边之比为3：6：4，可得与它相似的三角形的三边之比为3：6：4，又由与它相似的三角形的周长为39cm，即可求得答案．
【详解】解：∵一个三角形的三边之比为3：6：4，
∴与它相似的三角形的三边之比为3：6：4，
∵与它相似的三角形的周长为39cm，
∴与它相似的三角形的最长边为：39×=18（cm）．
故答案为：18cm．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意相似三角形的对应边成比例．
17、．
【详解】试题分析：设方程的另一个根为m，根据根与系数的关系得到1•m=，解得m=．
考点：根与系数的关系．
18、-1
【详解】解：如果一点为线段的黄金分割点，那么被分割的较短的边比较大的边等于较大的边比上这一线段的长=≈0.618.
∵AB=2，AP﹥BP,
∴AP:AB=×2=-1.
故答案是：-1

三、解答题(共66分)
19、（1）要使新产品日销售利润达到15000元，则新产品的单价应定为250元或350元；（2）为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为300元．
【分析】（1）根据“总利润=每件的利润×销量”列出一元二次方程即可求出结论；
（2）设公司日销售获得的利润为w元，根据“总利润=每件的利润×销量”即可求出w与x的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可．
【详解】（1）根据题意得，（﹣2x+800）（x﹣200）＝15000，
解得：x1＝250，x2＝350，
答要使新产品日销售利润达到15000元，则新产品的单价应定为250元或350元；
（2）设公司日销售获得的利润为w元，
根据题意得，w＝y（x﹣200）＝（﹣2x+800）（x﹣200）＝﹣2x2+1200x﹣160000＝﹣2（x﹣300）2+20000，
∵﹣2＜0，
∴当x＝300时，获得最大利润为20000元，
答：为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为300元．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键．
20、（1）或（2）直线与相切，理由见解析
【分析】（1）当∠POA=90°时，点P运动的路程为⊙O周长的或，所以分两种情况进行分析；
（2）直线BP与⊙O的位置关系是相切，根据已知可证得OP⊥BP，即直线BP与⊙O相切．
【详解】解：（1）当∠POA=90°时，根据弧长公式可知点P运动的路程为⊙O周长的或，设点P运动的时间为ts；
当点P运动的路程为⊙O周长的时，2π•t=•2π•12，
解得t=3；
当点P运动的路程为⊙O周长的时，2π•t=•2π•12，
解得t=9；
∴当∠POA=90°时，点P运动的时间为3s或9s．
（2）如图，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切
理由如下：
当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm，
连接OP，PA；
∵半径AO=12cm，
∴⊙O的周长为24πcm，
∴的长为⊙O周长的，
∴∠POA=60°；
∵OP=OA，
∴△OAP是等边三角形，
∴OP=OA=AP，∠OAP=60°；
∵AB=OA，
∴AP=AB，
∵∠OAP=∠APB+∠B，
∴∠APB=∠B=30°，
∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，
∴OP⊥BP，
∴直线BP与⊙O相切．

【点睛】
本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
21、（1）；（2）或
【分析】（1）过点作，垂足为，连接，根据垂直平分线的性质可得在上，根据垂径定理即可求出BD，再根据勾股定理即可求出AD，设，根据勾股定理列出方程即可求出半径；
（2）根据垂直平分线的判定可得点P在BC的中垂线上，即点P在直线AD上，然后根据点A和点P的相对位置分类讨论，然后根据勾股定理分别求出半径即可．
【详解】（1）过点作，垂足为，连接

∵，
∴垂直平分
∵
∴点在的垂直平分线上，即在上．
∵
∴
∵在中，，
∴
设，则
∵在中，，
∴，即
解得，即圆的半径为．
（2）∵圆也经过、两点，
∴PA=PB
∴点P在BC的中垂线上，即点P在直线AD上
①当点P在A下方时，此时AP=2，如下图所示，连接PB

∴PD=AD－AP=4
根据勾股定理PB=；
②当点P在A上方时，此时AP=2，如下图所示，连接PB

∴PD=AD+AP=8
根据勾股定理PB=．
综上所述：圆的半径的长为或．
【点睛】
此题考查的是垂直平分线的判定及性质、勾股定理和垂径定理，掌握垂直平分线的判定及性质、勾股定理和垂径定理的结合、数形结合的数学思想和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
22、（1）x＝2±；（2）x＝或x＝．
【分析】（1）根据配方法即可求出答案．
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【详解】解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x+1＝2，
∴（x﹣2）2＝2，
∴x＝2±．
（2）∵（2x﹣1）2＝4（2x﹣1），
∴（2x﹣1﹣4）（2x﹣1）＝0，
∴x＝或x＝.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法.
23、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OA, 根据角平分线的定义及等腰三角形的性质得出，从而有 ，再通过得出，即，则结论可证；
（2）根据 得，再利用角平分线的定义和直角三角形两锐角互余得出，然后利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理即可求出AE的长度．
【详解】（1）证明：连接 ，

平分，
．
，
，
，
，
，
,
，
，　
∴AE是⊙O的切线；
（2）是直径，
．
又，
，
．　　　
∵DA平分 ，
，
　．
在中，
，
．
在中，，
,
．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，掌握角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理，含30°的直角三角形的性质是解题的关键．
24、见解析，
【分析】首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【详解】解：分别记厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾为A、B、C、D，
画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的结果有2种，
所以小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的概率为＝．
【点睛】
本题主要考查的是利用树状图求解概率，解此题需要正确的运用树状图，所以掌握树状图是解此题的关键.
25、电线杆子的高为4米．
【分析】作CG⊥AB于G，可得矩形BDCG，利用同一时刻物高与影长的比一定得到AG的长度，加上GB的长度即为电线杆AB的高度．
【详解】过C点作CG⊥AB于点G，

∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米．
∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，
∴∠NFM＝∠ACG，
∴△NMF∽△AGC，
∴，
∴AG＝＝＝2，
∴AB＝AG+GB＝2+2＝4（米），
答：电线杆子的高为4米．
【点睛】
此题考查了相似三角形的应用，构造出直角三角形进行求解是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比一定．
26、∠C=30°
【分析】根据平行线的性质求出∠AOD，根据圆周角定理解答．
【详解】解：∵OA∥DE，
∴∠AOD=∠D=60°，
由圆周角定理得，∠C= ∠AOD=30°
【点睛】
本题考查的是圆周角定理和平行线的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．