北京市教院附中2022年九年级数学第一学期期末统考试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，若A、B、C、D、E，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC与△DEF相似，则点F应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）．

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．反比例函数y=在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1
4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝4，AB＝6，BC＝12，则DE等于（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
5．已知点P(x，y)在第二象限，|x|＝6，|y|＝8，则点P关于原点的对称点的坐标为（ ）
A．(6，8) B．(﹣6，8) C．(﹣6，﹣8) D．(6，﹣8)
6．已知关于的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则的值是（ ）
A．0 B． C．0或 D．或0
7．已知反比例函数，则下列结论正确的是（ ）
A．点(1，2)在它的图象上
B．其图象分别位于第一、三象限
C．随的增大而减小
D．如果点在它的图象上，则点也在它的图象上
8．将以点为位似中心放大为原来的2倍，得到，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则t

anC的值是（　　）

A．2 B． C．1 D．
10．在中，，，，则直角边的长是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）

A．30° B．45° C．60° D．67.5°
12．已知2x=3y，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如果一元二次方程 经过配方后，得 ，那么a=________.
14．如图，港口A在观测站 O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达 B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为 _____km.

15．小莉身高，在阳光下的影子长为，在同一时刻站在阳光下，小林的影长比小莉长，则小林的身高为_________．
16．已知二次函数y=2（x-h）2的图象上，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是 ______ ．
17．连接三角形各边中点所得的三角形面积与原三角形面积之比为： ．
18．如图所示：点A是反比例函数，图像上的点，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，，则k=______.

三、解答题（共78分）
19．（8分）如图所示，要在底边BC=160cm，高AD=120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HG于点M.
(1)设矩形EFGH的长HG=ycm，宽HE=xcm.求y与x的函数关系式；
(2)当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大?最大值是多少?

20．（8分）已知抛物线y=2x2-12x+13
(1)当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?
(2)当x为何值时,y随x的增大而减小
(3)将该抛物线向右平移2个单位,再向上平移2个单位,请直接写出新抛物线的表达式
21．（8分）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　；（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）＝　 　；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？
22．（10分）如图，点D、O在△ABC的边AC上，以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，连结DE、OB，且DE∥OB．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）设OB与⊙O交于点F，连结EF，若AD＝OD，DE＝4，求弦EF的长．

23．（10分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表.
分数段
频数
频率
74.5～79.5
2
0.05
79.5～84.5
m
0.2
84.5～89.5
12
0.3
89.5～94.5
14
n
94.5～99.5
4
0.1
(1)表中m＝__________，n＝____________；
(2)请在图中补全频数直方图；
(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在_________分数段内；
(4)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率.

24．（10分）某公司销售某一种新型通讯产品，已知每件产品的进价为4万元，每月销售该种产品的总开支(不含进价)总计11万元，在销售过程中发现，月销售量(件)与销售单价(万元)之间存在着如图所示的一次函数关系
（1）求关于的函数关系式．
（2）试写出该公司销售该种产品的月获利(万元)关于销售单价(万元)的函数关系式，当销售单价为何值时，月获利最大?并求这个最大值．(月获利＝月销售额一月销售产品总进价一月总开支)

25．（12分）有三张正面分别标有数字：-1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字．
(1)请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；
(2)将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，y）落在双曲线上的概率．
26．请阅读下面材料：
问题：已知方程x1+x-3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．
解：设所求方程的根为y，y=，所以x＝1y
把x＝1y代入已知方程，得(1y)1+1y-3＝0
化简，得4y1+1y-3＝0
故所求方程为4y1+1y-3＝0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”解决下列问题：
（1）已知方程1x1-x-15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为：_________．
（1）已知方程ax1+bx+c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，求一个关于y的一元二次方程，使它的根比已知方程根的相反数的一半多1．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标是：（1，3），
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标．能根据二次函数的顶点式找出抛物线的对称轴及顶点坐标是解题的关键．
2、A
【分析】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点F对应的位置．
【详解】解：根据题意，△ABC的三边之比为
要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边之比也应为
经计算只有甲点合适，
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似．
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
3、D
【解析】∵在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，∴m＋1＜0，∴m＜－1．
4、C
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出，再代入AD＝4，AB＝6，BC＝12即可求出DE的长．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴DE＝1．
故选：C．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定及性质，平行于三角形一边的直线与三角形的两边相交，所截出的三角形与原三角形相似，故而依次得到线段成比例，得到线段的长.
5、D
【分析】根据P在第二象限可以确定x，y的符号，再根据|x|=6，|y|=8就可以得到x，y的值，得出P点的坐标，进而求出点P关于原点的对称点的坐标．
【详解】∵|x|=6，|y|=8，
∴x=±6，y=±8，
∵点P在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∴x=﹣6，y=8，
即点P的坐标是(﹣6，8)，关于原点的对称点的坐标是(6，﹣8)，
故选：D．
【点睛】
主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点和对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
6、C
【分析】首先根据一元二次方程根与系数关系得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22转换为（x1+x2）2-2x1x2，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根，
∴x1+x2=-（2m+1），x1x2=m-1，
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=3，
∴[-（2m+1）]2-2（m-1）=3，
解得：m1=0，m2=，
又∵方程x2-mx+2m-1=0有两个实数根，
∴△=（2m+1）2-4（m-1）≥0，
∴当m=0时，△=5>0，当m=时，△=6>0
∴m1=0，m2=都符合题意.
故选：C.
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式，解题关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=.
7、D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质解答即可．
【详解】解：∵
∴图象在二、四象限，y随x的增大而增大，选项A、B、C错误；
∵点在函数的图象上，
∴
∵点横纵坐标的乘积
∴则点也在函数的图象上，选项D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的的性质，掌握反比例函数图象的特征及其性质是解此题的关键．
8、C
【分析】根据位似图形都是相似图形，再直接利用相似图形的性质：面积比等于相似比的平方计算可得．
【详解】）∵将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA′B′，
∴S△OAB：S△OA′B′=1：4.
故选：C.
【点睛】
本题考查位似图形的性质，解题关键是首先掌握位似图形都是相似图形 ．
9、B
【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解．
【详解】如图：

在RtACD中，tanC．
故选B．
【点睛】
本题考查了锐角三角比的意义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．
10、B
【分析】根据余弦的定义求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB= ，
∴BC=10cos40°．
故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
11、D
【分析】利用圆的切线的性质定理、等腰三角形的性质即可得出．
【详解】解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，
在Rt△OCD中，又CD=OC，∴∠COD=45°．
∵OC=OA，∴∠OCA＝×45°=22.5°．
∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
故选：D．
【点睛】
本题考查切线的性质定理,熟练掌握圆的切线的性质定理、等腰三角形的性质是解题的关键．
12、C
【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断．
【详解】A．变成等积式是：xy=6，故错误；
B．变成等积式是：3x+3y=4y，即3x=y，故错误；
C．变成等积式是：2x=3y，故正确；
D．变成等积式是：5x+5y=3x，即2x+5y=0，故错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、-6
【解析】∵，
∴，
∴ a= -6.
14、1＋1
【分析】作AD⊥OB于点D，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分别求出AD、OD、BD的长，从而得出答案．
【详解】如图所示，过点A作AD⊥OB于点D，

由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，
则∠OAD＝60°，
∴∠DAB＝45°，
在Rt△OAD中，AD＝OAsin∠AOD＝4×sin30°＝4×＝1（km），
OD＝OAcos∠AOD＝4×cos30°＝4×＝1（km），
在Rt△ABD中，BD＝AD＝1km，
∴OB＝OD＋BD＝1＋1（km），
故答案为：1＋1．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形，并熟练运用三角函数进行求解．
15、
【分析】由同一时刻物高与影长成比例，设出小林的身高为米，列方程求解即可．
【详解】解：由同一时刻物高与影长成比例，
设小林的身高为米，则

即小林的身高为米．
故答案为：
【点睛】
本题考查的是利用相似三角形的原理：“同一时刻物高与影长成比例”，测量物体的高度，掌握原理是解题的关键．
16、h≤3
【解析】试题解析：二次函数的对称轴为：
当时,随的增大而增大，
对称轴与直线重合或者位于直线的左侧.
即：
故答案为：
点睛：本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
当时, 随的增大而增大，可知对称轴与直线重合或者位于直线的左侧.根据对称轴为,即可求出的取值范围.
17、1：1
【分析】证出DE、EF、DF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出
，证出△DEF∽△CBA，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
【详解】解：如图所示：

∵D、E、F分别AB、AC、BC的中点，
∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴DE=BC，EF=AB，DF=AC，
∴
∴△DEF∽△CBA，
∴△DEF的面积：△CBA的面积=（）2=．
故答案为1：1．
考点：三角形中位线定理．
18、
【分析】根据题意可以先设出点A的坐标，然后根据矩形的面积公式即可求解.
【详解】解：设点A的坐标为()
∵AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，
∴AB=，AC=
∴
解得
又反比例函数经过第二象限，∴.
故答案为：.
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质和数形结合的思想解答．

三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）当x=60时，S最大，最大为4800cm².
【解析】（1）根据矩形的性质可得△AHG∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得答案；（2）利用S=xy，把代入得S关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最大值即可.
【详解】解：(1)∵四辺形EFGH是矩形，
∴HG∥BC
∴ΔAHG∽ΔABC
∴，即
∴
(2)把带入S=xy，
得
=
当x=60时，S最大，最大为4800cm².
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
20、（1）当x=3时，y有最小值,最小值是-5；（2）当x＜3时，y随x的增大而减小；（3）y=2x2-20x+47.
【分析】（1）将二次函数的一般式转化为顶点式，即可求出结论；
（2）根据抛物线的开口方向和对称轴左右两侧的增减性即可得出结论；
（3）根据抛物线的平移规律：括号内左加右减，括号外上加下减，即可得出结论.
【详解】解：（1）y=2x2-12x+13=2（x2-6x）+13=2（x2-6x+9-9）+13=2（x-3）2-5
∵2＞0
∴当x=3时，y有最小值,最小值是-5；
（2）∵2＞0，对称轴为x=3
∴抛物线的开口向上
∴当x＜3时，y随x的增大而减小；
（3）∵将该抛物线向右平移2个单位,再向上平移2个单位,
∴平移后的解析式为：y=2（x-3-2）2-5+2=2（x-5）2-3
即新抛物线的表达式为y=2x2-20x+47
【点睛】
此题考查的是二次函数的图像及性质，掌握用二次函数的顶点式求最值、二次函数的增减性和二次函数的平移规律是解决此题的关键.
21、（1）0.6；（2）0.6；（3）白球有24只，黑球有16只.
【解析】试题分析：通过题意和表格，可知摸到白球的概率都接近与0.6，因此摸到白球的概率估计值为0.6.
22、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AB，根据平行线的性质得到∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，根据全等三角形的性质得到∠OCB＝∠OEB＝90°，于是得到BC是⊙O的切线；
（2）根据直角三角形的性质得到OD＝DE＝1，推出四边形DOFE是平行四边形，得到EF＝OD＝1．
【详解】（1）证明：连接OE，
∵以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
∵DE∥OB，
∴∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，
∵OE＝OD，
∴∠EDO＝∠DEO，
∴∠BOC＝∠BOE，
∵OB＝OB，OC＝OE，
∴△OCB≌△OEB（SAS），
∴∠OCB＝∠OEB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AEO＝90°，AD＝OD，
∴ED＝AO＝OD，
∴OD＝DE＝1，
∵DE∥OF，DE＝OD＝OF，
∴四边形DOFE是平行四边形，
∴EF＝OD＝1，
∴弦EF的长为1．

【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23、 (1)8，0.35；(2)见解析；(3)89.5～94.5；(4).
【分析】(1)根据频数=总数×频率可求得m的值，利用频率=频数÷总数可求得n的值；
(2)根据m的值补全直方图即可；
(3)根据中位数的概念进行求解即可求得答案；
(4)画树状图得到所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后利用概率公式进行求解即可.
【详解】(1)m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，
故答案为8，0.35；
(2)补全图形如下：

(3)由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5～94.5，
∴推测他的成绩落在分数段89.5～94.5内，
故答案为89.5～94.5；
(4)选手有4人，2名是男生，2名是女生，画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中一名男生一名女生的结果数有8种，
所以恰好是一名男生和一名女生的概率为.
【点睛】
本题考查了频数(率)分布表，频数分布直方图，中位数，列表法或树状图法求概率，正确把握相关知识是解题的关键.
24、（1）；（2）当x=10万元时，最大月获利为7万元
【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=单价利润×销售量-总开支”列出函数解析式，由二次函数的性质可得最值．
【详解】（1）设y=kx+b，
将点（6，5）、（8，4）代入，得：
，
解得：，
∴；
（2）根据题意得：
z=（x-4）y-11
=（x-4）（-x+8）-11
=-x2+10x-43
=-（x-10）2+7，
∴当x=10万元时，最大月获利为7万元．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质是解题的关键．
25、（1）所有结果：（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（1，-1）（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2）；（2）.
【分析】（1）画出树状图即可得解；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征判断出在双曲线上y=上的情况数，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【详解】（1）根据题意画出树状图如下：

结果为：（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（1，-1）（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2）；
（2）当x=-1时，y==-2，
当x=1时，y==2，
当x=2时，y==1，
一共有9种等可能的情况，点（x，y）落在双曲线上y=上的有2种情况，
所以，P=．
考点：1.列表法与树状图法；2.反比例函数图象上点的坐标特征．
26、（1）1y1+y-15＝0；（1）．
【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y，然后把x=-y代入已知方程整理后即可得到结果；
（1）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），于是x=4-1y（y≠0），代入方程ax1+bx+c=0整理即可得．
【详解】解：（1）设所求方程的根为y，则y=-x，
所以x=-y，
把x=-y代入1x1-x-15＝0，
整理得，1y1+y-15＝0，
故答案为：1y1+y-15＝0；
（1）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），
所以，x=4-1y（y≠0），
把x=4-1y代入方程ax1+bx+c=0，
整理得：．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．