2022-2023学年山东省岱岳区马庄中学九年级数学第一学期期末达标检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．某专卖店专营某品牌女鞋，店主对上一周中不同尺码的鞋子销售情况统计如表：
尺码
35
36
37
38
39
平均每天销售数量（双）
2
8
10
6
2
该店主决定本周进货时，增加一些37码的女鞋，影响该店主决策的统计量是（　　）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
2．如图，已知抛物线y=x2+px+q的对称轴为直线x=﹣2，过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，﹣1）．若要在y轴上找一点P，使得PM+PN最小，则点P的坐标为（　　）.

A．（0，﹣2） B．（0，﹣） C．（0，﹣） D．（0，﹣）
3．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．3x﹣2x＝1 B．x2+x5＝x7
C．x2•x4＝x6 D．（xy）4＝xy4
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝4cm，则BC的长为（　　）

A．8cm B．12cm C．11cm D．10cm
7．如图，是的外接圆，，点是外一点，，，则线段的最大值为（ ）

A．9 B．4.5 C． D．
8．关于抛物线，下列结论中正确的是（ ）
A．对称轴为直线
B．当时，随的增大而减小
C．与轴没有交点
D．与轴交于点
9．如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使得的边长是的边长的2倍．设点的坐标是，则点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
10．如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc>0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y2<y1，其中正确的是（  ）

A．①④⑤ B．①③④⑤ C．①③⑤ D．①②③
11．已知关于的方程有一个根是，则的值是（ ）
A．－1 B．0 C． D．1
12．下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图是小明在抛掷图钉的试验中得到的图钉针尖朝上的折线统计图，请你估计抛掷图钉针尖朝上的概率是_____．

14．为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为的大视力表制作一个测试距离为的小视力表．如图，如果大视力表中“”的高度是，那么小视力表中相应“”的高度是__________．

15．已知关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋4x＋m2＋m＝0的一个根为0，则m的值是_________．
16．已知，则的值为_______．
17．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示：
种子个数
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
发芽种子个数
94
187
282
338
435
530
621
781
814
901
发芽种子频率
0.940
0.935
0.940
0.845
0.870
0.883
0.891
0.898
0.904
0.901
根据频率的稳定性，估计该作物种子发芽的概率为__________(结果保留小数点后一位)．
18．已知m，n是方程的两个实数根，则．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知三个顶点的坐标分别为，在给出的平面直角坐标系中；
（1）画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出，的坐标；
（2）计算线段旋转到位置时扫过的图形面积.

20．（8分）如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D．
（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；
（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．

21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）
（1）画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2的坐标．

22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆O上，BE⊥CD垂足为E，CB平分∠ABE，连接BC
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若cos∠CAB＝，CE＝，求AD的长．

23．（10分）西安市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内(如图)．测得树顶A的仰角∠ACB=60°，沿直线BC后退6米到点D，又测得树顶A的仰角∠ADB=45°．若测角仪DE高1.3米，求这棵树的高AM．(结果保留两位小数，≈1.732)

24．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=6x1x2﹣15，求k的值．
25．（12分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝1；
（2）x（x+1）＝1．
26．如图，平面直角坐标系中，A、B、C坐标分别是(-4，0)、(-4，-1)、(-1，1)．

（1）将△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（1）写出A1、B1、C1的坐标；
（3）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.
2、B
【解析】根据线段垂直平分线的性质，可得N，′根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得M点坐标，根据两点之间线段最短，可得MN′，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．
【详解】如图，

作N点关于y轴的对称点N′，连接MN′交y轴于P点，
将N点坐标代入抛物线，并联立对称轴，得，
解得，
y=x2+4x+2=（x+2）2-2，
M（-2，-2），
N点关于y轴的对称点N′（1，-1），
设MN′的解析式为y=kx+b，
将M、N′代入函数解析式，得，
解得，
MN′的解析式为y=x-，
当x=0时，y=-，即P（0，-），
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，利用了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短得出P点的坐标是解题关键．
3、C
【解析】试题分析：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得，当a＜0时，二次函数开口向上，顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数开口向上，顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．符合条件的只有选项C，故答案选C．
考点：二次函数和一次函数的图象及性质．
4、C
【分析】分别根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方逐一判断即可．
【详解】解：3x﹣2x＝x，故选项A不合题意；
x2与x5不是同类项，故不能合并，故选项B不合题意；
x2•x4＝x6，正确，故选项C符合题意；
，故选项D不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5、B
【解析】试题解析：A. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误，不合题意；
B. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确，符合题意；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误，不合题意；
D. 无法确定是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误，不合题意.
故选B.
6、B
【分析】由平行可得＝，再由条件可求得＝，代入可求得BC．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
且DE＝4cm，
∴＝，
解得：BC＝12cm，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段成比例是解题的关键．
7、C
【分析】连接OB、OC，如图，则△OBC是顶角为120°的等腰三角形，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，连接MP，则∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP，根据等腰三角形的性质和锐角三角函数可得 ，于是求OP的最大值转化为求PM的最大值，因为，所以当P、B、M三点共线时，PM最大，据此求解即可.
【详解】解：连接OB、OC，如图，则OB=OC，∠BOC=2∠A=120°，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，连接MP，则∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP，
过点O作ON⊥PM于点N，则∠MON=60°，MN=PM，
在直角△MON中，，∴，
∴当PM最大时，OP最大，
又因为，所以当P、B、M三点共线时，PM最大，此时PM=3+6=9，
所以OP的最大值是：.
故选：C.

【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、旋转的性质、解直角三角形和两点之间线段最短等知识，具有一定的难度，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，将求OP的最大值转化为求PM的最大值是解题的关键.
8、B
【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案.
【详解】A：对称轴为直线x=-1，故A错误；
B：当时，随的增大而减小，故B正确；
C：顶点坐标为(-1,-2)，开口向上，所以与x轴有交点，故C错误；
D：当x=0时，y=-1，故D错误；
故答案选择B.
【点睛】
本题考查的是二次函数，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质.
9、A
【分析】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据相似三角形的性质求出CE，B′E的长，得到点B′的坐标．
【详解】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
∵点的坐标是,点的坐标是，
∴CD=2，BD=，
由题意得：C∽△,相似比为1:2，
∴，
∴CE=4，B′E=1，
∴点B′的坐标为（3，-1），
故选：A．

【点睛】
本题考查了位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似变换的性质是解答的关键．
10、C
【分析】①根据对称轴x=1，确定a，b的关系，然后判定即可；
②根据图象确定a、b、c的符号，即可判定；
③方程ax2+bx+c=3的根，就y=3的图象与抛物线交点的横坐标判定即可；
④根据对称性判断即可；
⑤由图象可得，当1<x<4时，抛物线总在直线的上面，则y2<y1．
【详解】解：①∵对称轴为：x=1，
∴ 则a=-2b,即2a+b=0，故①正确;
∵抛物线开口向下
∴a＜0
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0
∵抛物线与y轴交于正半轴
∴c＞0
∴abc<0,故②不正确；
∵抛物线的顶点坐标A（1,3）
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根是x=1，故③正确；
∵抛物线对称轴是：x=1，B（4,0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（-2,0）故④错误；
由图象得：当1<x<4时，有y2<y1；故⑤正确．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像,考查知识点较多,解答的关键在于掌握并灵活应用二次函数知识．
11、A
【分析】把b代入方程得到关于a，b的式子进行求解即可；
【详解】把b代入中，得到，
∵，
∴两边同时除以b可得，
∴．
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，准确利用等式的性质是解题的关键．
12、C
【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案.
【详解】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；
C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，
∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线x=-，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、0.1
【分析】利用频数统计图可得，在试验中图钉针尖朝上的频率在0.1波动，然后利用频率估计概率可得图钉针尖朝上的概率．
【详解】解：由统计图得，在试验中得到图钉针尖朝上的频率在0.1波动，
所以可根据计图钉针尖朝上的概率为0.1．
【点睛】
本题考查了频数统计图用频率估计概率，解决本题的关键是正确理解题意，明确频率和概率之间的联系和区别.
14、
【分析】先利用平行线证明相似，再利用相似三角形的性质得到比例式，即可计算出结果．
【详解】解：如图，

由题意得：CD∥AB，
∴ ，
，
∵AB=3.5cm，BE=5m，DE=3m，
，
∴CD=2.1cm，
故答案是：2.1cm．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，比较简单；根据生活常识，墙与地面垂直，则两张视力表平行，根据平行得到相似列出比例式，可以计算出结果．
15、1
【解析】先把x=1代入方程得到m2+m=1，然后解关于m的方程，再利用一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
【详解】把x=1代入方程（m+1）x2+4x+m2+m=1得m2+m=1，解得m1=1，m2=-1，
而m+1≠1，
所以m=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16、
【分析】令连等式的值为k，将a、b、c全部转化为用k表示的形式，进而得出比值．
【详解】令
则a=6k，b=5k，c=4k
则
故答案为：．
【点睛】
本题考查连比式的应用，是一类比较常见的题型，需掌握这种解题方法．
17、0.9
【分析】选一个表格中发芽种子频率比较按近的数，如0.904、0.901等都可以．
【详解】解：根据题意，由频率估计概率，则
估计该作物种子发芽的概率为：0.9；
故答案为：0.9；
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
18、3
【解析】根据题意得m+n=−2，mn=−5，
所以m+n−mn=2−（-5）=3.

三、解答题（共78分）
19、（1）见解析，；（2）2π
【分析】（1）利用网格特点和旋转的旋转画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案，再利用扇形面积求法得出答案．
【详解】解：如图，

由图可知，．
（2）由，∠BAB1=90°，
得：.
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质以及三角形、扇形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
20、（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】(1)证明AD=CD=BC,证明△BCD∽△BCA,得到.则有,所以点D是AB边上的黄金分割点;
(2)证明,直线CD是△ABC的黄金分割线;
【详解】解：(1)点D是AB边上的黄金分割点.理由如下:
AB=AC,∠A=,∠B=∠ACB=.
CD是角平分线, ∠ACD=∠BCD=,
∠A=∠ACD,AD=CD.
∠CDB=180-∠B-∠BCD=,
∠CDB=∠B,BC=CD.
BC=AD.
在△BCD与△BCA中, ∠B=∠B,∠BCD=∠A=,
△BCD∽△BCA,

点D是AB边上的黄金分割点.
(2)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:
设ABC中,AB边上的高为h,则
,,,

由（1）得点D是AB边上的黄金分割点，
，
直线CD是△ABC的黄金分割线
【点睛】
本题主要考查三角想相似及相似的性质，注意与题中黄金分割线定义相结合解题.
21、（1）画图见解析；（2）画图见解析，C2的坐标为（﹣6，4）．
【解析】试题分析：利用关于点对称的性质得出的坐标进而得出答案；
利用关于原点位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
试题解析：(1)△A1BC1如图所示．

(2)△A2B2C2如图所示，点C2的坐标为(－6，4)．
22、（1）见解析；（2）AD=．
【分析】（1）连接OC，根据等边对等角，以及角平分线的定义，即可证得∠OCB＝∠EBC，则OC∥BE，从而证得OC⊥CD，即CD是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】证明：（1）连接OC．
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
又∵∠EBC＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠EBC，
∴OC∥BE，
∵BE⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）设AB＝x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴直角△ABC中，AC＝AB•cos∠CAB＝，
∴BC＝＝＝x，
∵∠BCE+∠BCO＝∠CAB+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠CAB＝∠BCE，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴△ACB∽△CEB，
∴＝，
∴ ＝ ，
∴x＝，
∴AB＝，BC＝5，
∵△ACB∽△CEB，
∴∠CAB =∠ECB= cos∠CAB=
∴BE＝2，
∵OC∥BE，
∴△DOC∽△DBE，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝．

【点睛】
本题考查了切线的判定，三角函数以及圆周角定理，相似三角形的判定及性质等，证明切线的问题常用的思路是转化成证明垂直问题．
23、12.20米
【分析】可在Rt△ABD和Rt△ABC中，利用已知角的三角函数，用AB表示出BD、BC，根据CD=BD﹣BC=6即可求出AB的长；已知HM、DE的长，易求得BM的值，由AM=AB﹣BM即可求出树的高度．
【详解】设AB=x米．
Rt△ABD中，∠ADB=45°，BD=AB=x米．
Rt△ACB中，∠ACB=60°，BC=AB÷tan60°x米．
CD=BD﹣BC=(1)x=6，
解得：x=9+3，
即AB=(9+3)米．
∵BM=HM﹣DE=3.3﹣1.3=2，
∴AM=AB﹣BM=7+312.20(米)．
答：这棵树高12.20米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题．
24、（1）k≥；（2）1
【分析】（1）根据判别式与根的个数之间的关系，列不等式计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数间的关系表示出，，再由代入进行计算即可．
【详解】解：（1）由题意，得△=[﹣（k+1）]2﹣1（k2+1）=2k﹣3≥0，
解得，
∴k的取值范围为k≥．
（2）∵由根与系数的关系，得x1+x2=k+1，x1•x2=k2+1 ，
∵x12+x22=6x1x2﹣15，
∴（x1+x2）2﹣8x1x2+15=0，
∴k2﹣2k﹣8=0，解得：k1=1，k2=﹣2 ，
又∵k≥，
∴k=1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的个数与判别式之间的关系，根与系数的关系，熟知以上运算是解题的关键．
25、（1）；（2）
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）根据因式分解的性质，直接得到答案即可．
【详解】解：（1）x2﹣2x﹣3＝1

；
（2）

．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，应熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
26、（1）画图形见解析；（1），，；（3）画图形见解析
【分析】（1）依据△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，进行画图即可；
（1）根据（1）所画的图形，即可写出坐标；
（3）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
【详解】解：（1）画出图形，即为所求；

（1）由图可知：，，；
（3）画出图形，即为所求．
【点睛】
此题主要考查了旋转变换作图，以及坐标和图形，正确得出三角形对应点的位置是解题的关键．