浙江省杭州市中考数学试卷（含解析版）.pdf

杭州市中考数学试卷杭州市中考数学试卷一、仔细选一选（本题有一、仔细选一选（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分）1（3 分）3a（2a）2=（）A12a3B6a2C12a3D6a32（3 分）已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（）A12cm2B15cm2C24cm2D30cm23（3 分）在直角三角形 ABC 中，已知C=90，A=40，BC=3，则 AC=（）A3sin40B3sin50C3tan40D3tan504（3 分）已知边长为 a 的正方形的面积为 8，则下列说法中，错误的是（）A a 是无理数 B a 是方程 x28=0 的解 C a 是 8 的算术平方根 D a 满足不等式组5（3 分）下列命题中，正确的是（）A梯形的对角线相等B菱形的对角线不相等C矩形的对角线不能相互垂直D平行四边形的对角线可以互相垂直6（3 分）函数的自变量 x 满足 x2 时，函数值 y 满足 y1，则这个函数可以是（）Ay=By=Cy=Dy=7（3 分）若（+）w=1，则 w=（）Aa+2（a2）Ba+2（a2）Ca2（a2）Da2（a2）8（3 分）已知 2001 年至 2012 年杭州市小学学校数量（单位：所）和在校学生人数（单位：人）的两幅统计图由图得出如下四个结论：学校数量 2007 年2012 年比 20012006 年更稳定；在校学生人数有两次连续下降，两次连续增长的变化过程；2009 年的大于 1000；20092012 年，相邻两年的学校数量增长和在校学生人数增长最快的都是 20112012年其中，正确的结论是（）ABCD9（3 分）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是 2 的倍数或 3 的倍数的概率等于（）ABCD10（3 分）已知 ADBC，ABAD，点 E，点 F 分别在射线 AD，射线 BC 上若点 E 与点B 关于 AC 对称，点 E 与点 F 关于 BD 对称，AC 与 BD 相交于点 G，则（）A 1+tanADB=B 2BC=5CF C AEB+22=DEF D 4cosAGB=二、认真填一填（本题共二、认真填一填（本题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分）11（4 分）2012 年末统计，杭州市常住人口是 880.2 万人，用科学记数法表示为 人12（4 分）已知直线 ab，若1=4050，则2=13（4 分）设实数 x、y 满足方程组，则 x+y=14（4 分）已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是 15（4 分）设抛物线 y=ax2+bx+c（a0）过 A（0，2），B（4，3），C 三点，其中点 C 在直线 x=2 上，且点 C 到抛物线的对称轴的距离等于 1，则抛物线的函数解析式为 16（4 分）点 A，B，C 都在半径为 r 的圆上，直线 AD直线 BC，垂足为 D，直线 BE直线 AC，垂足为 E，直线 AD 与 BE 相交于点 H若 BH=AC，则ABC 所对的弧长等于 （长度单位）三、全面答一答（本题共三、全面答一答（本题共 7 小题，共小题，共 66 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以17（6 分）一个布袋中装有只有颜色不同的 a（a12）个球，分别是 2 个白球，4 个黑球，6 个红球和 b 个黄球，从中任意摸出一个球，把摸出白球，黑球，红球的概率绘制成统计图（未绘制完整）请补全该统计图并求出 的值18（8 分）在ABC 中，AB=AC，点 E，F 分别在 AB，AC 上，AE=AF，BF 与 CE 相交于点 P求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段19（8 分）设 y=kx，是否存在实数 k，使得代数式（x2y2）（4x2y2）+3x2（4x2y2）能化简为 x4？若能，请求出所有满足条件的 k 的值；若不能，请说明理由20（10 分）把一条 12 个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为 4 个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍（1）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长21（10 分）在直角坐标系中，设 x 轴为直线 l，函数 y=x，y=x 的图象分别是直线l1，l2，圆 P（以点 P 为圆心，1 为半径）与直线 l，l1，l2中的两条相切例如（，1）是其中一个圆 P 的圆心坐标（1）写出其余满足条件的圆 P 的圆心坐标；（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长22（12 分）菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC=4，BD=4，动点 P 在线段BD 上从点 B 向点 D 运动，PFAB 于点 F，四边形 PFBG 关于 BD 对称，四边形 QEDH 与四边形 PEBG 关于 AC 对称设菱形 ABCD 被这两个四边形盖住部分的面积为 S1，未被盖住部分的面积为 S2，BP=x（1）用含 x 的代数式分别表示 S1，S2；（2）若 S1=S2，求 x 的值23（12 分）复习课中，教师给出关于 x 的函数 y=2kx2（4kx+1）xk+1（k 是实数）教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上学生思考后，黑板上出现了一些结论教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：存在函数，其图象经过（1，0）点；函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；当 x1 时，不是 y 随 x 的增大而增大就是 y 随 x 的增大而减小；若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由最后简单写出解决问题时所用的数学方法杭州市中考数学试卷杭州市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有一、仔细选一选（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分）1（3 分）3a（2a）2=（）A12a3B6a2C12a3D6a3考点：单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方分析：首先利用积的乘方将括号展开，进而利用单项式乘以单项式求出即可解答：解：3a（2a）2=3a4a2=12a3故选：C点评：此题主要考查了单项式乘以单项式以及积的乘方运算等知识，熟练掌握单项式乘以单项式运算是解题关键2（3 分）已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（）A12cm2B15cm2C24cm2D30cm2考点：圆锥的计算专题：计算题分析：俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长母线长2解答：解：底面半径为 3，高为 4，圆锥母线长为 5，侧面积=2rR2=15cm2故选 B点评：由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和高是解本题的关键；本题体现了数形结合的数学思想，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形3（3 分）在直角三角形 ABC 中，已知C=90，A=40，BC=3，则 AC=（）A3sin40B3sin50C3tan40D3tan50考点：解直角三角形分析：利用直角三角形两锐角互余求得B 的度数，然后根据正切函数的定义即可求解解答：解：B=90A=9040=50，又tanB=，AC=BCtanB=3tan50故选 D点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系4（3 分）已知边长为 a 的正方形的面积为 8，则下列说法中，错误的是（）Aa 是无理数Ba 是方程 x28=0 的解Ca 是 8 的算术平方根Da 满足不等式组考点：算术平方根；无理数；解一元二次方程-直接开平方法；解一元一次不等式组菁优网版权所有分析：首先根据正方形的面积公式求得 a 的值，然后根据算术平方根以及方程的解的定义即可作出判断解答：解：a=2，则 a 是 a 是无理数，a 是方程 x28=0 的解，是 8 的算术平方根都正确；解不等式组，得：3a4，而 23，故错误故选 D点评：此题主要考查了算术平方根的定义，方程的解的定义，以及无理数估计大小的方法5（3 分）下列命题中，正确的是（）A梯形的对角线相等B菱形的对角线不相等C矩形的对角线不能相互垂直D平行四边形的对角线可以互相垂直考点：命题与定理专题：常规题型分析：根据等腰梯形的判定与性质对 A 进行判断；根据菱形的性质对 B 进行判断；根据矩形的性质对 C 进行判断；根据平行四边形的性质对 D 进行判断解答：解：A、等腰梯形的对角线相等，所以 A 选项错误；B、菱形的对角线不一定相等，若相等，则菱形变为正方形，所以 B 选项错误；C、矩形的对角线不一定相互垂直，若互相垂直，则矩形变为正方形，所以 C 选项错误；D、平行四边形的对角线可以互相垂直，此时平行四边形变为菱形，所以 D 选项正确故选 D点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理6（3 分）函数的自变量 x 满足 x2 时，函数值 y 满足 y1，则这个函数可以是（）Ay=By=Cy=Dy=考点：反比例函数的性质分析：把 x=代入四个选项中的解析式可得 y 的值，再把 x=2 代入解析式可得 y 的值，然后可得答案解答：解：A、把 x=代入 y=可得 y=1，把 x=2 代入 y=可得 y=，故此选项正确；B、把 x=代入 y=可得 y=4，把 x=2 代入 y=可得 y=1，故此选项错误；C、把 x=代入 y=可得 y=，把 x=2 代入 y=可得 y=，故此选项错误；D、把 x=代入 y=可得 y=16，把 x=2 代入 y=可得 y=4，故此选项错误；故选：A点评：此题主要考查了反比例函数图象的性质，关键是正确理解题意，根据自变量的值求出对应的函数值7（3 分）若（+）w=1，则 w=（）Aa+2（a2）Ba+2（a2）Ca2（a2）Da2（a2）考点：分式的混合运算专题：计算题分析：原式变形后，计算即可确定出 W解答：解：根据题意得：W=（a+2）=a2故选：D点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键8（3 分）已知 2001 年至 2012 年杭州市小学学校数量（单位：所）和在校学生人数（单位：人）的两幅统计图由图得出如下四个结论：学校数量 2007 年2012 年比 20012006 年更稳定；在校学生人数有两次连续下降，两次连续增长的变化过程；2009 年的大于 1000；20092012 年，相邻两年的学校数量增长和在校学生人数增长最快的都是 20112012年其中，正确的结论是（）ABCD考点：折线统计图；条形统计图分析：根据条形统计图可知，学校数量 20012006 年下降幅度较大，最多 1354 所，最少 605 所，而 2007 年2012 年学校数量都是在 400 所以上，440 所以下，由此判断即可；由折线统计图可知，在校学生人数有 2001 年2003 年、2006 年2009 年两次连续下降，2004 年2006 年、2009 年2012 年两次连续增长的变化过程，由此判断即可；由统计图可知，2009 年的在校学生 445192 人，学校数量 417 所，再进行计算即可判断；分别计算 20092010 年，20102011 年，20112012 年相邻两年的学校数量的增长率和在校学生人数的增长率，再比较即可解答：解：根据条形统计图可知，学校数量 20012006 年下降幅度较大，最多 1354 所，最少 605 所，而 2007 年2012 年学校数量都是在 400 所以上，440 所以下，故结论正确；由折线统计图可知，在校学生人数有 2001 年2003 年、2006 年2009 年两次连续下降，2004 年2006 年、2009 年2012 年两次连续增长的变化过程，故结论正确；由统计图可知，2009 年的在校学生 445192 人，学校数量 417 所，所以 2009 年的=10671000，故结论正确；20092010 年学校数量增长率为2.16%，20102011 年学校数量增长率为0.245%，20112012 年学校数量增长率为1.47%，1.47%0.245%2.16%，20092012 年，相邻两年的学校数量增长最快的是 20112012 年；20092010 年在校学生人数增长率为1.96%，20102011 年在校学生人数增长率为2.510%，20112012 年在校学生人数增长率为1.574%，2.510%1.96%1.574%，20092012 年，相邻两年的在校学生人数增长最快的是 20102011 年，故结论错误综上所述，正确的结论是：故选 B点评：本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况9（3 分）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是 2 的倍数或 3 的倍数的概率等于（）ABCD考点：列表法与树状图法专题：计算题分析：列表得出所有等可能的情况数，找出两个数的和是 2 的倍数或 3 的倍数情况，即可求出所求概率解答：解：列表如下：1 2 3 4 1（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）所有等可能的情况有 16 种，其中两个数的和是 2 的倍数或 3 的倍数情况有 10 种，则 P=故选 C点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比10（3 分）已知 ADBC，ABAD，点 E，点 F 分别在射线 AD，射线 BC 上若点 E 与点B 关于 AC 对称，点 E 与点 F 关于 BD 对称，AC 与 BD 相交于点 G，则（）A1+tanADB=B2BC=5CFCAEB+22=DEF D4cosAGB=考点：轴对称的性质；解直角三角形分析：连接 CE，设 EF 与 BD 相交于点 O，根据轴对称性可得 AB=AE，并设为 1，利用勾股定理列式求出 BE，再根据翻折的性质可得 DE=BF=BE，再求出 BC=1，然后对各选项分析判断利用排除法求解解答：解：如图，连接 CE，设 EF 与 BD 相交于点 O，由轴对称性得，AB=AE，设为 1，则 BE=，点 E 与点 F 关于 BD 对称，DE=BF=BE=，AD=1+，ADBC，ABAD，AB=AE，四边形 ABCE 是正方形，BC=AB=1，1+tanADB=1+=1+1=，故 A 选项结论正确；CF=BFBC=1，2BC=21=2，5CF=5（1），2BC5CF，故 B 选项结论错误；AEB+22=45+22=67，在 RtABD 中，BD=，sinDEF=，DEF67，故 C 选项结论错误；由勾股定理得，OE2=（）2（）2=，OE=，EBG+AGB=90，EGB+BEF=90，AGB=BEF，又BEF=DEF，4cosAGB=，故 D 选项结论错误故选 A点评：本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为 1 可使求解过程更容易理解二、认真填一填（本题共二、认真填一填（本题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分）11（4 分）2012 年末统计，杭州市常住人口是 880.2 万人，用科学记数法表示为8.802106人考点：科学记数法表示较大的数菁优网版权所有分析：科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数解答：解：880.2 万=880 2000=8.802106，故答案为：8.802106点评：此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值12（4 分）已知直线 ab，若1=4050，则2=13910考点：平行线的性质；度分秒的换算菁优网版权所有分析：根据对顶角相等可得3=1，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解解答：解：3=1=4050，ab，2=1803=1804050=13910故答案为：13910点评：本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，度分秒的换算，要注意度、分、秒是60 进制13（4 分）设实数 x、y 满足方程组，则 x+y=8考点：解二元一次方程组菁优网版权所有专题：计算题分析：方程组利用加减消元法求出解得到 x 与 y 的值，即可确定出 x+y 的值解答：解：，+得：x=6，即 x=9；得：2y=2，即 y=1，方程组的解为，则 x+y=91=8故答案为：8点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法14（4 分）已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是15.6考点：折线统计图；中位数菁优网版权所有分析：根据中位数的定义解答将这组数据从小到大重新排列，求出最中间两个数的平均数即可解答：解：把这些数从小到大排列为：4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，最中间的两个数的平均数是（15.3+15.9）2=15.6（），则这六个整点时气温的中位数是 15.6；故答案为：15.6点评：此题考查了折线统计图和中位数，掌握中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数15（4 分）设抛物线 y=ax2+bx+c（a0）过 A（0，2），B（4，3），C 三点，其中点 C 在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为y=x2 x+2或 y=x2+x+2考点：二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式菁优网版权所有分析：根据点 C 的位置分情况确定出对称轴解析式，然后设出抛物线解析式，再把点 A、B的坐标代入求解即可解答：解：点 C 在直线 x=2 上，且到抛物线的对称轴的距离等于 1，抛物线的对称轴为直线 x=1 或 x=3，当对称轴为直线 x=1 时，设抛物线解析式为 y=a（x1）2+k，则，解得，所以，y=（x1）2+=x2 x+2，当对称轴为直线 x=3 时，设抛物线解析式为 y=a（x3）2+k，则，解得，所以，y=（x3）2+=x2+x+2，综上所述，抛物线的函数解析式为 y=x2 x+2 或 y=x2+x+2故答案为：y=x2 x+2 或 y=x2+x+2点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴解析式并讨论求解16（4 分）点 A，B，C 都在半径为 r 的圆上，直线 AD直线 BC，垂足为 D，直线 BE直线 AC，垂足为 E，直线 AD 与 BE 相交于点 H 若 BH=AC，则ABC 所对的弧长等于r 或r（长度单位）考点：弧长的计算；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值菁优网版权所有专题：分类讨论分析：作出图形，根据同角的余角相等求出H=C，再根据两角对应相等，两三角形相似求出ACD 和BHD 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再利用锐角三角函数求出ABC，然后根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍求出ABC 所对的弧长所对的圆心角，然后利用弧长公式列式计算即可得解解答：解：如图 1，ADBC，BEAC，H+DBH=90，C+DBH=90，H=C，又BDH=ADC=90，ACDBHD，=，BH=AC，=，ABC=30，ABC 所对的弧长所对的圆心角为 302=60，ABC 所对的弧长=r如图 2，ABC 所对的弧长所对的圆心角为 300，ABC 所对的弧长=r故答案为：r 或r点评：本题考查了弧长的计算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，判断出相似三角形是解题的关键，作出图形更形象直观三、全面答一答（本题共三、全面答一答（本题共 7 小题，共小题，共 66 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以17（6 分）一个布袋中装有只有颜色不同的 a（a12）个球，分别是 2 个白球，4 个黑球，6 个红球和 b 个黄球，从中任意摸出一个球，把摸出白球，黑球，红球的概率绘制成统计图（未绘制完整）请补全该统计图并求出 的值考点：条形统计图；概率公式菁优网版权所有分析：首先根据黑球数总数=摸出黑球的频率，再计算出摸出白球，黑球，红球的概率可得答案解答：解：球的总数：40.2=20（个），2+4+6+b=20，解得：b=8，摸出白球频率：220=0.1，摸出红球的概率：620=0.3，=0.4点评：此题主要考查了概率和条形统计图，关键是掌握概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数18（8 分）在ABC 中，AB=AC，点 E，F 分别在 AB，AC 上，AE=AF，BF 与 CE 相交于点 P求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质菁优网版权所有分析：可证明ABFACE，则 BF=CE，再证明BEPCFP，则 PB=PC，从而可得出PE=PF，BE=CF解答：解：在ABF 和ACE 中，ABFACE（SAS），ABF=ACE（全等三角形的对应角相等），BF=CE（全等三角形的对应边相等），AB=AC，AE=AF，BE=BF，在BEP 和CFP 中，BEPCFP（AAS），PB=PC，BF=CE，PE=PF，图中相等的线段为 PE=PF，BE=CF点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，是基础题，难度不大19（8 分）设 y=kx，是否存在实数 k，使得代数式（x2y2）（4x2y2）+3x2（4x2y2）能化简为 x4？若能，请求出所有满足条件的 k 的值；若不能，请说明理由考点：因式分解的应用菁优网版权所有专题：计算题分析：先利用因式分解得到原式=（4x2y2）（x2y2+3x2）=（4x2y2）2，再把当 y=kx 代入得到原式=（4x2k2x2）2=（4k2）x4，所以当 4k2=1 满足条件，然后解关于 k的方程即可解答：解：能（x2y2）（4x2y2）+3x2（4x2y2）=（4x2y2）（x2y2+3x2）=（4x2y2）2，当 y=kx，原式=（4x2k2x2）2=（4k2）2x4，令（4k2）2=1，解得 k=或，即当 k=或时，原代数式可化简为 x4点评：本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题20（10 分）把一条 12 个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为 4 个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍（1）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长考点：作图应用与设计作图菁优网版权所有分析：（1）利用三角形三边关系进而得出符合题意的图形即可；（2）利用三角形外接圆作法，首先作出任意两边的垂直平分线，即可得出圆心位置，进而得出其外接圆解答：解：（1）由题意得：三角形的三边长分别为：4，4，4；3，4，5；即不同分段得到的三条线段能组成 2 个不全等的三角形，如图所示：（2）如图所示：当三边的单位长度分别为 3，4，5，可知三角形为直角三角形，此时外接圆的半径为2.5；当三边的单位长度分别为 4，4，4三角形为等边三角形，此时外接圆的半径为，当三条线段分别为 3，4，5 时其外接圆周长为：22.5=5；当三条线段分别为 4，4，4 时其外接圆周长为：2=点评：此题主要考查了三角形外接圆的作法和三角形三边关系等知识，得出符合题意的三角形是解题关键21（10 分）在直角坐标系中，设 x 轴为直线 l，函数 y=x，y=x 的图象分别是直线l1，l2，圆 P（以点 P 为圆心，1 为半径）与直线 l，l1，l2中的两条相切例如（，1）是其中一个圆 P 的圆心坐标（1）写出其余满足条件的圆 P 的圆心坐标；（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长考点：圆的综合题；切线长定理；轴对称图形；特殊角的三角函数值菁优网版权所有专题：计算题；作图题分析：（1）对圆 P 与直线 l 和 l2都相切、圆 P 与直线 l 和 l1都相切、圆 P 与直线 l1和 l2都相切三种情况分别考虑，利用切线长定理和特殊角的三角函数值即可求出点 P 的坐标（2）由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，它的所有的边都相等只需求出其中的一条边就可以求出它的周长解答：解：（1）若圆 P 与直线 l 和 l2都相切，当点 P 在第四象限时，过点 P 作 PHx 轴，垂足为 H，连接 OP，如图 1 所示设 y=x 的图象与 x 轴的夹角为 当 x=1 时，y=tan=60由切线长定理得：POH=（18060）=60PH=1，tanPOH=OH=点 P 的坐标为（，1）同理可得：当点 P 在第二象限时，点 P 的坐标为（，1）；当点 P 在第三象限时，点 P 的坐标为（，1）；若圆 P 与直线 l 和 l1都相切，如图 2 所示同理可得：当点 P 在第一象限时，点 P 的坐标为（，1）；当点 P 在第二象限时，点 P 的坐标为（，1）；当点 P 在第三象限时，点 P 的坐标为（，1）；当点 P 在第四象限时，点 P 的坐标为（，1）若圆 P 与直线 l1和 l2都相切，如图 3 所示同理可得：当点 P 在 x 轴的正半轴上时，点 P 的坐标为（，0）；当点 P 在 x 轴的负半轴上时，点 P 的坐标为（，0）；当点 P 在 y 轴的正半轴上时，点 P 的坐标为（0，2）；当点 P 在 y 轴的负半轴上时，点 P 的坐标为（0，2）综上所述：其余满足条件的圆 P 的圆心坐标有：（，1）、（，1）、（，1）、（，1）、（，1）、（，1）、（，1）、（，0）、（，0）、（0，2）、（0，2）（2）用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图 4 所示由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等该图形的周长=12（）=8点评：本题考查了切线长定理、特殊角的三角函数值、对称性等知识，考查了作图的能力，培养了学生的审美意识，是一道好题22（12 分）菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC=4，BD=4，动点 P 在线段BD 上从点 B 向点 D 运动，PFAB 于点 F，四边形 PFBG 关于 BD 对称，四边形 QEDH 与四边形 PEBG 关于 AC 对称设菱形 ABCD 被这两个四边形盖住部分的面积为 S1，未被盖住部分的面积为 S2，BP=x（1）用含 x 的代数式分别表示 S1，S2；（2）若 S1=S2，求 x 的值考点：四边形综合题；菱形的性质；轴对称的性质；轴对称图形；特殊角的三角函数值菁优网版权所有专题：综合题；动点型；分类讨论分析：（1）根据对称性确定 E、F、G、H 都在菱形的边上，由于点 P 在 BO 上与点 P 在 OD上求 S1和 S2的方法不同，因此需分情况讨论（2）由 S1=S2和 S1+S2=8可以求出 S1=S2=4 然后在两种情况下分别建立关于 x的方程，解方程，结合不同情况下 x 的范围确定 x 的值解答：解：（1）当点 P 在 BO 上时，如图 1 所示四边形 ABCD 是菱形，AC=4，BD=4，ACBD，BO=BD=2，AO=AC=2，且 S菱形ABCD=BDAC=8tanABO=ABO=60在 RtBFP 中，BFP=90，FBP=60，BP=x，sinFBP=sin60=FP=xBF=四边形 PFBG 关于 BD 对称，四边形 QEDH 与四边形 PEBG 关于 AC 对称，SBFP=SBGP=SDEQ=SDHQS1=4SBFP=4 x=S2=8当点 P 在 OD 上时，如图 2 所示AB=4，BF=，AF=ABBF=4 在 RtAFM 中，AFM=90，FAM=30，AF=4 tanFAM=tan30=FM=（4）SAFM=AFFM=（4）（4）=（4）2四边形 PFBG 关于 BD 对称，四边形 QEDH 与四边形 PEBG 关于 AC 对称，SAFM=SAEM=SCHN=SCGNS2=4SAFM=4（4）2=（x8）2S1=8S2=8（x8）2综上所述：当点 P 在 BO 上时，S1=，S2=8；当点 P 在 OD 上时，S1=8（x8）2，S2=（x8）2（2）当点 P 在 BO 上时，0 x2S1=S2，S1+S2=8，S1=4S1=4解得：x1=2，x2=222，20，当点 P 在 BO 上时，S1=S2的情况不存在当点 P 在 OD 上时，2x4S1=S2，S1+S2=8，S2=4S2=（x8）2=4解得：x1=8+2，x2=828+24，2824，x=82综上所述：若 S1=S2，则 x 的值为 82点评：本题考查了以菱形为背景的轴对称及轴对称图形的相关知识，考查了菱形的性质、特殊角的三角函数值等知识，还考查了分类讨论的思想23（12 分）复习课中，教师给出关于 x 的函数 y=2kx2（4kx+1）xk+1（k 是实数）教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上学生思考后，黑板上出现了一些结论教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：存在函数，其图象经过（1，0）点；函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；当 x1 时，不是 y 随 x 的增大而增大就是 y 随 x 的增大而减小；若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由最后简单写出解决问题时所用的数学方法考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：将（1，0）点代入函数，解出 k 的值即可作出判断；首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；根据二次函数的增减性，即可作出判断；当 k=0 时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当 k0 时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断解答：解：真，将（1，0）代入可得：2k（4k+1）k+1=0，解得：k=0运用方程思想；假，反例：k=0 时，只有两个交点运用举反例的方法；假，如 k=1，=，当 x1 时，先减后增；运用举反例的方法；真，当 k=0 时，函数无最大、最小值；k0 时，y最=，当 k0 时，有最小值，最小值为负；当 k0 时，有最大值，最大值为正运用分类讨论思想点评：本题考查了二次函数的综合，立意新颖，结合考察了数学解题过程中经常用到的几种解题方法，同学们注意思考、理解，难度一般