吉林省长春市中考数学试卷（含解析版）.pdf

第 1 页（共 33 页）吉林省长春市中考数学试卷吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分）1（3 分）的相反数是（）ABC7D72（3 分）下列图形中，是正方体表面展开图的是（）ABCD3（3 分）计算（3ab）2的结果是（）A6abB6a2bC9ab2D9a2b24（3 分）不等式组的解集为（）Ax2Bx1C1x2D1x25（3 分）如图，直线 a 与直线 b 交于点 A，与直线 c 交于点 B，1=120，2=45，若使直线 b 与直线 c 平行，则可将直线 b 绕点 A 逆时针旋转（）A15B30C45D606（3 分）如图，在O 中，AB 是直径，BC 是弦，点 P 是上任意一点若AB=5，BC=3，则 AP 的长不可能为（）第 2 页（共 33 页）A3B4CD57（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，m）在第一象限，若点 A 关于 x 轴的对称点 B 在直线 y=x+1 上，则 m 的值为（）A1B1C2D38（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 均在函数 y=（k0，x0）的图象上，A 与 x 轴相切，B 与 y 轴相切若点 B 的坐标为（1，6），A 的半径是B 的半径的 2 倍，则点 A 的坐标为（）A（2，2）B（2，3）C（3，2）D（4，）二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分）9（3 分）计算：=10（3 分）为落实“阳光体育”工程，某校计划购买 m 个篮球和 n 个排球，已知篮球每个 80 元，排球每个 60 元，购买这些篮球和排球的总费用为 元11（3 分）如图，在ABC 中，C=90，AB=10，AD 是ABC 的一条角平分线若 CD=3，则ABD 的面积为 第 3 页（共 33 页）12（3 分）如图，在O 中，半径 OA 垂直弦于点 D若ACB=33，则OBC的大小为 度13（3 分）如图，在边长为 3 的菱形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，点 F 为 BE 延长线与 AD 延长线的交点若 DE=1，则 DF 的长为 14（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第二象限，以 A 为顶点的抛物线经过原点，与 x 轴负半轴交于点 B，对称轴为直线 x=2，点 C 在抛物线上，且位于点 A、B 之间（C 不与 A、B 重合）若ABC 的周长为 a，则四边形AOBC 的周长为 （用含 a 的式子表示）三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分）15（6 分）先化简，再求值：，其中 x=10第 4 页（共 33 页）16（6 分）在一个不透明的袋子里装有 3 个乒乓球，分别标有数字 1，2，3，这些乒乓球除所标数字不同外其余均相同先从袋子里随机摸出 1 个乒乓球，记下标号后放回，再从袋子里随机摸出 1 个乒乓球记下标号，请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的概率17（6 分）某文具厂计划加工 3000 套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的 1.2 倍，结果提前 4 天完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量18（7 分）如图，为测量某建筑物的高度 AB，在离该建筑物底部 24 米的点 C处，目测建筑物顶端 A 处，视线与水平线夹角ADE 为 39，且高 CD 为 1.5米，求建筑物的高度 AB（结果精确到 0.1 米）（参考数据：sin39=0.63，cos39=0.78，tan39=0.81）第 5 页（共 33 页）19（7 分）如图，在ABCD 中，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 是边 CD的中点，点 F 在 BC 的延长线上，且 CF=BC，求证：四边形 OCFE 是平行四边形20（7 分）某校学生会为了解本校学生每天做作业所用时间情况，采用问卷的方式对一部分学生进行调查，在确定调查对象时，大家提出以下几种方案：（A）对各班班长进行调查；（B）对某班的全体学生进行调查；（C）从全校每班随机抽取 5 名学生进行调查在问卷调查时，每位被调查的学生都选择了问卷中适合自己的一个时间，学生会收集到的数据整理后绘制成如图所示的条形统计图（1）为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案 （填 A、B 或 C）；（2）被调查的学生每天做作业所用时间的众数为 小时；（3）根据以上统计结果，估计该校 800 名学生中每天做作业用 1.5 小时的人数第 6 页（共 33 页）21（8 分）甲、乙两支清雪队同时开始清理某路段积雪，一段时间后，乙队被调往别处，甲队又用了 3 小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时的清雪量保持不变，乙队每小时清雪 50 吨，甲、乙两队在此路段的清雪总量 y（吨）与清雪时间 x（时）之间的函数图象如图所示（1）乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为 吨；（2）求此次任务的清雪总量 m；（3）求乙队调离后 y 与 x 之间的函数关系式22（9 分）探究：如图，在ABC 中，AB=AC，ABC=60，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD，连结 CD，AE，求证：ACECBD应用：如图，在菱形 ABCF 中，ABC=60，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD，连结 CD，EA，延长 EA 交 CD 于点 G，求CGE 的度数第 7 页（共 33 页）23（10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+bx+c 经过点（1，1），且对称轴为直线 x=2，点 P、Q 均在抛物线上，点 P 位于对称轴右侧，点 Q 位于对称轴左侧，PA 垂直对称轴于点 A，QB 垂直对称轴于点 B，且QB=PA+1，设点 P 的横坐标为 m（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）求点 Q 的坐标（用含 m 的式子表示）；（3）请探究 PA+QB=AB 是否成立，并说明理由；（4）抛物线 y=a1x2+b1x+c1（a10）经过 Q、B、P 三点，若其对称轴把四边形PAQB 分成面积比为 1：5 的两部分，直接写出此时 m 的值第 8 页（共 33 页）24（12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，点 O 为对角线 BD 的中点，点 P 从点 A 出发，沿折线 ADDOOC 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 C运动，当点 P 与点 A 不重合时，过点 P 作 PQAB 于点 Q，以 PQ 为边向右作正方形 PQMN，设正方形 PQMN 与ABD 重叠部分图形的面积为 S（平方单位），点 P 运动的时间为 t（秒）（1）求点 N 落在 BD 上时 t 的值；（2）直接写出点 O 在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范围；（3）当点 P 在折线 ADDO 上运动时，求 S 与 t 之间的函数关系式；（4）直接写出直线 DN 平分BCD 面积时 t 的值第 9 页（共 33 页）吉林省长春市中考数学试卷吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分）1（3 分）的相反数是（）ABC7D7【考点】14：相反数菁优网版权所有【专题】1：常规题型【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数【解答】解：的相反数是，故选：A【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数2（3 分）下列图形中，是正方体表面展开图的是（）ABCD【考点】I6：几何体的展开图菁优网版权所有【专题】1：常规题型【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题【解答】解：A、B、D 经过折叠后，下边没有面，所以不可以围成正方体，C 能折成正方体故选：C【点评】本题考查了正方体的展开图，解题时牢记正方体无盖展开图的各种情形3（3 分）计算（3ab）2的结果是（）A6abB6a2bC9ab2D9a2b2第 10 页（共 33 页）【考点】47：幂的乘方与积的乘方菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算后直接选择答案【解答】解：（3ab）2=32a2b2=9a2b2故选：D【点评】本题考查了积的乘方的性质，熟记运算性质并理清指数的变化是解题的关键4（3 分）不等式组的解集为（）Ax2Bx1C1x2D1x2【考点】CB：解一元一次不等式组菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集【解答】解：，解得：x1，解得：x2，则不等式组的解集是：1x2故选：C【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断还可以观察不等式的解，若 x较小的数、较大的数，那么解集为 x 介于两数之间5（3 分）如图，直线 a 与直线 b 交于点 A，与直线 c 交于点 B，1=120，2=45，若使直线 b 与直线 c 平行，则可将直线 b 绕点 A 逆时针旋转（）A15B30C45D60第 11 页（共 33 页）【考点】J9：平行线的判定菁优网版权所有【专题】121：几何图形问题【分析】先根据邻补角的定义得到3=60，根据平行线的判定当 b 与 a 的夹角为 45时，bc，由此得到直线 b 绕点 A 逆时针旋转 6045=15【解答】解：1=120，3=60，2=45，当3=2=45时，bc，直线 b 绕点 A 逆时针旋转 6045=15故选：A【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行6（3 分）如图，在O 中，AB 是直径，BC 是弦，点 P 是上任意一点若AB=5，BC=3，则 AP 的长不可能为（）A3B4CD5【考点】KQ：勾股定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理菁优网版权所有【专题】121：几何图形问题【分析】首先连接 AC，由圆周角定理可得，可得C=90，继而求得 AC 的长，然后可求得 AP 的长的取值范围，继而求得答案【解答】解：连接 AC，第 12 页（共 33 页）在O 中，AB 是直径，C=90，AB=5，BC=3，AC=4，点 P 是上任意一点4AP5故选：A【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用7（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，m）在第一象限，若点 A 关于 x 轴的对称点 B 在直线 y=x+1 上，则 m 的值为（）A1B1C2D3【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；P5：关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标菁优网版权所有【专题】31：数形结合【分析】根据关于 x 轴的对称点的坐标特点可得 B（2，m），然后再把 B 点坐标代入 y=x+1 可得 m 的值【解答】解：点 A（2，m），点 A 关于 x 轴的对称点 B（2，m），第 13 页（共 33 页）B 在直线 y=x+1 上，m=2+1=1，m=1，故选：B【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式左右相等8（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 均在函数 y=（k0，x0）的图象上，A 与 x 轴相切，B 与 y 轴相切若点 B 的坐标为（1，6），A 的半径是B 的半径的 2 倍，则点 A 的坐标为（）A（2，2）B（2，3）C（3，2）D（4，）【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；MC：切线的性质菁优网版权所有【专题】31：数形结合【分析】把 B 的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式，根据B 与 y 轴相切，即可求得B 的半径，则A 的半径即可求得，即得到 B 的纵坐标，代入函数解析式即可求得横坐标【解答】解：把 B 的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式得：k=6，则函数的解析式是：y=，B 的坐标为（1，6），B 与 y 轴相切，B 的半径是 1，则A 是 2，把 y=2 代入 y=得：x=3，则 A 的坐标是（3，2）故选：C第 14 页（共 33 页）【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及斜线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分）9（3 分）计算：=【考点】75：二次根式的乘除法菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据=进行运算即可【解答】解：原式=故答案为：【点评】此题考查了二次根式的乘除法运算，属于基础题，注意掌握=10（3 分）为落实“阳光体育”工程，某校计划购买 m 个篮球和 n 个排球，已知篮球每个 80 元，排球每个 60 元，购买这些篮球和排球的总费用为（80m+60n）元【考点】32：列代数式菁优网版权所有【专题】124：销售问题【分析】用购买 m 个篮球的总价加上 n 个排球的总价即可【解答】解：购买这些篮球和排球的总费用为（80m+60n）元故答案为：（80m+60n）【点评】此题考查列代数式，根据题意，找出题目蕴含的数量关系解决问题11（3 分）如图，在ABC 中，C=90，AB=10，AD 是ABC 的一条角平分线若 CD=3，则ABD 的面积为15【考点】KF：角平分线的性质菁优网版权所有【专题】121：几何图形问题第 15 页（共 33 页）【分析】要求ABD 的面积，现有 AB=10 可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作 DEAB 于 E根据角平分线的性质求得 DE 的长，即可求解【解答】解：作 DEAB 于 EAD 平分BAC，DEAB，DCAC，DE=CD=3ABD 的面积为310=15故答案是：15【点评】此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形 AB 边上的高时解答本题的关键12（3 分）如图，在O 中，半径 OA 垂直弦于点 D若ACB=33，则OBC的大小为24度【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先根据圆周角定理得到AOB=2ACB=66，然后根据互余计算OBC的大小【解答】解：OABC，ODB=90，ACB=33，AOB=2ACB=66，第 16 页（共 33 页）OBC=90AOB=24故答案为：24【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周角定理13（3 分）如图，在边长为 3 的菱形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，点 F 为 BE 延长线与 AD 延长线的交点若 DE=1，则 DF 的长为【考点】L8：菱形的性质；S9：相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】121：几何图形问题【分析】求出 EC，根据菱形的性质得出 ADBC，得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可【解答】解：DE=1，DC=3，EC=31=2，四边形 ABCD 是菱形，ADBC，DEFCEB，=，=，DF=，故答案为：【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：菱形的对边互相平行14（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第二象限，以 A 为顶点的抛物线经过原点，与 x 轴负半轴交于点 B，对称轴为直线 x=2，点 C 在抛物线上，且位于点 A、B 之间（C 不与 A、B 重合）若ABC 的周长为 a，则四边形第 17 页（共 33 页）AOBC 的周长为a+4（用含 a 的式子表示）【考点】H3：二次函数的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据抛物线的对称性得到：OB=4，AB=AO，则四边形 AOBC 的周长为AO+AC+BC+OB=ABC 的周长+OB【解答】解：如图，对称轴为直线 x=2，抛物线经过原点、x 轴负半轴交于点 B，OB=4，由抛物线的对称性知 AB=AO，四边形 AOBC 的周长为 AO+AC+BC+OB=ABC 的周长+OB=a+4故答案为：a+4【点评】本题考查了二次函数的性质此题利用了抛物线的对称性，解题的技巧性在于把求四边形 AOBC 的周长转化为求（ABC 的周长+OB）是值三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分）15（6 分）先化简，再求值：，其中 x=10【考点】6D：分式的化简求值菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式=第 18 页（共 33 页）=，当 x=10 时，原式=【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键16（6 分）在一个不透明的袋子里装有 3 个乒乓球，分别标有数字 1，2，3，这些乒乓球除所标数字不同外其余均相同先从袋子里随机摸出 1 个乒乓球，记下标号后放回，再从袋子里随机摸出 1 个乒乓球记下标号，请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的概率【考点】X6：列表法与树状图法菁优网版权所有【专题】1：常规题型【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图得：共有 9 种等可能的结果，两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的有 5 种情况，两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的概率为：【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比17（6 分）某文具厂计划加工 3000 套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的 1.2 倍，结果提前 4 天完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量【考点】B7：分式方程的应用菁优网版权所有【专题】126：工程问题【分析】根据题意设出该文具厂原计划每天加工 x 套这种画图工具，再根据已知条件列出方程即可求出答案第 19 页（共 33 页）【解答】解：设文具厂原计划每天加工 x 套这种画图工具根据题意，得=4解得 x=125经检验，x=125 是原方程的解，且符合题意答：文具厂原计划每天加工 125 套这种画图工具【点评】本题主要考查了如何由实际问题抽象出分式方程，在解题时要能根据题意找出等量关系列出方程是本题的关键18（7 分）如图，为测量某建筑物的高度 AB，在离该建筑物底部 24 米的点 C处，目测建筑物顶端 A 处，视线与水平线夹角ADE 为 39，且高 CD 为 1.5米，求建筑物的高度 AB（结果精确到 0.1 米）（参考数据：sin39=0.63，cos39=0.78，tan39=0.81）【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题菁优网版权所有【专题】121：几何图形问题【分析】过 D 作 DEAB 于点 E，继而可得出四边形 BCDE 为矩形，DE=BC=24 米，CD=BE=1.5 米，根据ADE=39，在 RtADE 中利用三角函数求出 AE 的长度，继而可求得 AB 的长度【解答】解：过 D 作 DEAB 于点 E，四边形 BCDE 为矩形，DE=BC=24 米，CD=BE=1.5 米，在 RtADE 中，ADE=39，tanADE=tan39=0.81，AE=DEtan39=240.81=19.44（米），AB=AE+EB=19.44+1.5=20.9420.9（米）答：建筑物的高度 AB 约为 20.9 米第 20 页（共 33 页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数求解19（7 分）如图，在ABCD 中，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 是边 CD的中点，点 F 在 BC 的延长线上，且 CF=BC，求证：四边形 OCFE 是平行四边形【考点】KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形的判定与性质菁优网版权所有【专题】14：证明题【分析】利用三角形中位线定理判定 OEBC，且 OE=BC结合已知条件 CF=BC，则 OECF，由“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证得结论【解答】证明：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 O 是 BD 的中点又点 E 是边 CD 的中点，OE 是BCD 的中位线，OEBC，且 OE=BC又CF=BC，OE=CF又点 F 在 BC 的延长线上，OECF，四边形 OCFE 是平行四边形【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理此题利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质和“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”的判定定理20（7 分）某校学生会为了解本校学生每天做作业所用时间情况，采用问卷的方式对一部分学生进行调查，在确定调查对象时，大家提出以下几种方案：第 21 页（共 33 页）（A）对各班班长进行调查；（B）对某班的全体学生进行调查；（C）从全校每班随机抽取 5 名学生进行调查在问卷调查时，每位被调查的学生都选择了问卷中适合自己的一个时间，学生会收集到的数据整理后绘制成如图所示的条形统计图（1）为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案C（填 A、B 或 C）；（2）被调查的学生每天做作业所用时间的众数为1.5小时；（3）根据以上统计结果，估计该校 800 名学生中每天做作业用 1.5 小时的人数【考点】V4：抽样调查的可靠性；V5：用样本估计总体；VC：条形统计图；W5：众数菁优网版权所有【专题】27：图表型【分析】（1）收集的方法必须具有代表性，据此即可确定；（2）根据众数的定义即可求解；（3）利用总人数 800 乘以对应的比例即可求解【解答】解：（1）为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案 C；（2）众数是：1.5 小时；（3）800=304（人）则估计该校 800 名学生中每天做作业用 1.5 小时的人数是 304 人【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必第 22 页（共 33 页）要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据21（8 分）甲、乙两支清雪队同时开始清理某路段积雪，一段时间后，乙队被调往别处，甲队又用了 3 小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时的清雪量保持不变，乙队每小时清雪 50 吨，甲、乙两队在此路段的清雪总量 y（吨）与清雪时间 x（时）之间的函数图象如图所示（1）乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为270吨；（2）求此次任务的清雪总量 m；（3）求乙队调离后 y 与 x 之间的函数关系式【考点】FH：一次函数的应用菁优网版权所有【专题】31：数形结合【分析】（1）由函数图象可以看出乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为 270 吨；（2）先求出甲队每小时的清雪量，再求出 m（3）设乙队调离后 y 与 x 之间的函数关系式为：y=kx+b，把 A，B 两点代入求出函数关系式【解答】解：（1）由函数图象可以看出乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为 270 吨；故答案为：270（2）乙队调离前，甲、乙两队每小时的清雪总量为=90 吨；乙队每小时清雪 50 吨，甲队每小时的清雪量为：9050=40 吨，m=270+403=390 吨，此次任务的清雪总量为 390 吨第 23 页（共 33 页）（3）由（2）可知点 B 的坐标为（6，390），设乙队调离后 y 与 x 之间的函数关系式为：y=kx+b（k0），图象经过点 A（3，270），B（6，390），解得乙队调离后 y 与 x 之间的函数关系式：y=40 x+150【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是甲队每小时的清雪量22（9 分）探究：如图，在ABC 中，AB=AC，ABC=60，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD，连结 CD，AE，求证：ACECBD应用：如图，在菱形 ABCF 中，ABC=60，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD，连结 CD，EA，延长 EA 交 CD 于点 G，求CGE 的度数【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质；L8：菱形的性质菁优网版权所有【专题】121：几何图形问题【分析】探究：先判断出ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BC=AC，ACB=ABC，再求出 CE=BD，然后利用“边角边”证明即可；应用：连接 AC，易知ABC 是等边三角形，由探究可知ACE 和CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得E=D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出CGE=ABC 即可【解答】解：探究：AB=AC，ABC=60，ABC 是等边三角形，BC=AC，ACB=ABC，BE=AD，第 24 页（共 33 页）BE+BC=AD+AB，即 CE=BD，在ACE 和CBD 中，ACECBD（SAS）；应用：如图，连接 AC，易知ABC 是等边三角形，由探究可知ACECBD，E=D，BAE=DAG，E+BAE=D+DAG，CGE=ABC，ABC=60，CGE=60【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键，（2）作辅助线构造出探究的条件是解题的关键23（10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+bx+c 经过点（1，1），且对称轴为直线 x=2，点 P、Q 均在抛物线上，点 P 位于对称轴右侧，点 Q 位于对称轴左侧，PA 垂直对称轴于点 A，QB 垂直对称轴于点 B，且QB=PA+1，设点 P 的横坐标为 m（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）求点 Q 的坐标（用含 m 的式子表示）；（3）请探究 PA+QB=AB 是否成立，并说明理由；第 25 页（共 33 页）（4）抛物线 y=a1x2+b1x+c1（a10）经过 Q、B、P 三点，若其对称轴把四边形PAQB 分成面积比为 1：5 的两部分，直接写出此时 m 的值【考点】HF：二次函数综合题；K3：三角形的面积菁优网版权所有【专题】15：综合题【分析】（1）根据经过的点的坐标和对称轴列出关于 b、c 的方程组，然后求解得到 b、c 的值，即可得解；（2）根据点 P 在抛物线上表示点 P 的坐标，再求出 PA，然后表示出 QB，从而求出点 Q 的横坐标，代入抛物线解析式求出点 Q 的纵坐标，从而得解；（3）根据点 P、Q 的坐标表示出点 A、B 的坐标，然后分别求出 PQ、BQ、AB，即可得解；（4）根据抛物线的对称性，抛物线 y=a1x2+b1x+c1的对称轴为 QB 的垂直平分线，然后根据四边形 PAQB 被分成的两个部分列出方程求解即可【解答】解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 经过点（1，1），且对称轴为在线x=2，解得这条抛物线所对应的函数关系式 y=x24x+2；（2）抛物线上点 P 的横坐标为 m，P（m，m24m+2），PA=m2，QB=PA+1=m2+1=m1，点 Q 的横坐标为 2（m1）=3m，第 26 页（共 33 页）点 Q 的纵坐标为（3m）24（3m）+2=m22m1，点 Q 的坐标为（3m，m22m1）；（3）PA+QB=AB 成立理由如下：P（m，m24m+2），Q（3m，m22m1），A（2，m24m+2），B（2，m22m1），AB=（m22m1）（m24m+2）=2m3，又PA=m2，QB=m1，PA+QB=m2+m1=2m3，PA+QB=AB；（4）抛物线 y=a1x2+b1x+c1（a10）经过 Q、B、P 三点，抛物线 y=a1x2+b1x+c1的对称轴为 QB 的垂直平分线，对称轴把四边形 PAQB 分成面积为 1：5 的两部分，=（2m3）（2m3），整理得，（2m3）（m3）=0，点 P 位于对称轴右侧，m2，2m30，m3=0，解得 m=3【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，抛物线上点的坐标特征，三角形的面积，难点在于（4）根据抛物线的对称性判断出抛物线的对称轴为 QB 的垂直平分线24（12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，点 O 为对角线 BD 的中点，点 P 从点 A 出发，沿折线 ADDOOC 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 C运动，当点 P 与点 A 不重合时，过点 P 作 PQAB 于点 Q，以 PQ 为边向右作正方形 PQMN，设正方形 PQMN 与ABD 重叠部分图形的面积为 S（平方单位），点 P 运动的时间为 t（秒）第 27 页（共 33 页）（1）求点 N 落在 BD 上时 t 的值；（2）直接写出点 O 在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范围；（3）当点 P 在折线 ADDO 上运动时，求 S 与 t 之间的函数关系式；（4）直接写出直线 DN 平分BCD 面积时 t 的值【考点】KQ：勾股定理；KX：三角形中位线定理；LB：矩形的性质；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质；SO：相似形综合题；T1：锐角三角函数的定义菁优网版权所有【专题】16：压轴题；32：分类讨论【分析】（1）可证DPNDQB，从而有，即可求出 t 的值（2）只需考虑两个临界位置（MN 经过点 O，点 P 与点 O 重合）下 t 的值，就可得到点 O 在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范围（3）根据正方形 PQMN 与ABD 重叠部分图形形状不同分成三类，如图 4、图5、图 6，然后运用三角形相似、锐角三角函数等知识就可求出 S 与 t 之间的函数关系式（4）由于点 P 在折线 ADDOOC 运动，可分点 P 在 AD 上，点 P 在 DO 上，点 P 在 OC 上三种情况进行讨论，然后运用三角形相似等知识就可求出直线DN 平分BCD 面积时 t 的值【解答】解：（1）当点 N 落在 BD 上时，如图 1四边形 PQMN 是正方形，PNQM，PN=PQ=tDPNDQBPN=PQ=PA=t，DP=3t，QB=AB=4，第 28 页（共 33 页）t=当 t=时，点 N 落在 BD 上（2）如图 2，则有 QM=QP=t，MB=4t四边形 PQMN 是正方形，MNDQ点 O 是 DB 的中点，QM=BMt=4tt=2如图 3，四边形 ABCD 是矩形，A=90AB=4，AD=3，DB=5点 O 是 DB 的中点，DO=1t=AD+DO=3+t=当点 O 在正方形 PQMN 内部时，t 的范围是 2t（3）当 0t时，如图 4S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2当t3 时，如图 5，tanADB=，第 29 页（共 33 页）=PG=4tGN=PNPG=t（4t）=4tanNFG=tanADB=，NF=GN=（4）=t3S=S正方形PQMNSGNF=t2（4）（t3）=t2+7t6当 3t时，如图 6，四边形 PQMN 是正方形，四边形 ABCD 是矩形PQM=DAB=90PQADBQPBAD=BP=8t，BD=5，BA=4，AD=3，BQ=，PQ=QM=PQ=BM=BQQM=tanABD=，FM=BM=S=S梯形PQMF=（PQ+FM）QM第 30 页（共 33 页）=+=（8t）2=t2t+综上所述：当 0t时，S=t2当t3 时，S=t2+7t6当 3t时，S=t2t+（4）设直线 DN 与 BC 交于点 E，直线 DN 平分BCD 面积，BE=CE=点 P 在 AD 上，过点 E 作 EHPN 交 AD 于点 H，如图 7，则有DPNDHEPN=PA=t，DP=3t，DH=CE=，EH=AB=4，解得 t=点 P 在 DO 上，连接 OE，如图 8，则有 OE=2，OEDCABPNDPNDOEDP=t3，DO=，OE=2，PN=（t3）PQ=（8t），PN=PQ，第 31 页（共 33 页）（t3）=（8t）解得：t=点 P 在 OC 上，设 DE 与 OC 交于点 S，连接 OE，交 PQ 于点 R，如图 9，则有 OE=2，OEDCDSCESOSC=2SOOC=，SO=PNABDCOE，SPNSOESP=3+t=，SO=，OE=2，PN=PRMNBC，ORPOECOP=t，OC=，EC=，PR=QR=BE=，PQ=PR+QR=PN=PQ，=解得：t=第 32 页（共 33 页）综上所述：当直线 DN 平分BCD 面积时，t 的值为、第 33 页（共 33 页）【点评】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，考查了用割补法求五边形的面积，考查了用临界值法求 t 的取值范围，考查了分类讨论的数学思想，综合性较强，有一定的难度