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言,功率谱定义,预计质量评价,功率谱预计方法,功率谱预计应用,2/73,1,、功率谱定义,信号功率谱和其自相关函数服从一对傅里叶变换关系,3/73,对于平稳随机信号，服从各态历经定理，集合平均能够用时间平均代替,令,l=n+m,则,4/73,2,、预计质量评价,无偏性：,一致性：,5/73,3,、功率谱预计方法,经典谱预计方法,间接方法：,BT,法,直接方法：周期图法,当代谱预计方法,参数法：,ARMA,模型法（,AR,模型、,MA,模型、,ARMA,模型）,非参数法：谐波分解法、多分量法,6/73,4,、功率谱预计应用,在信号处理许多场所，要求预先知道信号功率谱密度(或自相关函数)；,经常利用功率谱预计来得到线性系统参数预计；,从宽带噪声中检测窄带信号。,7/73,4.2,经 典 谱 估 计,BT法,周期图法,改进周期图法,8/73,4.2.1 BT,法,BT,法是先预计自相关函数,然后进行傅里叶变换得到功率谱。,有偏自相关函数预计误差相对较小，是一个渐近一致预计：,9/73,4.2.2,周期图法,周期图法定义以下,:,10/73,1.,周期图与,BT,法等价关系,令,m=k-n,即,k=m+n,，则,利用有偏自相关函数,BT,法和周期图法是等价。,11/73,2.,周期图法谱预计质量分析,1),周期图偏移,式中,12/73,上,式在频域表示为：,式中,周期图统计平均值等于它真值卷积三角谱窗函数，所以周期图是有偏预计，但当,N,时，,w,B,(,m,)1,，三角谱窗函数趋近于,函数，周期图统计平均值,趋于它真值，所以周期图属于渐近无偏预计。,13/73,2),周期图方差,为分析简单起见，假设,x,(,n,),是实零均值正态白噪声信号，方差是,x,2,，即功率谱是常数,x,2,，其周期图用,I,N,(,),表示，,N,表示观察数据长度。,用这种方法预计功率谱在,2,x,附近起伏很大，故周期图是非一致预计，是一个很差功率谱预计方法。,14/73,图,4.2.2,白噪声周期图,15/73,4.2.3,经典谱预计方法改进,Bartlett平均周期图法,窗口处理法平均周期图,Welch法（修正周期图求平均法）,16/73,1.Bartlett,平均周期图法,主要思想：,对序列,x,(,n,),进行,L,次独立观察或将其分成,L,段，计算每组观察数据,周期图，再将,L,个周期图加和后求平均,。,17/73,假设随机信号,x,(,n,),观察数据区间为：,0,n,M,-1,，共进行了,L,次独立观察，得到,L,组统计数据，每一组统计数据用,x,i,(,n,),i,=1,2,3,L,表示；,或对长为,N,数据,x,(,n,),分成,L,段，每段有,M,个数据，,N=LM,，第,i,段数据表示为,x,i,(,n,)=,x,(,n+iM-M,),。,第,i,组周期图用下式表示：,预计方法：,18/73,将得到,L,个周期图进行平均，作为信号,x,(,n,),功率谱预计，,公式以下：,19/73,预计效果分析：,平均周期图预计方差是周期图方差,1/,L,，,L,越大方差越小，功率谱越平滑；对应，,M,越小，偏移越大，分辨率越低；,预计均方误差也降低；,以分辨率降低换取了预计方差降低，预计量方差和分辨率是一对矛盾。,20/73,图,4.2.3,平均周期图法,21/73,2,、窗口处理法平均周期图,主要思想：,用一适当功率谱窗函数,W,(e,j,),与周期图进行卷积，来到达使周期图平滑目标。,22/73,式中,-(,M,-1),n,M,-1,预计方法：,那么,23/73,又,偏移分析：,预计效果分析：,可得,周期图窗函数法依然是有偏预计,其偏移和,w,B,(,m,),、,w,(,m,),两个窗函数相关。,24/73,假如,w,(,m,),窗宽度比较窄，,M,比,N,小得多，这么,|,m,|,p,44/73,4.4 AR,谱预计方法,AR,谱预计方法可归结为求解,AR,模型系数或线性预测器系数问题。,AR,模型参数预计方法：,信号预测误差最小标准（或预测误差功率最小）,自相关法（,Levison,递推法）,Burg,法,协方差法,修正协方差法（前后向线性预测最小二乘法）,最大熵标准,最大熵谱预计方法,45/73,1,、,自相关法,列文森（,Levinson,）递推,预计方法：,自相关法出发点是选择,AR,模型参数使预测误差功率最小；采取,Levison-Durbin,递推方法求解,Yule-Walker,方程得到,AR,模型参数。,46/73,预测误差功率为,假设信号,x,(,n,),数据区间在,0,n,N,-1,范围，有,P,个预测系数，,N,个数据经过冲激响应为,a,pi,(,i,=0,1,2,P,),滤波器，输出预测误差,e,(,n,),长度为,N+P,，所以应用下式计算,:,47/73,预测误差功率最小，得到,48/73,采取,Levinson-Durbin,递推法求解,Yule-Walker,方程：,由,k,=1,开始递推，递推到,k=p,，依次得到,a,11,2,1,，,a,21,a,22,2,2,，,，,a,p,1,a,p,2,a,pp,2,p,。,AR,模型各个系数以及模型输入白噪声方差求出后，信号功率谱用下式计算：,49/73,图,4.5.1,利用列文森递推法计算功率谱流程图,50/73,性能分析：,该方法需要基于有限观察数据预计自相关序列，当数据长度较短时，预计误差会比较大，,AR,参数计算就会引入很大误差。从而造成功率谱预计出现谱线分裂与谱峰频率偏移等现象。,51/73,2,、,伯格（,Burg,）递推法,预计方法：,直接由时间序列计算,AR,模型参数方法，求前、后向,预测误差平均功率,最小时反射系数,k,p,，进而求,AR,模型参数,a,k,和,2,w,。,52/73,设信号,x,(,n,),观察数据区间为：,0,n,N,-1,，前向、后向预测误差功率分别用,p,e,和,p,b,表示，预测误差平均功率用,p,为,其中，前向、后向预测误差公式分别为,53/73,求预测误差平均功率,p,最小时反射系数,k,p,，令,基于反射系数,k,p,，,由,Levinson-Durbin,递推关系求,AR,模型参数,a,k,和,2,w,，进而求得功率谱,P,xx,54/73,图,4.5.2,伯格递推法流程图,55/73,性能分析：,该方法防止了采取有限数据预计自相关函数计算，适合短序列参数预计，克服了,L-D,递推中一些缺点，计算量小。,但对正弦信号谱预计，仍存在一些谱线分裂与频率偏移现象。,56/73,3,、,协方差法与修正协方差法,（,1,）,.,协方差法,预计方法：,利用使预测误差功率最小方法求模型参数,该公式中使用观察数据均已得到，不需要在数据两端补充零点，所以比较自相关法去掉了加窗处理不合理假设。,57/73,性能分析：,适合用于非平稳信号；,一些试验结果说明它分辨率优于自相关法，另外对于纯粹弦信号数据，能够有效地预计正弦信号频率。,58/73,（,2,）,.,修正协方差法（前后向线性预测最小二乘法）：,预计方法：,修正协方差法使用前向和后向预测误差平均值最小方法，预计,AR,模型参数，进而预计信号功率谱。,59/73,前向和后向预测误差功率,pe,、,pb,分别用下式表示：,预测误差平均功率最小,60/73,性能分析：,该,方法去掉了,Burg,法所用,Levinson,约束条件，预计得到谱在谱线分裂和频率偏移时较,Burg,法有较大改进；该方法也适合用于非平稳信号。,61/73,几个方法比较：,自相关法能够用,Levinson,递推算法，运算量小，但分辨率受窗长度限制；,协方差法，去除了自相关法加窗处理不合理假设，分辨率高，运算量较大；,修正协方差法，分辨率高，在谱线分裂和偏移上较,Burg,法有较大改进，运算量大；,Burg,算法，可用改进,Levinson,递推算法，分辨率高，但对正弦信号存在谱线分裂和偏移现象。,62/73,例,4.5.1,已知信号四个观察数据为,x,(,n,)=,x,(0),x,(1),x,(2),x,(3)=2,4,1,3,，分别用自相关法和协方差法预计,AR,（,1,）模型参数。,解,（,1,）自相关法：,63/73,(2),协方差法,:,64/73,4,、,关于,AR,模型阶次选择,对于白噪中,AR,信号，其阶次选择应折衷考虑。,如选择,AR,模型，其阶次应加大，较低阶次会使谱预计产生偏移，降低分辨率。,信噪比愈低，平滑作用愈严重，愈需要高阶次，所以信噪比低应选高阶次。,阶次愈高，分辨率愈高；但阶次太高，会使预计误差加大，谱峰分裂。,65/73,图,4.5.3 AR,模型阶次太小时平滑作用,66/73,最终预测误差（,FPE,）准则,阿凯克信息论准则,自回归传递函数准则（,CAT,）,67/73,4.5,最大熵谱预计,预计思想：,采取最大熵标准，外推自相关函数方法预计信号功率谱。它基于将已知有限长度自相关序列以外数据用外推方法求得，而不是把它们看成是零。,68/73,1.,利用最大熵标准外推自相关函数,按照,Shannon,对熵定义，,当随机变量,X,取离散值时，熵定义为,式中,p,i,是出现实状况态,i,概率。当,X,取连续值时，熵定义为,式中,p,(,x,),是,X,概率密度函数，,69/73,先讨论一维,高斯分布信号熵，然后推广到,N,维。,假设,x,(,n,),是零均值正态分布平稳随机序列，它,N,维高斯概率密度函数为,70/73,同理可求得,N,维高斯分布信号熵为,式中,det(,R,xx,(,N,),表示矩阵,R,xx,(,N,),行列式，由上式表明为使熵最大，要求,det(,R,xx,(,N,),最大。,71/73,用最大熵方法外推,r,xx,(,N,+1),：,设,r,xx,(,N,+1),是信号自相关函数第,N,+2,个值，依据自相关函数性质，由,N,+2,个自相关函数组成矩阵为,为选择,r,xx,(,N,+1),使,det(,R,xx,(,N,+1),最大，解以下方程：,72/73,用数学归纳法，得到,上式是,r,xx,(,N,+1),一次函数，能够解出,r,xx,(,N,+1),。以这类推，可推出任意多个其它自相关函数值，而无须假设它们为零，这就是最大熵谱预计基本思想。,73/73,