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数列与递进
知识、方法、技能

数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题.
所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a1, a2, …,an, …通常简记为{an}.如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.
从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式.
对于数列{an}，把Sn=a1+a2+…+an叫做数列{an}的前n项和，则有

I．等差数列与等比数列
1．等差数列
（1）定义：
（2）通项公式：an=a1+(n－1)d .
（3）前n项和公式：
（4）等差中项：
（5）任意两项：an=am+(n－m)d.
（6）性质：
①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n的一次函数；
②公差为非零的等差数列的充要条件是前n项和公式为n的不含常数项的二次函数；
③设{an}是等差数列，如果m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么am+an=ap+aq;
④设Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sm, S2m－Sm, S3m－S2m, …, Spm－S(p－1)m(m>1,p≥3，m、p∈N*)仍成等差数列；
⑤设Sn是等差数列{an}的前n项和，则是等差数列；
⑥设{an}是等差数列，则{λan+b}(λ,b是常数)是等差数列；
⑦设{an}与{bn}是等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1，λ2是常数）也是等差数列；
⑧设{an}与{bn}是等差数列，且bn∈N*，则{abn}也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；
⑨设{an}是等差数列，则{}（c>0, c≠1）是等比数列.
2．等比数列
（1）定义：
（2）通项公式：an=a1qn－1.
（3）前n项和公式：
（4）等比中项：
（5）任意两项：an=amqn－m.
（6）无穷递缩等比数列各项和公式：
S=
（7）性质：
①设{an}是等比数列，如果m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么am·an=ap·aq；
②设Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sm, S2m－Sm, S3m－S2m, …，
Spm－S(p－1)m(m>1, p≥3，m、n∈N*)仍为等比数列；
③设{an}是等比数列，则{λan}（λ是常数）、{}（m∈Z*）仍成等比数列；
④设{an}与{bn}是等比数列，则{an·bn}也是等比数列；
⑤设{an}是等比数列，{bn}是等差数列，bn∈Z*，则{abn}是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；
⑥设{an}是正项等比数列，则{logcan}(c>0, c≠1)是等差数列.

赛题精讲
例1 设数列{an}的前n项和Sn=2an－1(n=1, 2,…)，数列{bn}满足b1=3, bk+1=bk+ak(k=1,2，…)，求数列{bn}的前n项之和.
（1996年全国数学联赛二试题1）
【思路分析】欲求数列{bn}前n项和，需先求bn. 由ak=bk+1－bk, 知求ak即可，利用
ak=Sk－Sk－1(k=2, 3, 4,…)可求出ak.
【略解】由Sn=2an－1和a1=S1=2a1－1,得a1=1, 又an=Sn－Sn－1=2an－2an－1,即an=2an－1,因此{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则有an=2n－1.
由ak=bk+1－bk，取k=1,2,…,n－1得
a1=b2－b1, a2=b3－b2, a3=b4－b3, …, an－1=bn－bn－1,将上面n－1个等式相加，得bn－b1=a1+a2+…+an. 即bn=b1+a1+a2+…+an=3+(1+2+22+…+2n－1)=2n－1+2,所以数列{bn}的前n项和为
Sn′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+…+（2+2n－1）=2n+2n－1.
【评述】求数列的前n 项和，一般情况必须先研究通项，才可确定求和的方法.
例2 求证：若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则此三角形必是正三角形.
【思路分析】由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，知∠B=60°，三个角可设为60°－d, 60°, 60°+d，其中d为常数；又由对应的三边a、b、c成等比数列，知b2=ac，或将三边记为a、aq、aq2，其中q为正常数，由此知要证此三角形为正三角形只须证明d=0或q=1或a=b=c.
【证】设△ABC的三个内角为A、B、C及其对边a、b、c，依题意b2=ac, ∠B=60°.
【方法1】由余弦定理，得
整理得(a－c)2=0因此a=c.
故△ABC为正三角形.
【方法2】设a、b、c三边依次为a、aq、aq2，由余弦定理有
cosB=,整理得q4－2q2+1=0,解得q=1, q=－1（舍去）
所以a=b=c,故此△ABC为正三角形.
【方法3】因为b2=ac, 由正弦定理：
(2RsinB)2=2RsinA·2RsinC（其中R是△ABC外接圆半径）即sin2B=sinA·sinC，把
B=60°代入得sinA·sinC=，整理得[cos(A－C)－cos(A+C)=，即cos(A－C)=1,所以A=C，且∠B=60°，故此△ABC为正三角形.
【方法4】将60°－d, 60°, 60°+d代入sin2B=sinAsinC,
得sin(60°－d)·sin(60°+d)= ，即[cos(2d)－cos120°]= .
得cos2d=1, d=0°,所以∠A=∠B=∠C，故△ABC为正三角形.
【评述】方法1、2着眼于边，方法3、4着眼于角.
例3 各项都是正数的数列{an}中，若前n项的和Sn满足2Sn=an+,求此数列的通项公式.
【思路分析】 在Sn与an的混合型中，应整理成数列{Sn}的递推式或数列{an}的递推式，然后用递推关系式先求出Sn，再求an，或直接求an.本题容易得到数列{Sn}的递推式，利用an=Sn－Sn－1先求出Sn，再求an即可.
【解】n≥2时，将an=Sn－Sn－1代入2Sn=an+,得2Sn=Sn－Sn－1+,整理得
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
即当n=1时，由2S1=a1+,得a1=1也满足.
故数列{an}的通项公式为.
【评述】处理本例的思想方法，可用来求满足Sn与an混合型中的通项公式.
例4 设数列{an}的前n项和Sn与an的关系为Sn=－ban+1－，其中b是与n无关的常数，且b≠－1.（1）求an与an－1的关系式；
（2）写出用n与b表示an的表达式.
【思路分析】利用Sn=an－an－1(n≥2)整理出数列{an}的递推关系式求an.
【解】（1）
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=
－ban+1－,整理得

两边同乘以2n，得2nan=2n－1an－1+,可知数列{2nan}是以2a=为首项，公差为的等差数列.所以
当b≠1，b≠－1时，
由（*）式得(1+b)nan=b(1+b)n－1an－1+

从而数列{cn－cn－1}就是一个等比数列，n取2，3，…，n得

故数列{an}的通项公式为

【评述】构造辅助数列是解由递推关系式给出数列求通项的一个基本方法，本例构造了辅助数列{cn}、{cn－cn－1}，使数列{cn－cn－1}为等比数列，化未知为已知，从而使问题获解.
例5 n2(n≥4)个正数排成n行n列
a11 a12 a13 a14…… a1n
a21 a22 a23 a24…… a2n
a31 a32 a33 a34…… a3n
a41 a42 a43 a44…… a4n
… … … … …… …
an1 an2 an3 an4…… ann
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24=1,
a42=，a43=,求a11+a22+a33+…+ann.（1990年全国高中数学联赛试题）
【思路分析】求和需要研究a11和akk，又每列成等比数列且公比相等，只需要研究a1k和q,又每行成等差数列，需要求得an和第一行的公差d，因而本题利用已知建立an、d和q之间关系，使问题获解.
【解】设第一行数列公差为d，各列数列公比为q.因为2a43=a42+a44,
所以a44=2a43－a42=2×－=.又因为a44=a24·q2=q2,所以q=,于是有

解此方程组，得d=,a11=.
对于任意的1≤k≤n,有

【评述】数列求和应先研究通项，通项cn=anbn，其中{an}成等差为九列，{bn}为等比数列，数列{cn}的求和用错项相减去.
例6 将正奇数集合{1，3，5，…}从小到大按第n组有(2n－1)奇数进行分组：{1}, {3,5,7} , {9, 11, 13, 15, 17}, … （第1组）（第2组）（第3组）
问1991位于第几组中？
（1991年全国高中数学联赛试题）
【思路分析】思路需要写出第n组的第1个数和最后一个数，1991介于其中，而第n组中最后一个数是第（1+3+…+2n－1）=n2个奇数为2n2－1.
【解】因为1+3+5+…+(2n－1)=n2
所以前n组共含有奇数n2个，第n组最后一个数即第n2个奇数为2n2－1,第n组第一个数即第n－1组最后一个数后面的奇数为[2(n－1)2－1]+2=2(n－1)2+1.由题意，有不等式
2(n－1)2+1≤1991≤2n2－1.
解得(n－1)2≤995且n2≥996，从而n≤32且n≥32，
故n=32，即1991位于第32组中.
【评述】应用待定的方法，假定位于第n组中然后确定n即可.
例7 设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是前n项和，证明

（1995年全国高考题）
【思路分析】要证原结论成立，只需证SnSn+2<成立，用等比数列前n项和公式表示或建立Sn、Sn+1、Sn+2的关系，用比较法证之.
【证法1】设{an}的公比为q,由题设知a1>0, q>0.
（1）当q=1时，Sn=na1，从而
SnSn+2－=na1(n+2)a1－(n+1)2=－<0.
（2）当q≠1时，

由①、②知
根据对数函数的单调性，得

【证法2】设{an}的公比为q，由题设知a1>0, q>0.
因为Sn+1+=a1+qSn, Sn+2=a1+qSn+1,
所以SnSn+2－=Sn(a1+qSn+1)－(a1+qSn)Sn+1=a1(Sn－Sn+1)
=－a1(Sn+1－Sn)
=－a1an+1<0.
即（以下同证法1）.
【评述】明确需要证，建立Sn、Sn+1、Sn+2之间的关系较为简单.

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