高中数学-坐标系与参数方程教案(教师版)-新人教A版选修4-4.doc

数学选修4-4 坐标系与参数方程（教师版）
主干知识
一、坐标系1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）
① 设M是平面上的任一点，表示OM的长度，表示以射线OX为始边，射线OM为终边所成的角。那么有序数对称为点M的极坐标。其中称为极径，称为极角。
约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。
4．直角坐标与极坐标的互化
以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为（x，y）和，则

二、曲线的极坐标方程
1．直线的极坐标方程：若直线过点，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：
几个特殊位置的直线的极坐标方程
（1）直线过极点 （2）直线过点且垂直于极轴 （3）直线过且平行于极轴
图：

方程：
2．圆的极坐标方程： 若圆心为，半径为r的圆方程为：

几个特殊位置的圆的极坐标方程
（1）当圆心位于极点 （2）当圆心位于 （3）当圆心位于
图：
方程：
3．直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化
利用：

三、参数方程
1．参数方程的意义
在平面直角坐标系中，若曲线C上的点满足，该方程叫曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数
2．参数方程与普通方程的互化
（1）参数方程化为普通方程
常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
⑴（为参数）； ⑵

（3） （4）（t为参数）
（5）（为参数）
☆参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！
（2）普通方程化为参数方程
常见化普通方程为参数方程，
1、圆的参数方程。
2、经过点P。
3、椭圆的参数方程。
4、抛物线
普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样。
二、考点阐述
考点1、极坐标与直角坐标互化
例题1、在极坐标中，求两点之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。

练习1.1、已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为 ．
【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。
1．2. （宁夏09）已知圆C：，则圆心C的极坐标为_______
答案：（ ）

练习1.2（2009丹东）（1）已知点c极坐标为，求出以C为圆心，半径r=2的圆的极坐标方程（写出解题过程）；
（2）P是以原点为圆心，r=2的圆上的任意一点，，M是PQ中点，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程。

（2）依题意

考点2、极坐标与直角坐标方程互化
例题2、福建省龙岩市2009年
已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是参数），点是曲线上的动点，点是直线上的动点，求||的最小值．
解：曲线的极坐标方程可化为,
其直角坐标方程为，即. ……………（3分）
直线的方程为.
所以，圆心到直线的距离 ……………………（6分）
所以，的最小值为. …………………………（10分）
练习2.1、（沈阳二中2009）设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点。
(1) 求圆C的极坐标方程；
(2) 求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．
解：圆的极坐标方程为……4分
设点的极坐标为，点的极坐标为，
∵点为线段的中点， ∴， ……7分
将，代入圆的极坐标方程，得
∴点轨迹的极坐标方程为，它表示圆心在点，半径为的圆． ……10分
练习2.2
考点3、参数方程与直角坐标方程互化
例题3：（2009学年海南省）已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．
（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．
解：（1）由得

∴曲线的普通方程为
∵
∴
∵
∴，即
∴曲线的直角坐标方程为
…………………………………（５分）
（2）∵圆的圆心为，圆的圆心为
∴
∴两圆相交
设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段
∴
∴
∴公共弦长为……………………（10分）
练习3.1（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程.
已知曲线C：为参数，0≤<2π)，
（Ⅰ）将曲线化为普通方程；
（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．
（Ⅰ） … 5分
（Ⅱ） … 10分
练习3.2（08海南）已知曲线C1：，曲线C2：。
（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，。写出，的参数方程。与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。
考点4：利用参数方程求值域
例题4、（2008年宁夏）
在曲线：上求一点，使它到直线：的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。
解：直线C2化成普通方程是x+y-2-1=0……………………………………2分
设所求的点为P（1+cos,sin),……………………………………………3分
则C到直线C2的距离d=…………………………5分
=|sin(+)+2|……………………………………7分
当时，即=时，d取最小值1………………………………9分
此时，点P的坐标是（1-，-）……………………………………10分
练习4.1
（09厦门）在平面直角坐标系xOy中，动圆的圆心为 ，求的取值范围..
【解】由题设得（为参数，R）. …………………………3分
于是
， ………………………6分
所以 . ………………………10分
练习4.2．（宁夏09）（本小题满分10分）
已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为
参数）．
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值.
答案：（本小题满分10分）
解：（1）曲线的极坐标方程可化为：

又 .
所以，曲线的直角坐标方程为：
.
（2）将直线的参数方程化为直角坐标方程得：
令 得 即点的坐标为
又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，
则
∴
考点5：直线参数方程中的参数的几何意义
例题5：2009年泉州
已知直线经过点,倾斜角，
①写出直线的参数方程;
②设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积.
解 （1）直线的参数方程为，即． 3分
（2）把直线代入，
得，， 6分
则点到两点的距离之积为． 10分
练习5.1抚顺一中2009
求直线（）被曲线所截的弦长.
解：将方程，分别化为普通方程：
，--------------------------------------(5分)
-------------------------------------------------------------------------10分
练习5.2大连市2009
已知直线
（I）求直线l的参数方程；
（II）设直线l与圆相交于M、N两点，求|PM|·|PN|的值。
解：（Ⅰ）的参数方程为，
即。 …………5分
（Ⅱ）由
可将，化简得。
将直线的参数方程代入圆方程得
∵，∴。 …………10分

练习5.3（宁夏09）若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（）
A． B． C．— D．－
答案：（C ）
3、（宁夏09）极坐标方程ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ）
A． 2 B． C． 1 D．
答案：（ D）
一、选择题
1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．下列在曲线上的点是（ ）
A． B． C． D．
3．将参数方程化为普通方程为（ ）
A． B． C． D．
4．化极坐标方程为直角坐标方程为（ ）
A． B． C． D．
5．点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．极坐标方程表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
7．圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．直线的斜率为______________________。
9．参数方程的普通方程为__________________。
10．已知直线与直线相交于点，又点，
则_______________。
11．直线被圆截得的弦长为______________。
12．直线的极坐标方程为____________________。
13．极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为_____________。
三、解答题
1．已知点是圆上的动点，
（1）求的取值范围；

（2）若恒成立，求实数的取值范围。

2．求直线和直线的交点的坐标，及点
与的距离。

3．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。

4、（宁夏09）已知椭圆C的极坐标方程为，点F1，F2为其左，右焦点，直线的参数方程为．
（1）求直线和曲线C的普通方程；
（2）求点F1，F2到直线的距离之和.

数学选修4-4 坐标系与参数方程
一、选择题
1．D
2．B 转化为普通方程：，当时，
3．C 转化为普通方程：，但是
4．C
5．C 都是极坐标
6．C
则或
二、填空题
1．
2．
3． 将代入得，则，而，得
4． 直线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为
5． ，取
三、解答题
1．解：（1）设圆的参数方程为，

（2）

2．解：将代入得，
得，而，得
3．解：设椭圆的参数方程为，

当时，，此时所求点为。
4解: （Ⅰ） 直线普通方程为； ………………………………3分
曲线的普通方程为． ……………6分
（Ⅱ） ∵,， …………………7分
∴点到直线的距离 …………………8分
点到直线的距离 ………………9分
∴ ……………10分

12
用心 爱心 专心