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具有弱Allee效应的离散染病捕食系统的分支分析.pdf
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1、收稿日期:2 0 2 2 1 1 2 5基金项目:陕西省自然科学基础研究计划项目(2 0 2 1 J M-4 4 5)。作者简介:李航航(1 9 9 7),男,陕西宝鸡人,硕士研究生。通信作者:胡新利(1 9 7 5),女,陕西渭南人,副教授,博士。E-m a i l:h u x i n l i 1 2 6.c o m。第3 5卷第4期2 0 2 3年 8月沈阳大学学报(自然科学版)J o u r n a l o fS h e n y a n gU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e)V o l.3 5,N o.4A u g.2023文章编
2、号:2 0 9 5-5 4 5 6(2 0 2 3)0 4-0 3 5 6-0 7具有弱A l l e e效应的离散染病捕食系统的分支分析李航航,胡新利*(西安工程大学 理学院,陕西 西安 7 1 0 0 4 8)摘 要:建立了食饵具有双线性疾病发生率、捕食者具有寻求配偶的弱A l l e e效应的食饵 捕食者模型,使用前向欧拉法对系统离散化,并进行了分支分析。首先,通过平衡态分析,获得了离散系统平衡点的存在性,并得到了正平衡点稳定性的充分必要条件;然后,应用n维离散系统发生分支的显式判据,证明了系统正平衡点处发生N e i m a r k-S a c k e r分支和F l i p分支;最后
3、,利用数值模拟验证支持了理论结果。结果表明,A l l e e效应能够恢复系统的稳定。关 键 词:A l l e e效应;食饵-捕食者系统;稳定性;N e i m a r k-S a c k e r分支;F l i p分支中图分类号:O 1 7 5 文献标志码:AB i f u r c a t i o n A n a l y s i so fa D i s c r e t eI n f e c t e d-P r e d a t o rS y s t e mW i t hW e a kA l l e eE f f e c tL IH a n g h a n g,HUX i n l i(S c
4、h o o l o fS c i e n c e,X i a nP o l y t e c h n i cU n i v e r s i t y,X i a n7 1 0 0 4 8,C h i n a)A b s t r a c t:Ap r e y-p r e d a t o rm o d e lw i t hb i l i n e a rd i s e a s ei n c i d e n c er a t ei nt h ep r e ya n dw e a kA l l e ee f f e c ti nt h ep r e d a t o rw a se s t a b l i s
5、 h e d.T h es y s t e m w a sd i s c r e t i z e db yt h ef o r w a r dE u l e rm e t h o d,a n dt h eb i f u r c a t i o na n a l y s i sw a sc a r r i e do u t.F i r s t l y,t h ee x i s t e n c eo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n to f t h ed i s c r e t es y s t e m w a so b t a i n e db yt h e
6、e q u i l i b r i u ms t a t ea n a l y s i s,a n dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h es t a b i l i t yo f t h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mp o i n tw e r eo b t a i n e d.T h e n,t h e N e i m a r k-S a c k e r b i f u r c a t i o n a n d F l i p b
7、 i f u r c a t i o n a tt h e p o s i t i v ee q u i l i b r i u mp o i n t o f t h e s y s t e mw e r ep r o v e db yu s i n g t h e e x p l i c i t c r i t e r i o no f b i f u r c a t i o no fn-d i m e n s i o n a ld i s c r e t es y s t e m.F i n a l l y,t h et h e o r e t i c a lr e s u l t s w
8、 e r ev e r i f i e db yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n.T h er e s u l t ss h o wt h a t t h eA l l e ee f f e c t c a nr e s t o r e t h es t a b i l i t yo f t h es y s t e m.K e yw o r d s:A l l e ee f f e c t;p r e y-p r e d a t o rs y s t e m;s t a b i l i t y;N e i m a r k-S a c k e rb i
9、f u r c a t i o n;F l i pb i f u r c a t i o n 传染病传播在种群动力学的研究中是不可避免的。生态学中传染病的预防和控制日益成为人们关注的热点13。在简单的2种群系统中,无论是食饵还是捕食者,疾病的引入增加了2种群相互作用系统中发生混沌的机会。因此,为了有效控制混沌行为,考虑的其中因素之一就是A l l e e效应45。为了研究A l l e e效应对2维离散系统的稳定性影响,W a n g等6将A l l e e效应引入离散的捕食模型的结果表明,A l l e e效应使平衡点到达稳定状态所需时间更少,而且使灭绝的物种存活了下来,A l l e e效
10、应增加了系统的稳定性。C e l i k等7考虑了具有和不具有A l l e e效应的离散食饵 捕食者模型,结果表明A l l e e效应对种群动态具有稳定作用。C h e n等8研究了具有A l l e e效应离散食饵 捕食者模型的动力性质。利用中心流行定理和分支理论得到了系统发生F l i p分支和N e i m a r k-S a c k e r分支的条件。随着A l l e e常数的增加(在有限制内),动力学行为和复杂的不稳定状态转变为稳定状态。因此,本文研究的主要目的是3维离散系统的混沌现象如何通过正密度依赖增长因子(即弱A l l e e效应)来控制。本文易感者食饵和捕食者均考虑了
11、密度制约,且食饵染病后不具有生育能力。食饵具有双线性疾病发生率,并且食饵染病后不能恢复。捕食者具有寻求配偶的A l l e e效应。由于食饵染病后活动能力减弱,更容易被捕食者捕获,所以假设捕食者仅捕食染病食饵。建立具体模型如下:dSd=r0S1-S+IK1-S I;dId=S I-0I P-d0I;dPd=a0P1-PK2PP+m0+0I P。(1)式中:S和I分别是时刻易感者食饵和染病食饵的种群密度;P表示时刻捕食者的种群密度;r0和a0分别表示易感者食饵和捕食者的内禀增长率;K1和K2分别是易感者食饵和捕食者的最大环境容纳量;表示传染率系数;0表示染病食饵被捕食系数;d0表示染病食饵的死亡
12、率;0表示捕食转换系数;PP+m0表示正密度依赖因子(弱A l l e e函数),它被认为是雌性在生殖期间找到并与之交配至少1只雄性的概率,m0表示个体搜索效率的倒数,称为A l l e e参数。所有参数均为正常数。对系统(1)进行归一化处理得:dSdt=r S(1-S-I)-S I;dIdt=S I-I P-d I;dPdt=a P(1-P)PP+m+I P。(2)式中,r=r0K1,=0K2K1,d=d0K1,a=a0K1,m=m0K2,=0。为了研究离散系统丰富的动力学行为,使用前向欧拉法对系统(2)离散化,得到如下3维离散系统:Sn+1=Sn+h(r Sn(1-Sn-In)-SnIn)
13、;In+1=In+h(SnIn-InPn-d In);Pn+1=Pn+h(a Pn(1-Pn)PnPn+m+InPn)。(3)式中,Sn,In和Pn分别是n世代易感者食饵、染病食饵和捕食者的种群密度;h为步长,其他参数同系统(2)。1 平衡点的存在性和稳定性系统(3)的平衡点可以通过如下代数方程求得:r S(1-S-I)-S I=0;S I-I P-d I=0;a P(1-P)PP+m+I P=0。(4)通过求解方程组(4),可得到定理1。定理1 系统(3)有以下6个平衡点:1)总存在无病平衡点E0(0,0,0),E1(1,0,0),E2(0,0,1),E3(1,0,1);2)当d1时,食饵存
14、在捕食者灭绝的平衡点E4(d,r(1-d)/(r+1),0);3)当P*(1-d)/且d1时,存在唯一正平衡点E*(S*,I*,P*)。其中:S*=P*+d;I*=r(1-P*-d)r+1;753第4期 李航航等:具有弱A l l e e效应的离散染病捕食系统的分支分析 P*=a(r+1)+r(1-d-m)+(a(r+1)+r(1-d-m)2+4rm(1-d)(a(r+1)+r)2(a+a r+r)。对系统(3)的唯一正平衡点E*(S*,I*,P*)进行稳定性分析,需引入引理1。引理19 考虑如下3次特征方程F()=3+C12+C2+C3=0。(5)式中,C1,C2,C3是实系数。因此,特征方
15、程(5)所有的特征根都位于开的单位圆盘内的充分必要条件为C1+C31+C2,C1-3C33-C2,C23+C2-C3C11。定理2 假设P*(1-d)/且d1,系统(3)唯一正平衡点E*(S*,I*,P*)是局部渐近稳定的,当且仅当D1+D31+D2,D1-3D33-D2,D23+D2-D3D11。其中:D1=-3+h r S*+h N;D2=3-2h(N+r S*)+h2(r N S*+(r+1)S*I*+I*P*);D3=-(1-h r S*)(1-h N)-h2(r+1)(1-h N)S*I*-h2(1-h r S*)I*P*。(6)证明 当P*(1-d)/且d1时,系统(3)在唯一正平
16、衡点E*(S*,I*,P*)处的雅可比矩阵为J(E*)=1-h r S*-h(r+1)S*0h I*1-h I*0hP*1-h N。其中,N=a P*P*+m1-2P*+m(1-P*)P*+m+I*。因此,雅可比矩阵J(S*,I*,P*)对应的特征方程为F()=3+D12+D2+D3=0。(7)应用引理1得到系统(3)唯一正平衡点E*(S*,I*,P*)是局部渐近稳定的条件为D1+D31+D2,D1-3D33-D2,D23+D2-D3D10;Fm1(1)0;(-1)nFm1(-1)0;i(m1,v)0,其中,i=n-3,n-5,2,1,n为偶数或i=n-3,n-5,2,n为奇数。853沈阳大学
17、学报(自然科学版)第3 5卷2)横截原理:d(-n-1(m,v)dmm=m10。3)非共振原理:c o s(2/l)。或共振原理:c o s(2/l)=。其中l=3,4,5,并且=1-(0.5Fm1(1)-n-3(m1,v)/+n-2(m1,v)。引理31 1 如果满足下列条件,在分支参数m=m2处发生F l i p分支。1)特征值原理:Fm2(-1)=0,n-1(m2,v)0,Fm2(1)0,i(m2,v)0,i=n-2,n-4,1,其中,i=n-3,n-5,2,1,n为偶数或i=n-3,n-5,2,n为奇数。2)横截原理:ni=1(-1)n-ic ini=1(-1)n-i(n-i+1)ci
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- 具有 Allee 效应 离散 染病 捕食 系统 分支 分析
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