北师大版高中数学导学案《简单几何体的侧面积》.doc

内容：简单几何体的侧面积 班级______ 姓名______
预习目标：
1、了解简单几何体的侧面积和表面积的概念.
2、了解棱柱、棱锥、棱台、圆锥、圆台的侧面积的计算公式.
预习重点：柱体、棱体、台体的侧面积、表面积的计算.
预习难点：柱体、棱体、台体的侧面积公式的推导.
预习方法：
过程：
预习内容：
1．两个概念
空间几何体的侧面积：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积.
空间几何体的全面积：侧面积与底面积的和.
2．侧面展开图
直棱柱的侧面展开图是一个________．C:\Documents and Settings\Lenovo\桌面\简单几何体的侧面积（石油中学李维华）\直棱柱侧面展开图.exe
圆柱的侧面展开图是一个________，它的一条边长等于_______，另一条边长等于圆柱的____________．C:\Documents and Settings\Lenovo\桌面\简单几何体的侧面积（石油中学李维华）\p50圆柱体.swf
正棱锥的侧面展开图是由___________所组成的图形．C:\Documents and Settings\Lenovo\桌面\简单几何体的侧面积（石油中学李维华）\正棱锥1.exe
圆锥的侧面展开图是一个________，扇形弧长等于圆锥底面圆的________，它的半径等于圆锥的__________．C:\Documents and Settings\Lenovo\桌面\简单几何体的侧面积（石油中学李维华）\p50圆锥.swf
正棱台的侧面展开图是由________________________________所组成的图形．C:\Documents and Settings\Lenovo\桌面\简单几何体的侧面积（石油中学李维华）\正棱台侧面展开图.exe
圆台的侧面展开图是一个________，其内圆弧长等于圆台______________，它的外圆弧长等于圆台______________．C:\Documents and Settings\Lenovo\桌面\简单几何体的侧面积（石油中学李维华）\p51圆台.swf
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积
S圆柱侧＝_____，S圆锥侧＝πrl.(其中r为底面半径，l为侧面母线长)
S圆台侧＝___________.（请同学们写出证明过程，并准备展示）
(其中r1，r2分别为上、下底半径，l为母线长)
4．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
S直棱柱侧＝______(c为底面周长，h为高)
S正棱锥侧＝______(c为底面周长，h′为斜高)
S正棱台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高)
提出质疑：

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容

课内探究
学习目标：
1、了解简单几何体的侧面积和表面积的概念.
2、了解棱柱、棱锥、棱台、圆锥、圆台的侧面积的计算公式.熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系.
3、会分析柱体、锥体、台体及其简单组合体的结构特征.会利用面积公式解决一些简单的实际问题．
4、通过了解简单几何体的面积计算公式，进一发展学生将空间问题平面化的基本思想.
重点：柱体、棱体、台体的面积及公式的应用.
难点：不同空间几何体侧面积公式之间的联系与区别.
合作探究：
基于学生已有的对空间几何体侧面展开的知识基础，通过提供直观形象的侧面展开图，给出柱、锥、台的侧面积公式，体现了空间问题平面化的思想.
将圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式进行类比，感受它们的区别和联系
将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进行类比，感受它们的区别和联系.
将柱体、锥体、台体的侧面积公式进行类比，感受它们的区别和联系.

知识点一：多面体的侧面积与表面积的计算
例1、正四棱锥底面正方形边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．(单位：cm2)

点评　求棱柱、棱锥、棱台的表面积，就是在侧面积的基础上加上底面面积，因此在求表面积时需要注意先按照求侧面积的方法把棱柱、棱锥、棱台的侧面积求出来，然后再把它们的底面面积计算出来，将二者相加即可，而求侧面积时要设法把斜高求出来，而这可通过解直角三角形求得．
变式训练1　已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积．

知识点二：旋转体的侧面积计算
例2、设圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，且轴截面的一条对角线垂直于腰，求圆台的侧面积．

点评　旋转体侧面积的计算一般通过轴截面寻找其中的数量关系．
变式训练2　一个圆台的母线所在直线与轴线所在直线的夹角为30°，两底面半径的比为1∶2，其侧面展开图是半圆环，面积为54π，求这个圆台的高及两底半径．

知识点三：组合体的表面积
例3、圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等．求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比．

点评　解旋转体的有关问题时，常常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题，应用平面几何知识解决．
变式训练3　一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．

课堂小结：1．在解决正棱锥、正棱台的侧面积、表面积问题时往往将已知条件归结到一个_____ 中求解，为此在解此类问题时，要注意 _______的应用．
2． 有关旋转体的表面积的计算要充分利用其 _____，就是说将已知条件尽量归结到 _____中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．

课后练习与提高
一、选择题
1．正三棱锥的底面边长为a，高为a，则三棱锥的侧面积等于(　　)
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
2．正四棱锥的侧面积为60，高为4，则正四棱锥的底面边长为(　　)
A．24 B．20 C．12 D．6
3．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，这个圆柱的全面积为(　　)
A．1＋ B．1＋
C．1＋ D．1＋
4．在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为(　　)
A． B． C． D．
5．长方体的高等于h，底面面积等于a，过相对侧棱的截面面积等于b，则此长方体的侧面积等于(　　)
A．2 B．2
C．2 D．
二、填空题
6．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的表面积为
______________．
7．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比为________．
8．若一个直立圆柱的侧视图是面积为S的正方形，则该圆柱的表面积为________．

三、解答题
9．直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为8 cm2，6 cm2，求此直平行六面体的侧面积．

10．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？

简单几何体的侧面积答案

预习内容
2．矩形　矩形　圆柱母线的长　底面周长　若干个全等的等腰三角形　扇形　周长　母线长　若干全等的等腰梯形　扇环　上底周长　下底周长
3．2πrl　π(r1＋r2)l
4． ch　ch′
课内探究
例1

解　正四棱锥的高PO，斜高PE，
底面边心距OE组成
Rt△POE．
∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°，
∴PE＝＝4 cm，
因此，S棱锥侧＝ch′＝×4×4×4＝32 (cm2)．
S表面积＝S侧＋S底＝32＋16＝48(cm2)．
变式训练1　解　方法一　在Rt△B1FB中，
B1F＝h′，BF＝(8－4)＝2，B1B＝8，
∴B1F＝＝2，
∴h′＝B1F＝2．
∴S正棱台侧＝×4×(4＋8)×2

＝48(cm2)．
方法二　延长正四棱台的侧棱交于点P，如图，
设PB1＝x，则＝，
得x＝8．
∴PB1＝B1B＝8，∴E1为PE的中点．
∴PE1＝＝2，
PE＝2PE1＝4．
∴S正棱台侧＝S大正棱锥侧－S小正棱锥侧
＝×8×4×PE－×4×4×PE1
＝×8×4×4－×4×4×2
＝48(cm2)．
例2 解　如图所示，作出轴截面A1ABB1，设上、下底面半径、母线长为r、R、l，作A1D⊥AB于D，

则A1D＝3，
∠A1AB＝60°．
∵∠BA1A＝90°，
∴∠BA1D＝60°．
∴AD＝A1D·tan 30°
＝3×＝＝R－r，
BD＝A1D·tan 60°＝3×＝3＝R＋r．
∴R＝2，r＝．l＝A1A＝＝＝2．
∴圆台的侧面积
S侧＝π(r＋R)l＝π(2＋)×2＝18π．
即圆台的侧面积是18π．
变式训练2　解　

如图所示，ABCD是圆台的轴截面图，圆台的侧面展开图是半圆环，AD，BC为上、下底面圆的直径，∠DCB＝60°，根据题意可设r＝＝x，
R＝＝2x，因为∠DCB＝60°，故圆台的高
h＝x·tan 60°＝x．
母线l＝CD＝＝2x，
又有－＝54π，而＝，
OC＝2OD，又CO－OD＝2x，所以OD＝2x，OC＝4x．
所以54π＝(OC＋OD)(OC－OD)．
所以54π＝π(2x＋x)·2x，所以x＝3(负根舍去)．
于是r＝3，R＝6，h＝3．
例3 解　

如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别是r、R，则有
＝，即＝．
∴R＝2r，l圆锥＝R．
∴＝＝
＝＝＝－1．
变式训练3　解　

如图所示，梯形ABCD中，
AD＝2，AB＝4，BC＝5．
作DM⊥BC，垂足为M，则
DM＝4，MC＝5－2＝3．
∴CD＝＝5．
在旋转生成的旋转体中，AB形成一个圆面，AD形成一个圆柱的侧面，CD形成一个圆锥的侧面，设其面积分别为S1，S2，S3，则
S1＝π·42＝16π，S2＝2π·4·2＝16π，
S3＝π·4·5＝20π，
故此旋转体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝52π．
课时作业
1．A　2．D　3．D
4．B　[S正方体∶S四面体＝6a2∶＝．]
5．C　[设长方体底面边长分别为x、y，则

由①②得(x＋y)2＝2＋2a，∴x＋y＝．
∴S长方体侧＝2(x＋y)·h＝2．]
6．a2
解析　由于该正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为a，则侧棱长为a，因此表面积为3×＋a2＝a2．
7．4∶3
8．S
解析　设圆柱的底面半径为r，母线长为l，∵l＝2r，∴S＝2r·l＝4r2．∴r2＝，
∴S表＝2πr2＋2πrl＝6πr2＝S．
9．解　如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，两条面对角线的长分别为c，d，
即BD＝c，AC＝d，则

由①得c＝，由②得d＝，
代入③得2＋2＝a2．
∵82＋62＝4a2l2，∴2la＝＝＝10．
∴S侧＝4al＝2×10＝20(cm2)．
故此直平行六面体的侧面积为20 cm2．
10．解　

(1)画圆锥及内接圆柱的轴截面，如图所示，
设所求圆柱的底面半径为r，
它的侧面积S圆柱侧＝2πr·x，
∵＝，∴r＝R－x，
∴S圆柱侧＝2πRx－·x2 (0<x<H)．
(2)因为S圆柱侧的表示式中x2的系数小于零，
所以这个二次函数有最大值，
这时圆柱的高是x＝－＝>0，
且x＝<H，满足题意，
所以当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，
它的侧面积最大．

简单几何体的侧面积教学反思
一、 数学分析
立体几何的问题解决有助于数学思维的发展。降维是处理立体几何问题的重要思想和方法，通过分解、投影、侧面展开等方式将立体几何问题转化为平面几何问题。
二、 课标要求
在《普通高中数学课程标准（实验）》中，明确指出：了解球、棱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式。
三、 教材分析
通过了解简单几何体的表面积与体积的计算方法，进一步发展学生将空间问题平面化的基本思想。
通过相关公式的学习，感受不同几何体侧面积公式之间的联系。
基于学生已有的对空间几何体侧面展开的知识基础，通过提供直观形象的侧面展开图，给出柱、锥、台的侧面积公式，体现空间问题平面化的思想。
四、 教学建议
多面体和旋转体的侧面积公式，都是通过它们的侧面展开图求得的，教学中应用多媒体再现展开过程，激发学生的兴趣。还通过多媒体演示柱、锥、台之间的相互转化，生动、直观地认识图形间的转化。另外，除了多媒体的运用外，也可以引导学生对实物侧面进行拆展，让学生了解拆展的过程和操作步骤，加深理解。
五、 教学得失
本节课在教学过程中，有这样几个问题：
1、 多媒体的展示环节上，课前发现上课班的教室电脑上未装flash，结果没有办法展示侧面展开的动画过程。
2、 导学案的设计上，圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间的区别与联系，直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积之间的区别与联系，以及柱、锥、台体的侧面积之间的联系上，没有导学案上显示出来。
3、 学生合作探究中，第一个问题的变式训练，没有在学案在展现出来。

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