【优化方案】2012高中数学-第1章1.2.4第二课时知能优化训练-苏教版必修2.doc

1．下列说法正确的是________(填序号)．
①二面角是两个平面相交所组成的图形；
②二面角是指角的两边分别在两个平面内的角；
③角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角是二面角的平面角；
④二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱．
解析：二面角是指一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形，其构成要素是：两个半平面和一条直线(即它的棱)，其本质是一个空间图形，所以①、②均错误．二面角的平面角是指以二面角的棱上任意一点为端点，分别与位于两个半平面内且垂直于棱的两条射线所成的角．它的两边必须满足三个条件：(a)分别在两个半平面内；(b)相交于棱上一点；(c)都和棱垂直．故③错误．二面角的平面角的两条边都和棱垂直，所以二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱．
答案：④
2．二面角的平面角所在的平面和二面角的棱的位置关系是________，和二面角的两个半平面的位置关系是________．
答案：垂直　垂直
3．下列说法中正确的是________(填序号)．
①若平面α和平面β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；
②若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β；
③若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β；
④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.
解析：本题考查的是对垂直关系的定义的理解，同学们要走出“无数”的误区，如④中，可举反例如两平面相交、平行等．
答案：③
4．锐二面角α－l－β，直线AB⊂α，AB与l所成的角为45°，AB与平面β成30°角，则二面角α－l－β的大小为________．
解析：

如图，作AO⊥l于O，作AC⊥β于C，连结BC，OC.
∴在Rt△AOB中，设AB＝1，则AO＝，
∵在Rt△ACB中，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝，
∴在Rt△ACO中，sin∠AOC＝＝＝，
∴∠AOC＝45°.
答案：45°

一、填空题
1．在空间中，下列结论正确的是________(填序号)．
①平行直线的平行投影重合
②平行于同一直线的两个平面平行
③垂直于同一平面的两个平面平行
④垂直于同一平面的两条直线平行
解析：由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合，所以①不正确；平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，所以②不正确；垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行，所以③不正确；由于垂直于同一平面的两条直线平行，所以④正确．
答案：④
2．(2010年高考湖北卷改编)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列说法：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中正确说法的序号为________．
解析：由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．
答案：①④

3．已知PA⊥矩形ABCD所在平面(如图)，则图中互相垂直的平面有________对．
解析：面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，面PAB⊥面PBC，面PDC⊥面PAD，面PAD⊥面PAB.
答案：5
4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是________(填序号)．
①AB∥m　②AC⊥m　③AB∥β　④AC⊥β
解析：如图所示：

AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β.
答案：④

5．如图所示，在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC，沿AD将△ABD折起，若折起后点B，C间的距离为a，则二面角B－AD－C的大小为________．
解析：因为△ABC是正三角形，AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD.所以∠BDC是二面角B－AD－C的平面角．在△BCD中，BD＝CD＝BC＝a，所以∠BDC＝60°，即二面角B－AD－C的大小为60°.
答案：60°
6．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
④AB与CD所成的角为60°.
其中正确结论的序号是________．(写出所有你认为正确的结论的序号)

解析：如图，连结对角线AC、BD，交于点O，则AO⊥BD，CO⊥BD.
∴BD⊥平面OAC，
∴BD⊥AC，OA＝OC＝OD，且两两垂直，
∴AC＝CD＝AD，△ACD是等边三角形．
∠ABO＝45°为AB与平面BCD所成的角，
取AD、AC的中点E、F，易证OE＝EF＝OF＝CD.
△OEF为等边三角形，∴AB与CD成60°角．∴①②④正确．
答案：①②④
7．把锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角．则折叠后AC的长为________．

解析：如图，取BD中点O，
连结A′O，CO.
∴A′O⊥BD，CO⊥BD，∴∠A′OC即为二面角A′－BD－C的平面角．∴∠A′OC＝60°，
又∵A′O＝CO＝AC，
∴A′C＝AC＝a.
答案：a
8．等边△ABC边长为1，BC边上高为AD，沿AD折成直二面角，则A到BC的距离为________．
解析：

如图，AD⊥BD、AD⊥CD得∠BDC为直二面角B－AD－C的平面角．
则∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，BD＝DC＝，∴BC＝.
∵AB＝AC＝1，设E是BC的中点，则AE⊥BC.
在Rt△ABE中，AB＝1，BE＝＝，
∴AE＝.即A到BC的距离是.
答案：

9．(2010年高考四川卷)如图，二面角αlβ的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．
解析：

如图，过点A作AC⊥l，垂足为C，AD⊥β，垂足为D，连结CD、BD.
由题意知∠ACD＝60°，∠ABC＝30°，
∠ABD即为AB与平面β所成的角．
设AC＝a，则AB＝2a，AD＝a，
∴sin∠ABD＝＝.
答案：

二、解答题
10．过点S引不共面的直线SA，SB，SC，如图，∠BSC＝90°，∠ASC＝∠ASB＝60°，若截取SA＝SB＝SC＝a.
求证：平面ABC⊥平面BSC.
证明：法一：∵SA＝SB＝SC＝a，∠ASC＝∠ASB＝60°，
∴△ASB和△ASC都是等边三角形．∴AB＝AC＝a.
取BC的中点为H，连结AH，SH.

∴AH⊥BC，SH⊥BC.
在Rt△BSC中，BS＝CS＝a，
∴BC＝a.
∴AH2＝AC2－CH2
＝a2－(a)2＝.
∴SH2＝SC2－CH2＝a2－(a)2＝.
在△SHA中，∵AH2＝，SH2＝，SA2＝a2，
∴SA2＝SH2＋AH2.
∴AH⊥SH.∴AH⊥平面SBC.
又∵AH⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.
法二：∵SA＝AC＝AB，
∴顶点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
又△SBC为等腰直角三角形，∴H为BC的中点．
∴AH⊥平面SBC.∵AH⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面SBC.

11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，求截面A1BD和EBD所成二面角的大小．
解：如图，连结AC交BD于点O，分别连结EO、A1O、A1C1、A1E.
由EB＝ED，A1B＝A1D知EO⊥BD，A1O⊥BD，
故∠EOA1为所求二面角的平面角．
设正方体的棱长为a，

则在Rt△A1AO、Rt△ECO、Rt△A1C1E中分别求出A1O＝a，EO＝a，A1E＝a，
因为A1O2＋EO2＝A1E2.
所以∠EOA1＝90°.
即截面A1BD和EBD所成二面角的大小为90°.

12．如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．
(1)求证：PB∥平面EAC；

(2)若AD＝2AB＝2，求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．

解：(1)证明：连结BD交AC于O，连结EO，因为O、E分别为BD、PD的中点，所以EO∥PB，
EO⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，
所以PB∥平面EAC.
(2)设N为AD中点，连结PN，则PN⊥AD.
又面PAD⊥底面ABCD，
所以，PN⊥底面ABCD，
所以∠PBN为直线PB与平面ABCD所成的角，
又AD＝2AB＝2，则PN＝，NB＝，
所以tan∠PBN＝＝，
即PB与平面ABCD所成角的正切值为.
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用心 爱心 专心