全国高中数学联赛试题及解析 苏教版3.doc

1983年全国高中数学联赛
第一试
1．选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分)
⑴ 设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么
A．甲是乙的充分而非必要条件 B．甲是乙的必要而非充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
⑵ x=+的值是属于区间
A．(－2，－1) B．(1，2) C．(－3，－2) D．(2，3)
⑶ 已知等腰三角形ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么，sinA和cosA中
A．一个是有理数，另一个是无理数 B．两个都是有理数
C．两个都是无理数 D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定
⑷ 已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要条件是
A．a≥1 B．a=1 C．a≥1 D．0<a<1
⑸ 已知函数f(x)=ax2－c，满足
－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5．
那么，f(3)应满足
A．7≤f(3)≤26 B．－4≤f(3)≤15 C．－1≤f(3)≤20 D．－≤f(3)≤
⑹ 设a，b，c，d，m，n都是正实数，
P=+，Q=·，那么
A．P≥Q B．P≤Q
C．P<Q D．P、Q的大小关系不确定，而与m，n的大小有关．
⑺ 在正方形ABCD所在平面上有点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的点P的个数有
A．9个 B．17个 C．1个 D．5个
⑻ 任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l、R与r，那么
A．l>R+r B．l≤R+r C．<R+r<6l D．A、B、C三种关系都不对
2．填充题(本题满分18分，每小题6分)
⑴ 在△ABC中，sinA=，cosB=，那么cosC的值等于 ．
⑵ 三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 个．
⑶ 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数，那么积m∙n是 ．
第二试
1．(本题满分8分)求证：arc sinx+arc cosx= ，其中x∈[－1，1]
2．(本题满分16分)函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1)．如果对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|．求证：|f(x1)－f(x2)|< ．
3．(本题满分16分) 在四边形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面积比是3∶4∶1，点M、N分别在AC、CD上满足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N三点共线．求证：M与N分别是AC与CD的中点．
4. (本题满分16分)在在六条棱长分别为2，3，3，4，5，5的所有四面体中，最大体积是多少？证明你的结论．
5．(本题满分18分) 函数F(x)=|cos2x+2sinxcosx－sin2x+Ax+B|
在 0≤x≤π上的最大值M与参数A、B有关，问A、B取什么值时，M为最小？证明你的结论．
1983年全国高中数学联赛解答
第一试
1．选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分)
⑴ 设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么
A．甲是乙的充分而非必要条件 B．甲是乙的必要而非充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
解：p3－q3=(p－q)(p2+pq+q2)．又p+q=p－q+2q，故p+q与p－q的奇偶性相同．
∴ p+q为偶数，Þp－q为偶数，Þp3－q3为偶数．
p+q为奇数，Þp、q一奇一偶，Þp3－q3为奇数．故选C．
⑵ x=+的值是属于区间
A．(－2，－1) B．(1，2) C．(－3，－2) D．(2，3)
解：x=log32+log35=log310∈(2，3)，选D．
⑶ 已知等腰三角形ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么，sinA和cosA中
A．一个是有理数，另一个是无理数 B．两个都是有理数
C．两个都是无理数 D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定
解：tan为有理数，ÞsinA、cosA都是有理数．选B．
⑷ 已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要条件是
A．a≥1 B．a=1 C．a≥1 D．0<a<1
解：M∩N=N的充要条件是圆x2+(y－a)2≤1在抛物线y=x2内部(上方)．即a≥1，且方程
y2－(2a－1)y+a2－1=0的△=(2a－1)2－4(a2－1)≤0，Þa≥1，选A．
⑸ 已知函数f(x)=ax2－c，满足
－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5．
那么，f(3)应满足
A．7≤f(3)≤26 B．－4≤f(3)≤15 C．－1≤f(3)≤20 D．－≤f(3)≤
解：f(1)=a－c，f(2)=4a－c，f(3)=9a－c．令9a－c=λ(a－c)+μ(4a－c)，
∴ λ+4μ=9，λ+μ=1．∴ λ=－，μ=．即f(3)=－f(1)+ f(2)．
但≤－f(1)≤，－≤f(2)≤，
∴－1≤－f(1)+ f(2)≤20.．选C．
⑹ 设a，b，c，d，m，n都是正实数，
P=+，Q=·，那么
A．P≥Q B．P≤Q
C．P<Q D．P、Q的大小关系不确定，而与m，n的大小有关．
解：由柯西不等式，Q≥P．选B．
⑺ 在正方形ABCD所在平面上有点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的点P的个数有
A．9个 B．17个 C．1个 D．5个
解：如图，以正方形的顶点为圆心，边长为半径作4个圆，其8个交点满足要求，正方形的中心满足要求，共有9个点．选A．
⑻ 任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l、R与r，那么
A．l>R+r B．l≤R+r C．<R+r<6l D．A、B、C三种关系都不对
解：R=，当A→180°时，a最大，而R可大于任意指定的正数M．从而可有R<6l，否定A、C．
又正三角形中，R+r=a<l， 否定B．故选D．
2．填充题(本题满分18分，每小题6分)
⑴ 在△ABC中，sinA=，cosB=，那么cosC的值等于 ．
解：cosA=±，sinB=，但若cosA=－，则A>135°，cosB=<cos60°，B>60°，矛盾．故cosA=．
∴ cosC=cos(π－A－B)=－cosAcosB+sinAsinB=－·+·=．
⑵ 三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 个．
解：设另两边为x，y，且x≤y．则得x≤y≤11，x+y>11，在直角坐标系内作直线y=x，y=11，x=11，x+y=11，则所求三角形数等于由此四条直线围成三角形内的整点数．(含y=11，y=x上的整点，不含x+y=11上的整点)共有122÷4=36个．即填36．
⑶ 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数，那么积m∙n是 ．
解：此六面体可看成是由两个正四面体粘成．每个正四面体的高h1=a，于是，利用体积可得Sh1=3Sr1，r1=a．
同样，正八面体可看成两个四棱锥粘成，每个四棱锥的高h2=a，又可得 a2h2=4×a2r2，r2=a．
∴ =，∴ m∙n=6．
第二试
1．(本题满分8分)求证：arc sinx+arc cosx=，其中x∈[－1，1]
证明：由于x∈[－1，1]，故arcsinx与arccosx有意义，
sin(－arccosx)=cos(arccosx)=x，由于arccosx∈[0，π]，∴ －arccosx∈[－，]．
故根据反正弦定义，有arcsinx=－arccosx．故证．
2．(本题满分16分)函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1)．如果对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|．求证：|f(x1)－f(x2)|<．
证明：不妨取0≤x1<x2≤1,若|x1-x2|≤，则必有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|<．
若|x1-x2|>，则x2－x1>,于是1－(x2－x1)<,即1－x2+x1－0<．
而|f(x1)-f(x2)|= |(f(x1)- f(0))-(f(x2)－f(1))|≤|f(x1)-f(0)|+ |f(1)-f(x2)|<| x1－0|+|1－x2|
=1－x2+x1－0<．故证.
3．(本题满分16分) 在四边形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面积比是3∶4∶1，点M、N分别在AC、CD上满足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N三点共线．求证：M与N分别是AC与CD的中点．
证明 设AC、BD交于点E．由AM∶AC=CN∶CD，故AM∶MC=CN∶ND，令CN∶ND=r(r>0)， 则AM∶MC=r．
由SABD=3SABC，SBCD=4SABC，即SABD∶SBCD =3∶4．
从而AE∶EC∶AC=3∶4∶7．
SACD∶SABC=6∶1，故DE∶EB=6∶1，∴DB∶BE=7∶1．
AM∶AC=r∶(r+1)，即AM=AC，AE=AC，
∴EM=(－)AC=AC．MC=AC，
∴EM∶MC=．由Menelaus定理，知··=1，代入得
r·7·=1，即4r2－3r－1=0，这个方程有惟一的正根r=1．故CN∶ND=1，就是N为CN中点，M为AC中点．
4. (本题满分16分)在在六条棱长分别为2，3，3，4，5，5的所有四面体中，最大体积是多少？证明你的结论．
解：边长为2的三角形，其余两边可能是：
⑴ 3，3；⑵ 3，4；⑶ 4，5；⑷ 5，5．
按这几条棱的组合情况，以2为公共棱的两个侧面可能是：
① ⑴，⑷；② ⑴，⑶；③ ⑵，⑷．
先考虑较特殊的情况①：由于32+42=52，即图中AD⊥平面BCD，
∴ V1=··2·4=；
情况②：由于此情况的底面与情况②相同，但AC不与底垂直，故高<4，于是得 V2<V1．
情况③：高<2，底面积=·5=．
∴ V3<·=<．
∴ 最大体积为．
5．(本题满分18分) 函数
F(x)=|cos2x+2sinxcosx－sin2x+Ax+B|
在 0≤x≤π上的最大值M与参数A、B有关，问A、B取什么值时，M为最小？证明你的结论．
解：F(x)=| sin(2x+ )+Ax+B|．取g(x)= sin(2x+ )，则g()=g()=．g()=－．
取h(x)=Ax+B，若A=0，B≠0，则当B>0时，F()>，当B<0时，F()<．从而M> ．
若A≠0，则当h()<0时，F()>，当h()≥0时，由于h(x)是一次函数，当A>0时h(x)递增，h()>h()>0，此时F()>；当A<0时h(x)递减，h()>h()>0，此时F()>．故此时M> ．
若A=B=0，显然有M= ．
从而M的最小值为，这个最小值在A=B=0时取得．