基于泛形理论机械结合面法向接触刚度的表征.pdf

DOI：10.13876/J.cnki.ydnse.220055第 42 卷 第 3 期2023 年 9 月延安大学学报（自然科学版）Journal of Yanan University（Natural Science Edition)Vol.42 No.3Sep.2023基于泛形理论机械结合面法向接触刚度的表征曹海龙，荆铁武（延安大学 建筑工程学院，陕西 延安 716000）摘要：泛形理论是继混沌理论、分形理论及孤立子理论之后新发展出来的一种非线性理论方法。依据激光共聚焦显微镜测试得到的粗糙表面的轮廓形貌，应用计盒法计算了粗糙表面轮廓形貌的泛形复杂度；根据所得结果绘制了度量尺码与测度在双对数坐标下的规律变化图，取线性拟合度最好区域为微凸体尺度自相似区间；最后基于微凸体尺度的上下限参数建立了粗糙表面形貌表征的接触刚度模型。研究表明：在泛形复杂度一定的情况下，结合面法向接触刚度随着法向载荷的增大而增大，二者表现为非线性关系；泛形复杂度越大，结合面法向接触刚度越大。研究结果可为现代高精度机床设计提供理论参考。关键词：粗糙表面；微凸体；泛形；接触刚度中图分类号：TH117.2 文献标识码：A 文章编号：1004-602X（2023）03-0110-05制造装备中的零件或者部件之间需要进行装配，因此零件与零件之间的接触在所难免。将零件、组件、部件之间相互接触的表面称为“机械结合面”1，在机械加工装备与工艺装备中机械结合面处处可见。机械结合面接触刚度的好坏决定着机械装备整体的性能指标2。在机械结合面表面成形过程中受刀具振动的影响，结合面的表面形貌表现出了随机性、无序性和复杂性。结合面表面形貌的复杂性导致了接触刚度成为了众多学者关注的热点3-4。以分形几何为基础M-B分形接触模型5和基于统计学参数提出GW模型6是早期粗糙表面接触模型的典型代表，中期发展而来的大多接触模型7-8也在这两类模型的基础之上形成发展的。近年来，潘五九等9采用三维结合面W-M函数建立了接触面静摩擦因数的分形分析模型。李玲等10将W-M函数模拟的分形表面数据导入Python和MATLAB中，建立了二维柱面和平面接触模型，然后用有限元软件分析了分形粗糙接触面的温升分布情况。张伟等11以经典界面力学和概率统计理论为基础，推导出考虑微凸体变形与基体变形的结合面法向接触刚度模型。上述研究更多的是从微凸体受到力和热等外在角度出发，研究结合面的变形和刚度。本文将从微凸体变形的自相似区域的度量尺度上下限出发，先建立单个微凸体接触模型，然后依据泛形理论由微观向宏观拓展建立整个接触面的接触刚度力学模型。1泛形粗糙表面微凸体自相似区域的确定本文实验采用LEXT OLS4000型激光共聚焦显微镜，激光共聚焦显微镜可测试捕捉任意表面形状和表面粗糙度。测试试件采用磨床磨削加工而成，试件表面粗糙度Ra=6.3，试件尺寸为20 mm20 mm4 mm。图1为平磨试件的三维表面形貌图，图2为其在x轴平行的方向上y=135 m处截面的表面轮廓曲线。用记盒法计算y=135 m处截面轮廓曲线的度量尺码和测度的值，然后将度量尺码和测度分别取对数，使用最小二乘法计算双对数坐标下的回归拟收稿日期：2022-05-19基金项目：陕西省自然科学基础研究项目（2023-JC-YB-437）；陕西省大学生创新创业训练项目（S202310719093）；延安大学校级项目（YDQ2020-17）作者简介：曹海龙（1990），男，陕西延安人，延安大学实验师。第 3 期曹海龙：基于泛形理论机械结合面法向接触刚度的表征合图，取线性相关程度最高的直线区域为自相似性区间 12。线性相关度最高区域自动确定的方法是将用计盒法计算出度量尺码对数坐标ti与测度组成的对数坐标fi，记坐标点为(ti，fi)，然后把这些数据点带入式（1）（5）中，分别在 t1，tm-1，tm，tn，tn+1，tN 3个区域内进行最小二乘法线性拟合，当F(m，n)最小时 13-14，此时数据点拟合出来的直线线性相关度最高。F(m，n)=mink=13Qk；（1）Q1=i=1m-1()fi-a1-b1ti，Q2=i=mn()fi-a2-b2ti，Q3=i=n+1N(fi-a3-b3ti)；（2）a1=1m-1i=1m-1fi-b1m-1i=1m-1ti，b1=()m-1i=1m-1()fiti-()i=1m-1fi()i=1m-1ti()m-1i=1m-1t2i-()i=1m-1ti2；（3）a2=1n-m+1i=mnfi-b2n-m+1i=mnti，b2=()n-m+1i=mn()fiti-()i=mnfi()i=mnti()n-m+1i=mnt2i-()i=mnti2；（4）a3=1N-ni=n+1Nfi-b3N-ni=n+1Nti，b3=()N-ni=n+1N()fiti-()i=n+1Nfi()i=n+1Nti()N-ni=n+1Nt2i-()i=n+1Nti2。（5）其中，Q1、Q2、Q3表示最小二乘法拟合所得三条直线的偏差，最小二乘法拟合所得三条直线的系数分别为：a1和b1、a2和b2、a3和b3，m和n为算法求解所得的数值，N为离散数据点的个数。如图3为y=135 m处截面轮廓曲线的度量尺码和测度在双对数坐标下的回归拟合图，N为计盒数，为正方形计盒的边长。由Matlab程序计算结果可以看出，双对数坐标点线性相关度只在部分区间内比较高，换言之，真实粗糙表面形貌的微凸体的自相似性仅在一个有限的区间之内才成立。根据计盒法双对数坐标图可以确定出泛形粗糙面自相似区度量码尺的具体结果，如表1所示。由表1可以看出，结合面表面形貌轮廓的自相似区分别为 7.708 4，731.999 0 和 9.519 2，954.039 0。换言之，泛形粗糙面形貌轮廓的自相似区域具有一定的尺度范围。图3计盒法双对数图(Ra=6.3，平磨)表1自相似区检测结果试件平磨平铣复杂度D1.300 81.231 1尺度系数G/nm0.436 80.201 6自相似区/nm7.708 4731.999 09.519 2954.039 0图1粗糙表面三维表面图(Ra=6.3,平磨)图2y=135 m处截面的表面轮廓曲线111延安大学学报（自然科学版）第 42 卷 2泛形结合面法向接触刚度模型图4为三维粗糙表面形貌计算机模拟图，本文研究的情形为2个粗糙的平面结合面接触，如图5所示。模型中给结合面施加一个法向载荷P和一个切向载荷T，因为本文主要研究的是结合面静态接触刚度问题，所以不考虑2个结合面的相对滑动情形。机械结合面的微细观是凹凸不平的，其表面形状不规则的凸起被称做微凸体。由泛形理论可知，自然界的物体度量码尺都在一定的范围之内。因此，粗糙表面微凸体的尺寸也会在一定的范围之内。如图6，假设粗糙面微凸体直径的最大值2Rmax与最小值2Rmin分别等于自相似区上限lmax与下限lmin，即：lmax=2Rmax，lmin=2Rmin。（6）微凸体综合曲率半径的最大值与最小值分别为Rmax=l1 maxl2 max2()l1 max+l2 max，Rmin=l1 minl2 min2()l1 min+l2 min。（7）其中，上粗糙表面微凸体自相似区域的度量码尺上下限分别为l1 max和l1 min，下粗糙表面微凸体的自相似区域的度量码尺上下限分别为l2 max和l2 min。由赫兹接触定律可得s=r2，r=(3PR4E)13，因此微凸体接触点最大最小面积分别为smax=(3PRmax4E)23，smin=(3PRmin4E)23。（8）泛形微凸体分布函数采用文献 3 中分布函数n(s)=D2sD2maxsD2+1，（9）若最大接触点的面积为smax，最小接触点的面积为smin，则真实接触面积Ar为Ar=sminsmaxsn(s)ds。（10）将式（9）代入式（10）得Ar=sminsmaxsn(s)ds=D2-D(smax-sD2maxs(2-D)/2min)。（11）将式（8）代入式（11）得Ar=D2-D(3PRmax4E)23-(3PRmax4E)D3(3PRmin4E)2-D3。（12）由文献 5 可知，微凸体弹塑性临界接触面积为sc=G2f(2Ef/H)2/(D-1)，（13）结合面的实际弹性接触面积Are=scsmaxsn(s)ds=D2-D(smax-sD2maxs(2-D)/2c)，（14）将式（7）和（8）代入式（14）得Are=D2-D(3PRmax4E)23-D2(3PRmax4E)D3G2-Df(2EfH)2-DD-1。（15）由文献 12 单个微凸体的法向接触刚度kn=dpsd=2Efs，（16）由式（9）和（16）可得结合面的弹性部分的法向接触刚度为图4三维粗糙表面形貌模拟图图5宏观接触模型图6微凸体的物理意义112第 3 期曹海龙：基于泛形理论机械结合面法向接触刚度的表征K=scsmaxknn(s)ds=2DEf(1-D)(s1/2max-s1/2maxs(1-D)/2c)，（17）将式（8）代入式（17）得K=scsmaxknn(s)ds=613DE23f1-DP13R13max(1-G1-DfH2Ef)，（18）其中，sc为单个微凸体发生弹塑性变形的临界接触点面积；D为表面轮廓的等效复杂度；Ef为结合面等效弹性模量；H为较软材料的硬度；Gf为等效泛形 粗 糙 度 尺 度 系 数；1Ef=(1-21)E1+(1-22)E2；Gf2(D-1)=G2(D1-1)1+G2(D2-1)2。其中，上粗糙表面和下粗糙表面的弹性模量分别为E1和E2，泊松比分别为V1和V2，轮廓粗糙度尺度系数分别为G1和G2。将接触刚度K量纲一化后的表达式为K*=scsmaxknn(s)ds=613DEf231-DP13Rmax13(1-G1-DfH2Ef)，（19）其中，K=KE1Sa，Ef=EfE1，P=PE1Sa，Rmax=RmaxSa，H=HE1。Sa为理论接触面积。对于结构形状规整的接触体，Sa可以通过计算获得；对于结构形状不规则的接触对象，Sa可以通过测量谱特性参数来获取；Sa与谱特性参数wl关系5为Sa=w-2l。3不同泛形复杂度下各参数间的理论计算结果与分析模型初始输入参数如表2所示，将表2中各参数代入式（15）和式（19）进行泛形粗糙结合面的实际弹性接触面积和法向刚度与法向载荷之间关系数字仿真计算。图7表示的是泛形粗糙结合面的实际弹性接触面积 Are与法向接触载荷 P之间的关系。从图 7看出，在法向接触载荷为02107N范围内，泛形粗糙结合面的实际弹性接触面积与法向接触载荷呈现非线性关系；在法向接触载荷为210710107N范围内，二者呈现近似线性关系。总体来看，泛形粗糙结合面的实际弹性接触面积，随着法向载荷的增大而增大，提高法向载荷有利于增大泛形粗糙结合面的法向接触刚度。图8表示的是不同复杂度下量纲一法向接触刚度K*与量纲一法向载荷P*之间的关系。由图可以看出，在粗糙接触面的载荷相同的情况下，泛形复杂度越大，接触面法向接触刚度越大；泛形复杂度越小，粗糙接触面的载荷与接触面法向接触刚度之间的非线性程度越低。在泛形粗糙面复杂度相同的情况下，法向载荷越大，接触面法向接触刚度越大。4结论本研究基于泛形理论的思想提出了考虑接触粗糙表面微凸体尺度界限的界面接触模型。实际工作中的粗糙结合面的微观表面微凸体只是在一表2模型输入参数参数E1/GPaE2/GPav1v2H/GPaGfDl1max/nml2max/nml1min/nml2min/nm数值2072070.290.291.96510-61.308 8731.999 0954.309 07.078 49.519 2图7弹性接触面积随法向接触载荷的变化关系图8法向接触刚度随法向接触载荷的变化关系113延安大学学报（自然科学版）第 42 卷 定尺度区间内才呈现统计意义上的自相似性。研究结果表明，泛形复杂度和法向接触载荷是影响法向接触刚度的关键因素，在实际机械装备设计中可以通过增加载荷和泛形复杂度的方式提高法向接触刚度。参考文献：1 张学良，徐格宁，温淑花.机械结合面静动态特性研究回顾及展望J.太原重型机械学院学报，2002（3）：276-281.2 张广鹏，史文浩，黄玉美.机床导轨结合部的动态特性解析方法及其应用 J.机械工程学报，2002（10）：114-117.3 SHANG S，CAO X，LIU Z，et al.Analysisof normal elastic contact stiffness of rough surfaces based on Ubiquitiform theory J.Journal of Tribology，2019，141（11）：1-25.4 JOROBATA Y，KONO D.Cutter mark crossmethod for improvement of 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Engineering，Yan an University，Yan an 716000，China）Abstract：Succeeding chaos theory，fractal theory and soliton theory，ubiquitiform theory is a new nonlinear theoretical method.According to the rough surface profile measured by laser confocal microscope，the generalized complexity of rough surface profile was calculated by box counting method.According to the obtained results，the regular variation diagrams of measurement and measure in logarithmic coordinates were drawn，and the best region of linear fitting degree was the self-similarity region of micro-convex body scale.Finally，the contact stiffness model of rough surface was established based on the upper and lower limits of ubiquitiform scale parameters.The results show that the normal contact stiffness of the interface increases with the increase of the normal load when the complexity of the ubiquitiform is constant，and the relationship between them is nonlinear.The greater the complexity of the ubiquitiform，the greater the normal contact stiffness of the interface.The conclusion of this paper can provide theoretical reference for design of modern high-precision machine too.Key words：junction surface；micro-convex body；ubiquitiform；contact stiffness114