具有输出_全状态约束的固定时间滑模控制.pdf

本文主要解决具有约束的二阶系统的固定时间跟踪控制问题,分别讨论了具有输出约束与具有全状态约束的控制算法设计.首先,为解决输出约束下的固定时间控制问题,本文构建了具有输出约束的新型终端滑模变量,并设计了具有扰动抑制能力的固定时间滑模控制律,保证系统输出始终满足约束条件,同时跟踪误差在固定时间内收敛到原点的充分小的邻域内.进一步,为了处理具有全状态约束的控制问题,本文构建了具有全状态约束的终端滑模变量并设计了相应的固定时间滑模控制律.鉴于系统控制律的不连续性,文章采用非光滑分析及Lyapunov稳定性理论证明了闭环控制系统的稳定性.最后,在数值仿真中,将本文提出的方法与传统固定时间滑模方法进行对比,验证了所建立算法的有效性.关键词:二阶系统;输出约束;全状态约束;固定时间收敛;滑模控制引用格式:安炳合,王永骥,樊慧津,等.具有输出/全状态约束的固定时间滑模控制.控制理论与应用,2023,40(7):1151 1161DOI:10.7641/CTA.2022.20219Fixed-time sliding mode control with output/full-state constraintsAN Bing-he,WANG Yong-ji,FAN Hui-jin,LIU Lei,WANG Bo(School of Artificial Intelligence and Automation&National Key Laboratory of Science and Technology on Multispectral InformationProcessing,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan Hubei 430074,China)Abstract:This paper focuses on the fixed-time control problems for the second-order system subject to output/full-stateconstraints.First,to address the fixed-time control problem with output constraint,a novel terminal sliding mode variablewith output constraint is designed.Based on the proposed sliding mode variable,a fixed-time sliding mode control law isconstructed considering external disturbances.By the proposed approach,the output of the controlled system will alwaysmeet the constraint and the tracking error converges to a sufficiently small neighborhood of the origin within fixed time.Further,to deal with the control problem with full-state constraint,a terminal sliding mode variable with full-state constraintis designed and the corresponding fixed-time sliding mode control law is derived.Since the designed control law is dis-continuous,a non-smooth analysis is performed to prove the stability of the controlled system.Finally,the performance ofthe proposed approach is compared with that of the traditional fixed-time sliding mode approach in numerical simulations,which reflects the effectiveness of the established control algorithm.Key words:second-order system;output constraint;full-state constraint;fixed time control;sliding mode controlCitation:AN Binghe,WANG Yongji,FAN Huijin,et al.Fixed-time sliding mode control with output/full-states con-straints.Control Theory&Applications,2023,40(7):1151 11611引引引言言言近些年,固定时间收敛控制方法受到了广泛的关注13,相比于渐近收敛的控制方法,固定时间收敛控制能够保证系统误差在有限的时间内收敛,并且收敛时间与系统的初始状态无关.许多实际控制过程,例如导弹拦截过程4、飞行器姿态跟踪过程5等都需要在有限时间内完成.因此使用具有固定时间收敛特性的控制方法具有重要的意义.常见的固定时间控制方法包括基于终端滑模的方法4、基于齐次性理论的方法6,以及加幂积分方法7.其中,基于齐次性理论的方法无法直接地估算收敛时间,而基于加幂积分的固定时间控制方法需要对虚拟控制信号进行求导并对收稿日期:20220328;录用日期:20221110.通讯作者.E-mail:.本文责任编委:李世华.国家自然科学基金项目(61873319,61803162)资助.Supported by the National Natural Science Foundation of China(61873319,61803162).1152控 制 理 论 与 应 用第 40 卷导数进行放缩,较为复杂.终端滑模方法通过设计鲁棒控制律保证终端滑模变量的固定时间收敛性来实现快速收敛,相较于以上两种方法,具有较强的鲁棒性且容易实现.许多实际物理系统都受到输出/状态约束的限制,即在跟踪期望输出指令的同时,需要保证系统的输出或者全部状态在一定的范围内.例如航天器在运行过程中需要保证姿态角在一定的范围内以防止性能下降8;在导弹拦截过程中,需要保证目标始终在导引头的视场内,因此需要考虑导弹航向角的约束9;无人机在跟踪期望轨迹的同时需要满足位置约束10.文献11提出了一种障碍Lyapunov函数来实现输出约束,将输出的约束转化为障碍Lyapunov函数的有界性约束,之后通过设计控制律使得Lyapunov函数是有界的来满足约束.文献12采用神经网络与障碍Lyapunov函数相结合的方法解决了具有输出约束的机械臂控制问题.文献13采用命令滤波与自适应控制技术解决了在全状态约束下的无人艇航向控制问题.文献14结合H观测技术与障碍Lyapunov函数方法实现了具有姿态角与姿态角速度约束的航天器容错控制.然而,现有的研究成果大多保证系统渐近收敛,关于具有输出/状态约束的有限时间/固定时间收敛控制的研究还比较少.文献15基于加幂积分方法与障碍Lyapunov函数提出了具有输出约束的有限时间滑模方法,进而,文献16将文献15中的对称输出约束问题扩展到了非对称输出约束情形中.由于有限时间控制的收敛时间依赖于系统的初始状态,而固定时间控制的收敛时间与初始状态无关,只与控制器参数有关,因此使用固定时间收敛控制方法能够使收敛时间的选择具有更大的灵活性.考虑到固定时间收敛的优越性与输出/状态约束的必要性,设计具有约束的固定时间控制算法是非常必要的.受到以上内容的启发,本文主要研究具有约束的二阶系统固定时间跟踪控制问题,基于滑模控制、非光滑分析以及固定时间Lyapunov理论分别设计了具有输出以及具有全状态约束的固定时间滑模控制律.主要贡献如下:1)考虑了输出约束下的固定时间跟踪控制问题,设计了一种新型具有输出约束的终端滑模变量,并基于该滑模变量设计了固定时间控制律,使系统输出能够在固定时间内跟踪上期望信号,且始终满足输出约束;2)针对具有全状态约束下的固定时间跟踪控制问题,设计了一种具有状态约束的滑模变量,并设计了相应的固定时间控制律,保证了系统在滑模控制的趋近阶段,滑模变量在固定时间收敛到原点,在滑模运动阶段,系统误差在固定时间内收敛到原点的充分小的邻域内,同时状态始终满足约束条件;3)在设计的控制律中引入了鲁棒项,从而保证在存在外界扰动的情况下输出仍能跟踪上期望的信号并满足约束条件,通过非光滑分析与Lyapunov稳定性理论给出了系统稳定性的严谨证明.本文的内容安排如下:第2节给出相关的定义与引理,并描述所考虑的问题;第3节首先设计了具有输出约束的固定时间滑模控制律,并给出稳定性证明.进一步,设计了具有全状态约束的固定时间滑模控制律;在第4节中,通过数值仿真验证了提出的控制算法的有效性;第5节给出结论.在本文中,RN表示N维实向量空间,R0表示非负实数集,sgn()代表符号函数,即sgnx=1,x 0,0,x=0,1,x 0.(1)2预预预备备备知知知识识识与与与问问问题题题描描描述述述本节主要介绍系统模型以及相关引理与定理,并明确控制目标.2.1系系系统统统模模模型型型考虑如下的二阶系统:x1=x2,x2=f(x1,x2)+u+d(t),y=x1,(2)其中:x=x1x2TR2代表系统状态.f(x1,x2)是一个连续函数,代表已知的系统动力学模型.y为系统的输出.u代表系统控制输入.d(t)为连续时变的扰动,假设d(t)是有界的,即存在正数d,满足|d(t)|0,0,0 p 1,则系统(4)的原点是全局固定时间稳定的,稳定时间T(x(0)可以按照下式估计:T(X(0)61(1 p)+1(q 1).(6)第 7 期安炳合等:具有输出/全状态约束的固定时间滑模控制1153引引引理理理 219对于任意正数k,如果x (k,k),则下面不等式成立:logk2k2 x26x2k2 x2.(7)由于本文采用的控制律是不连续的,传统微分方程的解可能不存在.因此采用Filippov意义下微分方程的解2021,下面给出Filippov解的具体定义以及非光滑分析的相关内容:定定定义义义 220若向量函数X(t)在t0,t1上绝对连续,且满足X(t)Ff1(X(t),t),(8)其中:Ff(X,t):RNB(RN)为Filippov集值映射,即Ff(X,t)=r0(w)=0 cof(B(X,r)w,t),(9)B(X,r)代表中心为r,半径为r开球,co代表凸包,()表示Lebesgue测度,w表示Lebesgue测度为0的集合,则称X(t)为系统(4)的Filippov解.引引引理理理 322对于一个正则且局部Lipschitz的函数V(X(t):RNR0,如果X(t)是系统(4)的Filippov解,那么,V(X(t)是绝对连续的,并且d(V(X(t)dt几乎处处存在,并满足下面的关系:ddtV(X(t)a.e.V,(10)其中V=V(X(t)TFf1(X(t),t),(11)a.e.表示“几乎处处”.引引引理理理 4函数y(x)=log(kk|x|)sgnx是连续且可导的,dy(x)dx=1k|x|,其中:k为正常数,x(k,k).证首先,将y(x)写成分段函数的形式,可以得到y(t)=log(kk x),06x k,log(kk+x),k x 0,(12)由式(12)可得:当x=0时,y(x)是连续的,因此考虑当x=0时,y(x)的连续性.由式(12)得y(0)=log(kk)=0.进一步,计算y(x)在x=0处的左右极限,可以得到lim0+y()=lim0+log(kk )=0,lim0y()=lim0log(kk+)=0,因此lim0+y()=lim0y()=y(0),(13)即y(x)在x=0处是连续的,因此y(x)在定义域内是连续的.接下来,分析y(x)的可导性,分为以下3种情况进行讨论:1)当0 x k时,根据式(12)可以得到dy(x)dx=k xkd(kk x)dx=k xkk(k x)2=1k x=1k|x|.(14)2)当k x 0时,根据式(12)可以得到dy(x)dx=k+xkd(kk+x)dx=k+xkk(k+x)2=1k+x=1k|x|.(15)3)当x=0时,根据式(12)并利用定义计算y(x)在x=0处的右导数,可得 y+(0)=lim0+y()y(0)=lim0+log(kk )0=lim0+k kk(k )21=1k,(16)其中 y+(0)表示y(x)在x=0处的右导数,第3个等式由洛必达法则得到.计算y(x)在x=0处的左导数,可得 y(0)=lim0y()y(0)=lim0log(kk+)0=lim0k+kk(k+)21=1k,(17)其中:y(0)表示y(x)在x=0处的左导数,第3个等式由洛必达法则得到.因此,y(x)在x=0处的左右导数存在且相等,另外y(x)在x=0处是连续的,因此y(x)在x=0处的导1154控 制 理 论 与 应 用第 40 卷数存在,且 y(0)=y(0)=y+(0)=1k.(18)结合式(14)(15)(18)可以得到dy(x)dx=1k|x|.(19)证毕.2.3控控控制制制目目目标标标给定系统的期望输出yd,设计控制律u使得系统输出y跟踪期望输出yd,同时跟踪误差能够在固定时间内收敛到原点的充分小邻域内,并且分别满足如下两类约束:1)输出约束.|y|0,(20)其中kc1是指定的正常数.2)全状态约束.|x1|kc2,|x2|0,(21)其中kc2,kc3是指定的正常数.假假假设设设 1对于期望输出yd及其连续导数 yd,存在正数:Y0,Y0,Y1,A0,A1满足:Y06yd6Y0,|yd|6A1,以 及maxY0,Y06A0 minkc1,kc2,A1kc3.注注注 1在假设1中:A0表示期望信号yd的上界,A1表示期望信号的导数 yd的上界.对于具有输出约束的跟踪问题,期望输出yd的上界需要小于给定输出约束,否则期望输出大于等于给定的输出约束,输出约束与期望输出相互矛盾.假设1中条件:maxY0,Y06A0 minkc1,kc2保证了期望信号的上界A0小于系统的输出约束.类似地,对于具有状态约束的跟踪问题,期望输出的导数 yd的上界A1需要小于给定的状态x2的约束,假设1中A1 kc3保证了该条件的成立.简洁起见,在下文中,对随时间变化的函数/变量进行简写,例如将“d(t)”简写为“d”,其他信号类似.3固固固定定定时时时间间间滑滑滑模模模控控控制制制器器器设设设计计计本节针对系统(2)分别设计具有输出约束以及具有全状态约束的滑模控制律,并给出被控系统的稳定性证明.3.1具具具有有有输输输出出出约约约束束束的的的固固固定定定时时时间间间滑滑滑模模模控控控制制制定义系统跟踪误差为e1=x1 yd,e2=e1=x2 yd.(22)令kb1=kc1 A0,如果跟踪误差e1满足|e1|kb1=kc1 A0,(23)其中A0为假设1中常数.则根据假设1可得|y|=|e1+yd|6|e1|+|yd|,c1tane12kb1,其他,(26)其中:是一个正常数且满足 0,c2 0,0 1 1,且1,2是两个正奇数的比.c1满足下列关系:c1=c1tan2kb11+c2tan2kb12tan2kb1,(27)由式(27)可知,函数(e1,kb1)是连续的.基于滑模变量(25),设计如下的固定时间控制律:u=1(e1,kb1)g131 g241f(x1,x2)D1sgn1+yd,(28)(e1,kb1)表达式为(e1,kb1)=sec2e12kb12kb1e2c11tane12kb111+c22tane12kb121,|e1|,c1sec2e12kb12kb1e2,其他,(29)其中:g1 0,g2 0,0 3 1,且3,4是两个正奇数的比,D1为一个正常数.定定定理理理 1对于控制系统(2),如果初始跟踪误差e(0)满足|e(0)|d,可得V161(g113 g214)(D1d)|1|6g1|1|3+1 g2|1|4+1=23+12g1V3+121 24+12g2V4+121,(31)因此V1(t+h)V1(t)=wt+htV1(s)ds6h(23+12g1mint,t+hV1()3+1224+12g2mint,t+hV1()4+12).(32)根据定义1可得D+V1(t)623+12g1V1(t)3+1224+12g2V1(t)4+12,(33)因此,根据引理1可得:滑模变量1在在固定时间内收敛到原点,收敛时间T1可估计为T16223+12g1(1 3)+224+12g1(4 1).(34)接下来证明滑模变量收敛后跟踪误差的收敛性.选取Lyapunov函数为V2=12e21.当滑模变量收敛,即1=0后,可以得到1=e2+(e1,kb1)=0,(35)若|e1|,根据式(26)(35)可得e2=c1tane12kb11 c2tane12kb12.(36)对V2求导并将式(36)代入后可得V2=e1e2=e1(c1tane12kb11c2tane12kb12)6e1(c1|e12kb1|1sgne1c2|e12kb1|2sgne1)=c11(2kb1)1|e1|1+1 c22(2kb1)2|e1|2+1=c121+121(2kb1)1V21+12 c222+122(2kb1)2V22+12,(37)因此,当|e1|时,|e1|,V2是单调递减的.接下来证明e1在固定时间内收敛到1内,其中:1=|e1|e1|6.不失一般性,假设V2(T1)1,122 1时,根据式(37)可得V26 c2V2+122,(38)其中 c2=c222+122(2kb1)2.令 z=c2z2+12,(39)则可得dzz2+12=c2dt,(40)进而可得w1V2(T1)z2+12dz=wt1T1 c2dt,(41)其中t1为正常数.求解式(41)可得22 1(1 V2(T1)122)=c2(t1 T1),(42)因此t1 T162(2 1)c2.(43)进一步,考虑V261的情形,根据式(37)可以得到V26 c1V1+122,(44)其中 c1=c121+121(2kb1)1.令 z=c1z1+12,(45)则可得w1221z1+12dz=wt2t1 c1dt,(46)进而可得21 11 (122)112=c1(t2t1),(47)其中t2为正常数.因此t2t162(1 1)c1.(48)根据式(43)(48)与比较原理,可得V2减小到122所1156控 制 理 论 与 应 用第 40 卷需要的时间T2满足T26t26t1+2(2 1)c26T1+2(2 1)c2+2(1 1)c1=T1+21+1(kb1)1c11(11)21+12+22+1(kb1)2c22(2 1)22+12.(49)即V2在固定时间减小到122.当V2122时,可以得到|e1|0,|e1(t)|kb1.具体证明如下:由式(33)可得,滑模变量1始终有界.根据定理1中条件,初始误差满足:|e1(0)|kb1,通过反证法证明不存在e1(t)越过约束边界kb1的时刻.证明分为以下两种情况进行讨论:1)假设存在时刻t1,满足06tt1时,e1(t)0.由limtt1e1(t)=kb1与 式(26)可 得limtt1(e1(t),kb1)=+.因此limtt11(t)=limtt1e2(t)+(e1(t),kb1)=+,这与1始终有界矛盾,因此不存在时刻t1.由此可知e1(t)始终小于kb1.2)假设存在时刻t2,满足06tkb1且limtt2e1(t)=kb1,则根据式(4)得limtt2e2(t)=limtt2 e1(t)60.由limtt2e1(t)=kb1与 式(26)可 得limtt2(e1(t),kb1)=.因此limtt21(t)=limtt2e2(t)+(e1(t),kb1)=,这与1始终有界矛盾,因此不存在时刻t2.由此可知e1(t)始终大于kb1.综上,|e1(t)|kb1始终满足,根据式(23)(24)可得系统的输出始终满足约束(20).证毕.3.2具具具有有有全全全状状状态态态约约约束束束的的的固固固定定定时时时间间间滑滑滑模模模控控控制制制本小节考虑具有全状态约束的控制问题.对于系统状态x1=y的约束,与上一节相同,将x1的约束转化为跟踪误差e1的约束,如果e1满足|e1|kb2=kc2 A0,(51)则系统的输出约束可以得到保证.类似地,将状态x2的约束转化为误差e2的约束.如果误差e2满足|e2|kb3=kc3 A1,(52)其中A1为假设1中常数.则根据假设1可得|x2|=|e2+yd|6|e2|+|yd|kc3,(53)即状态x2的约束得到满足.因此通过设计控制律保证式(51)(52)始终成立来实现全状态约束.为实现状态约束,设计如下的终端滑模变量:2=log(kb3kb3|e2|)sgne2+(e1,kb2).(54)基于滑模变量(54),设计固定时间控制律为u=(kb3|e2|)(e1,kb2)g132 g242+yd f(x1,x2)D2sgn2kb3|e2|,(55)其中D2为一个正常数.定定定理理理 2对于控制系统(2),如果初始误差满足|e1(0)|kb2,|e2(0)|d,可得V362(g123+g224)(D2d)|2kb3|e2|623+12g1V33+12 24+12g2V34+12,(58)因此V3(t+h)V3(t)=wt+htV3(s)ds6h(23+12g1mint,t+hV3()3+1224+12g2mint,t+hV3()4+12).(59)根据定义1,可得D+V3(t)623+12g1V3(t)3+1224+12g2V3(t)4+12.(60)通过引理1可得滑模变量2在固定时间内收敛到原点.下面证明系统的状态约束能够满足.由式(60)可知滑模变量2是有界的,类似于定理1的证明,可以得到对于t0,误差e1(t)满足|e1(t)|kb2,因此状态x1始终满足约束(21),具体证明在此省略.下面分析状态x2始终满足约束(21).由定理2中条件可知初始误差满足:|e1(0)|kb2,|e2(0)|kb3.证明分为以下2种情况进行讨论:1)假设存在时刻t3,满足:06tt3时,|e1(t)|kb2,e2(t)0,结合tkb2可得:limtt3e1(t)=kb2,则根据式(26)可知:limtt3(e1(t),kb2)=,进而limtt32(t)=limtt3(e1(t),kb2)+log(kb3kb3|e2(t)|)sgne2(t)=+,这与2有界矛盾,因此不存在时刻t3.由此可得e2始终小于kb3.2)假设存在时刻t4,满足:06tt4时,|e1(t)|kb3且limtt4e2(t)=kb3,则limtt4log(kb3kb3|e2(t)|)sgne2(t)=.同时,limtt4 e1(t)=limtt4e2(t)0,结合t t4时,e1(t)kb2可得:limtt4e1(t)=kb2,则根据式(26)可知limtt4(e1(t),kb2)=+,进而limtt42(t)=limtt4(e1(t),kb2)+log(kb3kb3|e2(t)|)sgne2(t)=,这与2有界矛盾,因此不存在时刻t4.由此可知e2(t)始终大于kb3.综上,误差e2(t)始终满足|e2(t)|,根据式(26)可得log(kb3kb3|e2|)=c1|tane12kb2|1+c2|tane12kb2|2.(62)根据引理2可得log(kb3kb3|e2|)6|e2|kb3|e2|.(63)结合式(62)(63)可得|e2|kb3|e2|c1|2kb2|1|e1|1+c2|2kb2|2|e1|2.(64)由式(64)与|e1|kb3(c1|2kb2|1|e1|1+c2|2kb2|2|e1|2)1+c1|2kb2|1|e1|1+c2|2kb2|2|e1|2kb3(c1(2kb2)1|e1|1+c2(2kb2)2|e1|2)1+c1(2)1+c2(2)2.(65)选取lyapunov泛函为V4=12e21.对V4求导并将式(65)代入后可得V4=e1e2=|e1|e2|61158控 制 理 论 与 应 用第 40 卷|e1|kb3(c1(2kb2)1|e1|1+c2(2kb2)2|e1|2)1+c1(2)1+c2(2)2=kb3c1(2kb2)1|e1|1+1 kb3c2(2kb2)2|e1|2+11+c1(2)1+c2(2)2=2112kb3c1(kb2)11+c1(2)1+c2(2)2V41+122122kb3c2(kb2)21+c1(2)1+c2(2)2V42+12.(66)类似于定理1中的分析,可以得到:系统跟踪误差在固定时间内收敛到集合|e1|e1|6内,收敛时间T3可以估计为T36T1+2(1+c1(2)1+c2(2)2)2112kb3c1(kb2)1(1 1)+2(1+c1(2)2+c2(2)2)2122kb3c2(kb2)1(2 1),(67)通过调整参数的大小可以使得误差收敛的上界充分小.证毕.4数数数值值值仿仿仿真真真为了验证本文所提出的控制律(28)(55)的有效性,本节将对其进行仿真验证.控制律中g1,g2为反馈增益系数,选取较大的g1,g2可以加快滑模变量的收敛速度,但同时会增大控制输入,因此可以根据控制输入的限制调整g1,g2的大小.根据稳定性条件,l(l=1,4)取值为两个正奇数的比,且满足1(0,1),3(0,1),2 1,41.c1,c2的选取方式与g1,g2类似.鲁棒项增益D1,D2的选取要求为D1d,D2d,其中d为扰动上界,在满足此要求下选取较小的值即可,因为增大D1,D2的取值会使得控制输入产生较大的抖振.另外,使用如下的传统固定时间滑模控制律进行对比:u=c11e111e2 c22e121e2 g1s3 g2s4 f(x1,x2)Dsgns+yd,(68)其中:s=e2+c1e11+c2e12,g1,g2为正的反馈系数,c1 0,c2 0,0 1 1,0 3 1,4 1,且i(i=1,4)为两个正奇数的比.D为一正常数,满足Dd.情情情况况况1首先考虑具有输出约束的固定时间控制问题,考虑系统(2),其中:f(x1,x2)=sinx1+x22,期望输出为yd=0.8cos(0.5t),输出约束设置为|y|kc1=3.系统初始状态为:x1(0)=1,x2(0)=1.分别使用控制律(28)与控制律(68)完成系统输出的跟踪.控制律参数选取为:c1=c1=1,c2=c2=0.5,g1=g1=0.5,g1=g2=0.5,1=1=57,2=2=97,3=3=574=4=53,=0.01,D1=D=0.61.同时,为了验证系统的抗干扰能力,从第6 s开始向系统中加入干扰信号d(t)=0.6sin(0.5t).仿真结果如图15所示.?d?c1?c1?1.5?1.00.50.00.51.01.5012345678910?/s 图 1 控制律(28)作用下系统输出曲线Fig.1 The system output under the control law(28)?0.050.000.050.100.150.200.25012345678910?1?/s 图 2 控制律(28)作用下系统跟踪误差曲线Fig.2 The tracking error under the control law(28)图1给出了在本文所提出的控制律(28)作用下系统的输出曲线,从图中可以看出系统输出能够快速跟踪上期望的输出曲线,并且没有违背输出约束.图23分别给出了跟踪误差与滑模变量曲线,从图中可以看出系统跟踪误差与滑模变量都能够快速收敛,同时外界扰动没有对系统的跟踪过程产生明显的影响,说明提出的方法具有一定的鲁棒性.图4为控制输入第 7 期安炳合等:具有输出/全状态约束的固定时间滑模控制1159变化曲线,因为系统的初始状态靠近系统的约束边界并有向约束外运动的趋势,因此需要较大的控制输入使得系统输出一直保持在约束内,之后控制输入收敛到一个较小的值.接着,与传统固定时间滑模控制律(68)进行对比.图5给出了在控制律(68)作用下的系统输出曲线,可以看出虽然系统输出能够快速的跟踪上期望输出曲线,但是在跟踪的过程中,系统的输出违背了约束条件,无法实现对输出进行约束的目的.对比进一步说明了本文提出算法的有效性.?101234560123456789101?/s 图 3 控制律(28)作用下滑模变量1曲线Fig.3 The curve of1under the control law(28)?120?100?80?60?40?200501234678910?/s 图 4 控制输入(28)变化曲线Fig.4 The curve of control input(28)?d?c1?c1?1.5?1.0?0.50.00.51.01.5012345678910?/s 图 5 控制律(68)作用下系统输出曲线Fig.5 The system output under the control law(68)情情情况况况2考虑具有全状态约束的固定时间控制问题.考虑的系统与情况1相同,期望的输出为yd=0,状态约束设置为|x1|kc2=/3,|x2|kc3=0.45.系统初始状态为:x1(0)=1.02,x2(0)=0.4.分别使用控制律(55)与控制律(68)完成系统输出的跟踪.控制器参数为:D2=D=0.65,其他参数选取与情况1相同.仿真结果如图610所示.?d?c2?c2?1.5?1.0?0.50.00.51.01.5012345678910?/s 图 6 控制律(55)作用下系统输出曲线Fig.6 The system output under the control law(55)?0.5?0.4?0.3?0.2?0.10.00.50.10.20.30.4012345678910?2?/s?c3?c3?2图 7 控制律(55)作用下状态x2变化曲线Fig.7 The curve ofx2under the control law(55)2?45?40?35?30?25?2050?5?10?15012345678910?/s 图 8 控制律(55)作用下滑模变量2曲线Fig.8 The curve of the control input(55)图67给出了在本文提出的控制律(55)作用下系1160控 制 理 论 与 应 用第 40 卷统的状态曲线.从图中可以看出,系统的输出能够快速跟踪上期望指令,同时全部状态始终满足约束条件.从图8可以发现滑模变量能够快速收敛到零点,趋近阶段时间较短.图910为传统固定时间控制律(68)作用下系统的状态曲线,从图中可以看出,使用传统控制律,系统状态已经超出约束的边界,无法实现状态约束.因此相较于传统固定时间滑模控制,本文所提出的固定时间控制律具有全状态约束的能力.012345678910?/s?1.5?1.0?0.50.00.51.01.50.0 0.1 0.2 0.3?1.050?1.045?d?c2?c2图 9 控制律(68)作用下系统输出曲线Fig.9 The system output under the control law(68)?0.6?0.4?0.20.00.20.40.80.6012345678910?2?/s?c3?c3?2图 10 控制律(68)作用下状态x2变化曲线Fig.10 The curve ofx2under the control law(68)5总总总结结结本文针对具有输出/全状态约束的二阶系统控制问题,提出了两种具有约束的终端滑模变量,并设计了相应的固定时间滑模控制律.之后通过非光滑分析与Lyapunov稳定性理论证明了所提出的控制算法不仅能够使得系统误差在固定时间收敛到原点的充分小邻域内,同时保证系统输出/状态始终满足约束条件.在数值仿真中分别展示了含有输出约束与含有全状态约束下的控制系统仿真算例,并与传统的固定时间控制律进行对比,仿真结果表明了本文所提出的算法能够实现快速收敛与输出/全状态约束.参参参考考考文文文献献献:1 POLYAKOV A.Nonlinear feedback design for fixed-time stabiliza-tion of linear control systems.IEEE Transactions on Automatic Con-trol,2012,57(8):2106 2110.2 WANG Hongwei,SONG Xiaojuan,LUShufeng.Robust fixed-timeterminal sliding mode fault tolerant control for liquid-filled space-craft.Control Theory&Applications,2021,38(2):235 244.(王宏伟,宋晓娟,吕书锋.充液航天器的鲁棒固定时间终端滑模容错控制.控制理论与应用,2021,38(2):235 244.)3 FU J,WANG J.Fixed-time coordinated tracking for second-ordermulti-agent systems with bounded input uncertainties.Systems&Control Letters,2016,93:1 12.4 LI Xiaobao,ZHANG Youan,BAO Hu,et al.Nonsingular terminalsliding mode based impact angle constraint guidance law with fixed-time convergence.Control and Dicision,2020,35(2):474 482.(李晓宝,张友安,鲍虎,等.带攻击角度约束的非奇异终端滑模固定时间收敛制导律.控制与决策,2020,35(2):474 482.)5 YOU M.Research on fixed time attitude tracking control for reusblelaunch vehicle.Tianjin:Tianjin University,2017.6 CHEN Z,CHEN W,LIU X,et al.Three-dimensional fixed-timerobust cooperative guidance law for simultaneous attack with im-pact angle constraint.Aerospace Science and Technology,2021,110:106523.7 SUN Xiangyu,WANG Songyan,YANG Shengjiang,et al.Adding apower integrator technique based integra