8.5-隐函数的求导公式名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

,*,8.5,隐函数的求导公式,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,8.5,隐函数的求导公式,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,隐函数在实际问题中是常见,.,平面曲线方程,空间曲面方程,空间曲线方程,下面讨论怎样由,隐函数方程,如,求偏导数,.,第1页,1,一个方程情形,方程组情形,小结 思索题 作业,implicit function,8.5,隐函数,求导公式,第,8,章 多元函数微分法及其应用,第2页,2,一、一个方程情形,在一元函数微分学中,现在利用复合函数,链导法则,给出隐函数,求导法,.,并指出,:,曾介绍过隐函数,(1),求导公式,隐函数存在一个充分条件,.,1.,由二元方程,F,(,x,y,)=0,确定一元隐函数,y,=,f,(,x,),第3页,3,隐函数存在定理,1,设二元函数,F,(,x,y,),在点,P,(,x,0,y,0,),某一邻域内满足,:,并有,(1),含有连续偏导数,;,它满足条件,y,0,=,f,(,x,0,),则方程,F,(,x,y,),=,0,在点,P,(,x,0,y,0,),某一邻域内恒,隐函数求导公式,(2),(3),能唯一确定一个连续且含有连续导数函数,(,证实从略,),仅推导公式,.,将恒等式,两边关于,x,求导,由,链导法则,得,y,=,f,(,x,),第4页,4,或简写,:,于是得,所以存在,(,x,0,y,0,),一个邻域,在这个邻域内,第5页,5,证,记,(1),邻域内连续,;,所以方程在点,(0,0),附近确定一个有连续导数、,且,隐函数,y,=,f,(,x,),则,(2),(3),例,证实方程,一个隐函数,y,=,f,(,x,),在,(0,0),点附近确定,隐函数存在定理,1,第6页,6,先变形方程,方程两边对,x,求导,例,法一,推导法,解,（即一元隐函数求导法）,第7页,7,解,令,则,例,隐函数求导公式,法二,公式法,第8页,8,则方程,F,(,x,y,z,),=,0,在点,(,x,0,y,0,z,0,),某一邻域内,恒能唯一确定一个连续且含有连续偏导数函数,并有,若三元函数,F,(,x,y,z,),满足,:,它满足条件,在点,P,(,x,0,y,0,z,0,),某一邻域内,含有连续,2.,由三元方程,F,(,x,y,z,)=0,确定二元隐函数,隐函数存在定理,2,(1),(2),(3),z,=,f,(,x,y,),z,=,f,(,x,y,),偏导数,;,第9页,9,(,证实从略,),仅推导公式,.,将恒等式,两边分别关于,x,和,y,求导,应用,复合函数求导,法,得,设,z,=,f,(,x,y,),是方程,F,(,x,y,z,),=,0,所确定,隐函数,则,所以存在,点,(,x,0,y,0,z,0,),一个邻域,在这个邻域内,因为,连续,于是得,第10页,10,例,解,则,令,法一,公式法,x,y,z,三个自变量函数,.,在求,F,x,F,y,F,z,时,将,F,(,x,y,z,),看作是,第11页,11,方程确定了,一,个,二元函数,z,=,f,(,x,y,),方程两边对,x,求导：,(,y,看作常数,),方程两边对,y,求导,:(,x,看作常数,),法二,推导法,例,解,第12页,12,将隐函数方程两边取全微分,法三,全微分法,例,第13页,13,将,注,再一次对,y,求偏导数,得,对复合函数求高阶偏导数时,需注意,:,导函数仍是复合函数,.,故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导方法,.,第14页,14,解,法一,用公式,练习,第15页,15,法二,用全微分,得,第16页,16,例,设有隐函数,其中,F,偏导数连续,求,解,令,用多元复合函数求导法,法一,由公式,.,第17页,17,将隐函数方程两边取全微分,即,故,从而,此法步骤清楚,法二,利用全微分,.,求,得,第18页,18,将方程两边求导,(,推导法,).,对,x,求偏导,:,u,v,即,自己练习,z,是,x,y,函数,!,法三,第19页,19,二、方程组情形,(,隐函数组,),下面讨论由联立方程组所确定隐函数,确定两个,二元函数,u,=,u,(,x,y,),v,=,v,(,x,y,),求,故由方程组,求导方法,.,两个方程,四个变量,第20页,20,则方程组,F,(,x,y,u,v,)=0,G,(,x,y,u,v,)=0,在点,(,x,0,y,0,),v,0,=,v,(,x,0,y,0,),单值连续函数,u,=,u,(,x,y,),v,=,v,(,x,y,),且有偏导数公式,:,某一邻域内可,唯一,确定一组满足条件,u,0,=,u,(,x,0,y,0,),隐函数存在定理,3,若函数,F,(,x,y,u,v,),G,(,x,y,u,v,),满足,:,在点,P,(,x,0,y,0,u,0,v,0,),某一邻域内,含有对各个,(1),变量连续偏导数,;,(2),(3),第21页,21,(,证实从略,),仅推导公式,.,第22页,22,将恒等式,两边关于,x,求偏导,解这个以,为未知量线性方程组,由,链导法则,得,:,求,第23页,23,解得,当系数行列式不为零时,即,雅可比行列式,Jacobi,C.G.j.(,德,)1804-1851,第24页,24,同理,两边关于,y,求偏导,得,求,第25页,25,特,假如方程组,它可能确定两个,现假定它确定,且两个函数,则求,方法同前面求,方法相同,.,为,都可微,别,一元函数,两个方程,三个变量,第26页,26,例,解,分析,直接代入公式；,法一,令,第27页,27,第28页,28,第29页,29,方程组两边对,x,求导,得,利用公式推导方法,.,注意,例,解,克莱姆法则,第30页,30,例,设方程组,确定函数,解,利用公式推导方法,.,原方程组两边分别对,x,求偏导数,:,u,与,v,都视为,x,y,二元函数,第31页,31,解方程组得,移项得：,第32页,32,原方程组两边分别对,解方程组得,自己练,y,求偏导数,:,第33页,33,反函数组存在定理,列式,或,设函数组,x=x,(,u,v,),y=y,(,u,v,),在点,(,u,v,),某邻域内,含有连续偏导数,邻域内,),能确定连续且含有连续偏导数反函数组,则函数组,相对应点,(,x,y,),邻域内,并有,其,Jacobi,行,在与点,(,u,v,),(,也称为在点,(,x,y,u,v,),第34页,34,证,令,有,已知,所以由,隐函数存在定理,3,知,方程组,能确定函数,和,所以存在反函数组,.,第35页,35,两边分别对,x,和对,y,求偏导数,得,再在方程,所以有,第36页,36,例,解,法一,对,x,求偏导,:,这是含有四个变量两个方程方程组,它能够,确定两个二元隐函数,.,假如把,作因变量,x,y,作自变量,那么隐函数,也就是函数组,反函数,.,第37页,37,对,y,求偏导,同理,自己练,.,第38页,38,法二,用全微分形式不变性,.,所以,第39页,39,所以,第40页,40,(,以下三种情况,),隐函数求导法则,三、小结,第41页,41,思索题,分析,方程组中含有五个变量,由题意看出,u,v,是因变量,x,z,是自变量,y,终究是因变量,自变量,?,在这种所求偏导是,一阶,而又有一变量,属性不太明确,情况下,来处理比较简便,.,用全微分形式不变性,还是,第42页,42,解答,两边,求全微分,得,第43页,43,作业,习题,8.5,(340,页,),2.(3)(4)4.7.(1)10.11.13.17.19.22.24.(4)25.,第44页,44,隐函数求导标准,n,个方程,m,个变量,方程组,可确定,n,个,（,m-n,元,）,函数，,普通：,由题目情况，,其余,m-n,个,变量,作自变量，,选定,n,个,变量作,函数变量，,方程组对某一个自变量求导时，,其余自变量,求导后，,从含有偏导数方程组中,求出所求偏导数,。,看作常数，,一个方程推广到多个方程,第45页,1,个,方程,2,个,变量，,确定了,1,个,1,元函数,1,个,方程,3,个,变量，,确定了,1,个,2,元函数,第46页,假如方程组为,则可求,方程组两边关于,x,求导,方程组情形,(,隐函数组,),2,个,方程,3,个,变量，,确定了,2,个,1,元函数,第47页,假如方程组为,可则求,方程组两边关于,x,求偏导,y,看成常数,方程组两边关于,y,求偏导,x,看成常数,则可求,2,个,方程,4,个,变量，,确定了,2,个,2,元函数,第48页,49,(A),只能确定一个含有连续偏导数隐函数,z,=,z,(,x,y,).,设有三元方程,依据隐函数,存在定理,考研数学,(,一,),选择题,4,分,在此邻域内该方程,存在点,(0,1,1),一个邻域,(B),可确定两个含有连续偏导数隐函数,y,=,y,(,x,z,),和,z,=,z,(,x,y,).,(C),可确定两个含有连续偏导数隐函数,x,=,x,(,y,z,),和,z,=,z,(,x,y,).,(D),可确定两个含有连续偏导数隐函数,x,=,x,(,y,z,),和,y,=,y,(,x,z,).,令,隐函数存在定理,2,第49页,50,其中,F,为可微函数,解,考研数学,(,一,),选择,4,分,练习,将隐函数方程两边取全微分,得,即,故,利用全微分,.,第50页,51,解,令,则,练习,整理得,1.,2.,把,z,看成,x,y,函数,对,x,求偏导数,得,把,x,看成,y,z,函数,对,y,求偏导数,得,整理得,第51页,52,整理得,3.,把,y,看成,x,z,函数,对,z,求偏导数,得,第52页,53,考研数学,(,四,),7,分,有连续偏导数,且,解,法一,则,用公式,故,而,所以,练习,多元复合函数链导法则,第53页,54,有连续偏导数,法二,用全微分,两边微分,得,故,故,考研数学,(,四,),7,分,第54页,55,硕士考题,计算,5,分,解,法一,得,得,练习,两边,求全微分,两边,求全微分,第55页,56,法二,用公式,:,所以,第56页,57,解,一阶连续导数和一阶连续偏导数,分别将,两端对,x,求导,得,练习,请再用全微分做,!,硕士考题,计算,5,分,第57页,58,解,一阶连续导数和一阶连续偏导数,分别将,两端,求全微分,得,练习,硕士考题,计算,5,分,第58页,