chap.2-数学省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,2.1 数学起源与发展,2.2 数学基本内容,2.3 数学三次危机与发展,自然科学概论,Chap.2 数学,第1页,2.1.1 数学起源,1.最早书写记数系统,最初数与形概念是在大约两万多年前旧石器时代晚期。,人类先是产生了“数”朦胧概念。他们狩猎而归，猎物或有或无，于是有了“有”与“无”两个概念。连续几天“无”兽可捕，就没有肉吃了，“有”、“无”概念便逐步加深。,自然科学概论,2.1 数学起源与发展,第2页,以后，群居发展为部落。部落由一些组员极少家庭组成。所谓“有”，就分为“一”、“二”、“三”、“多”等四种（有部落甚至连“三”也没有）。任何大于“三”数量，他们都了解为“多”或者“一堆”、“一群”。有些酋长虽是长者，却说不出他捕捉过多少种野兽，看见过多少种树，假如问巫医，巫医就会编造一些词汇往返答“多少种”问题，并煞有其事地吟诵出来。然而，不论怎样，他们已经能够用双手说清这么话（用一个指头指鹿，三个指头指箭）：“要换我一头鹿你得给我三枝箭。”这是他们当初没有算术知识。,自然科学概论,第3页,大约在1万年以前，冰河退却了。一些从事游牧石器时代狩猎者在中东山区内，开始了一个新生活方式农耕生活。他们碰到了怎样统计日期、季节，怎样计算收藏谷物数、种子数等问题。尤其是在尼罗河谷、底格里斯河与幼发拉底河流域发展起更复杂农业社会时，他们还碰到交纳租税问题。这就要求数有名称。而且计数必须更准确些，只有“一”、“二”、“三”、“多”，已远远不够用了。,大约距今五千年前，终于出现了最早书写记数系统。,自然科学概论,第4页,古代非洲尼罗河、西亚底格里斯河和幼发拉底河、中南亚印度河和恒河以及东亚黄河和长江，是数学发源地这些地域先民因为从事农业生产需要，从控制洪水和浇灌，测量田地面积、计算仓库容积、推算适合农业生产历法以及相关财富计算、产品交换等等长久实践活动中积累了丰富经验，并逐步形成了对应技术知识和相关数学知识,2.四大文明古国数学,第5页,(1)古埃及数学,非洲东北部有一条举世闻名大河尼罗河它穿过非洲北部撒拾拉沙漠，流入地中海，两岸狭长地带便成了肥沃绿洲河下游经过地方，孕育了最古老文明之一埃及,尼罗河三角州一带盛产一个水草，这种形状如同芦苇水生植物名字叫纸莎草古埃及人把这种草从纵面剖成小条，拼排整齐，连接成片，压榨晒干，用来写字，在纸莎草上写字，叫纸草书，有不少古埃及纸草书一直保留到今天，成为我们考查埃及历史文化宝贵材料,第6页,埃及人大约在公元前三千五百年就已经有了文字保留下来最早统计数学知识纸草书，现在就珍藏在大英博物馆写这份纸草书，是生活在公元前一千六百年到一千八百年阿摩斯从纸草书上，人们发觉古代埃及人已学会用数学来管理国家和宗教事物，确定付给劳役者酬劳，求谷仓容积和田地面积，按土地面积应征收地税，等等这些知识换成数学语言就是：加减乘除运算，分数运算；一元一次方程和一类相当于二元二次方程组特殊问题，纸草书上还相关于等差数列和等比数列问题他们学会了计算矩形、三角形和梯形面积，长方体，圆柱体，棱台体积等结果，与当代计算值相近，而且，他们用公式A（8/9d）2，（d为直径）来计算圆面积，相当于取值为3.1605,自然科学概论,第7页,第8页,金字塔是法老坟墓，法老是古埃及皇帝今天，在尼罗河三角洲南面散布着七十多座金字塔齐阿普斯皇帝金字塔是其中规模最大一座，塔原146.5米（现因损坏还高137米）基底正方形每边长233米（现为227米）不过，各底边长度误差仅为1.6厘米，只是全长1/14000，基底直角误差只有12，仅为直角1/27000另外，金字塔正个正面向着东南西北，底面正方形两边与正北偏差，也分别只为230和530塔内还有通道、石阶、墓室等这座金字塔约建成公元前2800年，在1889年巴黎埃菲尔铁塔建成以前4600多年间，它一直是世界上最高建筑物,自然科学概论,第9页,(2)古巴比伦数学,巴比伦人是指曾居住在底格里斯河与幼发拉底河西河之间及其流域上一些民族，大约在公元前1800年，他们创建了自己国家巴比伦王国首都巴比伦是今日伊拉克一部分，到了公元前1700年左右，在汉穆拉比王统治时期国势强盛，文化得到了高度发展,尽管巴比伦统治者频繁更替，不过，他们对数学知识传输和使用，从远古时代起到亚历山大时代却一直没有间断,第10页,一百多年前，人们发觉巴比伦人是用楔形文字来记数他们是用头部呈三角形木笔把字刻写在软泥板上，然后，用火烧或晒干使它坚韧如石，方便保留下来进行知识交流因为字形状象楔子，所以人们称为楔形文字因为泥版书需要靠太阳或火烧烘干，碰到风吹雨淋，难于保留原样，所以流传到现在泥版书并不多见，而且楔形文字书写也妨碍了长篇论著编制,巴比伦人从远古时代开始，已经积累了一定数学知识，并能应用于处理实际问题从数学本身看，他们数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证实,自然科学概论,第11页,在算术方面，他们对整数和分数有了较系统写法，在记数中，已经有了位值制观念，从而把算术推进到一定高度，并用之于处理许多实际问题，尤其是天文方面问题,在代数方面，巴比伦人用特殊名称和记号来表示未知量，采取了少数运算记号，解出了含有一个或较多个未知量几个形式方程，尤其是解出了二次方程，这些都是代数开端,在几何方面，巴比伦人认识到了关于平行线间百分比关系和初步毕达哥拉斯定理，会求出简单几何图形面积和体积并建立了在特定情况下底面是正方形棱台体积公式,自然科学概论,第12页,当初古巴比伦和古埃及文明成了以后希腊文明源泉,第13页,(3)中国古代数学,我国是世界上最早文明国家之一,很早以前，我们祖先从渔猎农事活动中，就接触了计算和测量，在这方面积累了大量知识,万里长城和大运河是我国古代文明伟大成就长城由西至东，在险峻起伏山岭上绵延数千千米，是世界上仅有巨大土石建筑沟通南北大运河，长达1700多千米，朴实壮观，是非常出色水利工程我国人民在长城和运河建造过程中，积累了大量几何测量、数学计算和土木工程等方面知识,第14页,中国早在五六千年前，就有了数学符号，到三千多年前商朝，刻在甲骨或陶器上数字已十分常见这时，自然数计数都采取了十进位制甲骨文中就有从一到十、百、千、万等13个记数单位,我国古代计算，不是用记数文字进行，而是用算筹，很有特色算筹就是一些用木、竹制作匀称小棍，算筹纵横布置，就能够表示任何一个自然数据考证，最少在公元前8世纪到公元前5世纪春秋时代，我国算筹记法就已经完备，而印度正式使用0这一符号是在公元876年以后只有表示0方法使用后，十进制才算完备所以，中国是名副其实十进制故乡,自然科学概论,第15页,著名数学著作九章算术大约成书于公元四五十年间东汉早期，全书采取问题形式编写，内容丰富多彩，包含了许多算术、几何、代数和三角知识，是一部非常出色数学专著，它对我国数学发展影响深远九章算术不只在中国数学史上占有十分主要地位，而且影响远及国外朝鲜和日本都曾用它作为教科书，欧洲在中世纪一些算法，比如分数和百分比，就可能是从中国传入印度，再经阿拉伯传入欧洲在阿拉伯和欧洲早期数学著作中，把“盈不足”称为“中国算法”就是一个证实,自然科学概论,第16页,(4)古代印度数学,印度在亚洲南部春天到来时候，北边喜玛拉雅山上积雪开始融化，聚集成五条急流，汇总流入印度河很早以前，在丰饶印度河谷地，就出现了上古居民达罗毗托人，世界上最古老文化之一就发源在这里在一些方面，达罗毗托人文化比埃及文化要高，他们有自己文字，有十进制算法大约公元前两千年时候，印度就已经使用了五十一个字母组成文字，数学在印度曾被认为是最主要科学之一印度是个信仰佛教国家，和许多古老民族一样，它头一批数学家是僧侣,第17页,在公元前3世纪，印度就有了数记号公元2世纪到12世纪之间，古印度人就学会了应用数字符号和0，而且和现在数字已很相同以后，印度引进了十进制位值制，数运算大大地简化了，计数也愈加简练,印度人很早就会用负数表示欠债和反方向运动他们也接收了无理数他们知道含有实解二次方程有两种形式根他们用熟悉配方法统一了二次方程代数解这种方法今天常称为印度方法,印度人对几何学并不精通他们几何学多半是凭经验，而且普通与测量相联络,自然科学概论,第18页,第19页,古希腊地理范围，除了现在希腊半岛外，还包含整个爱琴海区域和北面马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。公元前5、6世纪，尤其是希、波战争以后，雅典取得希腊城邦领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提升，在这个基础上产生了光芒灿烂希腊文化，对后世有深远影响。,希腊数学发展历史能够分为三个时期。第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公元前146年，希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。,自然科学概论,3.古希腊数学巨大成就,第20页,(1)泰勒斯,米利都是伊奥尼亚最大城市，也是泰勒斯故乡，泰勒斯是公认希腊哲学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来知识，并加以发扬。以后创建伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物根源。当初天文、数学和哲学是不可分，泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停顿战争，多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及百分比关系算出金字塔高，使法老大为诧异。,自然科学概论,第21页,泰勒斯在数学方面贡献是开始了命题证实，它标志着人们对客观事物认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常飞跃。伊奥尼亚学派著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对以后毕达哥拉斯有很大影响。,自然科学概论,第22页,(2)毕达哥拉斯学派,毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯，为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一秘密团体。以后在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他学派还继续存在两个世纪之久。毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切，不但仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。他们以发觉勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此造成不可通约量发觉。,第23页,这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联络起来。他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长一个公式，又注意到从 1起连续奇数和必为平方数等等，这既是算术问题，又和几何相关，他们还发觉五种正多面体。,伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著不一样。前者研习数学并不单纯为了哲学兴趣，同时也为了实用。而后者却不重视实际应用，将数学和宗教联络起来，想经过数学去探索永恒真理。,自然科学概论,第24页,（3）柏拉图与亚里士多德,公元前三世纪，柏拉图在雅典建立学派，创办学园。他非常重视数学，但片面强调数学在训练智力方面作用，而忽略其实用价值。他主张经过几何学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈直观印象，将抽象逻辑规律表达在详细图形之中。这个学派培养出不少数学家，如欧多克索斯就曾就学于柏拉图，他创建了百分比论，是欧几里得前驱。柏拉图学生亚里士多德也是古代大哲学家，是形式逻辑奠基者。他逻辑思想为日后将几何学整理在严密逻辑体系之中开辟了道路。,第25页,（4）欧几里得,公元前四世纪以后希腊数学，逐步脱离哲学和天文学，成为独立学科。数学历史于是进入一个新阶段初等数课时期。这个时期特点是，数学(主要是几何学)已建立起自己理论体系，从以试验和观察为依据经验科学过渡到演绎科学。由少数几个原始命题(公理)出发，经过逻辑推理得到一系列定理。这是希腊数学基本精神。在这一时期里，初等几何、算术初等代数大致己成为独立科目。和17世纪出现解析几何学、微积分学相比，这一个时期研究内容能够用“初等数学”来概括，所以叫做初等数课时期。,第26页,从公元前四世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗马成为地中海区域统治者为止，希腊数学以亚历山大为中心，到达它全盛时期。这里有巨大图书馆和浓厚学术空气，各地学者云集在此进行教学和研究。其中成就最大是亚历山大前期三大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。,欧几里得几何原本是一部划时代著作。其伟大历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系最早典范。过去所积累下来数学知识，是零碎、片断，能够比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间内在联络，整理在一个严密系统之中，才能建成宏伟大厦。几何原本表达了这种精神，它对整个数学发展产生了深远影响。,第27页,阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象理论和工程技术详细应用结合起来，又在实践中洞察事物本质，经过严格论证，使经验实际上升为理论。他依据力学原理去探求处理面积和体积问题，已经包含积分学初步思想。阿波罗尼奥斯主要贡献是对圆锥曲线深入研究。除了三大数学家以外，埃拉托斯特尼大地测量和以他为名“素数筛子”也很知名。天文学家喜帕恰斯制作“弦表”，是三角学先导。公元前146年以后，在罗马统治下亚历山大学者仍能继承前人工作，不停有所创造。海伦(约公元62)、门纳劳斯(约公元100)、帕普斯等人都有主要贡献。天文学家托勒密将喜帕恰斯工作加以整剪发挥，奠定了三角学基础。,第28页,晚期希腊学者在算术和代数方面也颇有建树，代表人物有尼科马霍斯(约公元100)和丢番图(约250)前者是杰拉什(今约旦北部)地方人。著有算术入门，后者算术是讲数理论，而大部分内容能够归入代数范围。它完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜，对后世影响之大，仅次于几何原本。,公元325年，罗马帝国君士坦丁大帝开始利用宗教作为统治工具，把一切学术都置于基督教神学控制之下。公元529年，东罗马帝国皇帝查士丁尼下令关闭雅典柏拉图学园以及其它学校，禁止传授数学。许多希腊学者逃到叙利亚和波斯等地。数学研究受到沉重打击。641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再次被毁，希腊数学至此告一段落,。,第29页,2.1.2 数学发展简史,1.萌芽时期(,算术和几何，公元前五世纪前),(1)关于数概念(正整数),起初人们对于数只是含糊地知道多、少，即这一物体集合与另一物体集合大小。这就把数与集合联络起来。深入认识是数是物体集合性质，但没有当成抽象数，只是与详细对象相类比。比如5，就是手指数，也可叫脚指数所以数有不一样名称，都带有名称(名数)，进而因为比较就产生了对应，比如数一件东西弯一下手指。于是这个阶段数概念是：每一个单个数，是物体集合一个性质。,第30页,(2)数计算、运算,先发觉了单个数之间关系，比如14是在10上多一个4。这么逐步建立了计算普通规律，还发觉了一规律14也能够是4上多一个10，(加法交换律)，算术就成了含有一定关系和规律系统，算术起源于希腊字计算艺术(TexHe-艺术)。算术运算即是确定数之间一个联络，也能够说算术是关于现实量关系科学，这种关系是抽象，是在纯粹形式上加以研究。,第31页,(3)数学符号出现,伴随需要发展出现了抽象数物质外壳，比如阿拉伯数字8曾为。数字符号成了抽象数概念详细化身。有了数字符号以后用笔算比心算更轻易。有了数字符号，以后就出现了其它一些数学符号比如+、等。数学符号使计算成了机械动作。比如加法时进位能够进点表示要进一位，数学符号推进了数学发展。,第32页,(4)几何产生,几何产生历史本质上同算术一样，最初一些几何概念和知识也是在实践活动进程中产生。人从自然界本身提取出几何形式。月亮圆形和镰刀形，湖水平面，光线和整齐树木直，由这么抽象出几何图形，物体存在空间形式。几何量概念(长度、面积、体积)也是从实践活动中产生，由详细抽象出来。进而又发觉了一些几何关系，比如位置之间关系，数量之间关系等。当初几何只是一些规则聚集，不是由自己定理和证实理论科学几何学。,第33页,公元前七世纪时几何从埃及传到了希腊，当初哲学唯物主义者法勒斯、德莫克利特等人将它发展，毕达哥拉斯门徒们也做出了贡献、几何朝着积累新事实和说明它们相互间关系方向发展，这些关系逐步转变为从一些几何原理得到另一些原理逻辑推理，用这种方法形成了关于几何定理及其证实概念本身，追溯到了基本原理(公理)，而成为了科学几何学。到了欧几里得几何原本几何已经表述如此严密系统，今后二千年都没有增加新内容，成为数学著作典范。,第34页,2.初等数课时期（,前五世纪到十七世纪,）,初等数学是指常量数学而言。从公元前五世纪到公元十七世纪大约历经了二千多年。这个时期又分为三个阶段,(1)希腊时期(公元前5世纪到6世纪),这一阶段几何发展得很辉煌。欧几里得几何原本在希腊人发展下已经成为更完整系统，而在此基础上他们研究了圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线；证实了一些射影几何初步定理；以天文学需要为指南球面几何以及三角学原理，吉巴尔赫在公元前二世纪计算出最初一些正弦表；还确定了一系列复杂图形面积和体积，(阿基米德计算证实了抛物线弓形面积)。,在算术和代数领域中，数论基础已出现。,第35页,(2)东方时期(公元五世纪-十五世纪),伴随希腊在历史上消亡，希腊科学东渐到中亚和阿拉伯及印度等地域。这一阶段数学发展与当初航海及天文有着亲密关系尤其是计算上需要非常突出。不少数学家又都是天文学家。印度人创造了当代计数法，他们引进了负数、并把负数与正数对立起来与财产存欠和直线上两个方向对立联络起来，无理量被引入而且被运算，逐步建立了代数运算符号(已经有了求根符号)对数普通定义奥玛尔海扬指明为：两个量任何比都能够称为数。(不论是通约或不通约量)，这就是牛顿在数学原理中把数了解为单位集合，不如把数了解为某个量对另一个被取作单位量抽象比。这个数能够是整数，有理数或无理数。,第36页,(3)欧洲发展(十五世纪-十六世纪末),伴随文艺复兴，欧洲人把希腊和中东时期数学结果引入。到公元十六世纪已经越过了前人成就。意大利人在普通形式上解了三次方程和四次方程，这个时期开始利用虚数，创造了当代代数符号，用字母表示已知数，十进小数也被使用。1614年英国人纳皮尔创造了供天文计算作参考对数，1624年布利格计算出第一批十进位对数表，出现了组合论，这个时期对常量数学(初等数学)基本上完成了。,第37页,3.变量数学,到十六世纪对于运动过程中量之间依赖关系研究促进了函数发展。变量在改变过程中有主从关系和依赖关系，从大量实际问题中抽象为y=f(x)这种数学关系，专门研究函数领域叫数学分析，有些人把数学分析称为无穷小量分析，因为无穷小量是研究函数主要工具，数学分析是在已形成着力学材料基础上，在几何问题和从代数中引出方法问题和基础上建立起来。1637年笛卡儿在几何学这本书中提出了一个基本思想，把x2+y2=a2，中x，y看成变量，它们又能够表示成F(x，y)=0，他又引进了直角坐标系和点坐标，把平面上点与有序实数对(点坐标)联络起来，把方程(函数)和点轨迹联络起来，逐步形成了解析几何思想。,第38页,牛顿和莱布尼茨建立微积分也是变量数学发展，它研究函数本身性质。微积分起源于作曲线切线和求面积和体积问题，其中极限概念很主要。同微分一道出现了级数理论，微分方程论，微分几何。微分方程研究方程中未知项已不是量而是函数，即一个量对另几个量相依规律。这些都直接与力学中运动规律相关，以后变分学，微分方程定性理论，复变函数论相继出现。到十七世纪射影几何，画法几何也问世了。再以后研究“随机事件规律，给出研究出现于偶然性中必定性数学方法概率也出现了。十九世纪七十年代由康托尔所建立任何抽象对象无穷集合普通理论就是集合论。,第39页,4.当代数学,在原有基础上当代数学可从以下几个方面加以介绍。,(1)非欧几何,1826年由罗巴切夫斯基从欧几里得几何基础上提出了新公理，而且建立了新理论系统，1854年黎曼明确表述了几何所研究空间数目无限普通思想。这么空间就不只三维，能够是四维(黎曼空间)或更多维。,第40页,(2)当代代数,，在代数对象和应用范围上有扩展，代数最初是关于对数字算术运算学说，以后就用字母表示数实际是对量按照一定形式和法则进行运算。当代对“量”已扩大到矢量等运算也不是算术运算了。如对矢量就是用平行四边形法则，所以“量”已经被认为是“对象”了，把晶体对称学说与分析，几何、物理及结晶学联络发展成了“群论”。,(3)函数迫近理论,它用较简单函数近似地代替复杂函数提供了普通依据。在分析和数理，物剪发展基础上同几何代数新思想相结合产生了泛函分析，它把函数本身也看作是变。,第41页,(4)计算工具发展,算盘是最早计算工具之一(再早还有算筹)，以后出现对数计算尺，算术计算机，直到20世纪四十年代以后出现了当代计算机。在当代计算机发展过程中数理逻辑发展起来。它把数学证实分析做为对象，把普通逻辑中那些客观上能够形式化而且能够用数学方法来发展部分纳入其中。当代数学是各种量之间可能，普通说是各种改变中量关系和相互联络数学。,第42页,2.1.3 数学对象、特征和地位,1.数学对象,数学对象在不一样历史时期有着不一样理,解和认识。,(1),毕达哥拉斯时期,毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切，不但仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。亚里士多德（古希腊）说：“数学研究对象是数量，数是离散数量，量是含有共同边界连续数量”。,第43页,(2)恩格斯,恩格斯指出，,数学对象是现实世界空间形式和量关系,。,“,纯数学是以现实世界空间形式和数量关系这是非常现实材料为对象,”。,这已处理了数学对象这一数学哲学问题，那么“数是什么？”数（以及量、函数、数学结构等全部数学概念）是人们用以表述自己对数学对象现实世界空间形式和量关系这一领域认识思维形式，它们是人脑对数学对象反应形式，并不是认识对象。,第44页,(3)布尔巴基学派（Bourbakian）,20世纪30年代末出现于法国数学学派。由一群青年数学家创建，借用尼古拉布尔巴基为集体笔名，发表数学论文和相关数学基础问题专著。其代表作（数学原理）自1939年刊行以来已陆续出版了40卷，被译为英、日、俄等各种文字。同时学派组员还发表了500多篇文章，综述当代数学各领域重大结果，对当代数学发展产生较大影响。数学原理以其博大精深常为后人称道。书中坚持严格公理化标准，并创造使用许多名词术语（其中大多数被广泛接收）。书中强调数学是一门统一结构性科学，其基本结构有三种：,代数结构、序结构和拓扑结构,。他们认为,数学是“研究结构科学”,。,第45页,(4)中国关肇直（1957年）,数学是研究现实世界中量关系科学,。,第46页,2.数学特点,(1)（论断）准确性,(2)（概念）抽象性,(3)（逻辑）严格性,(4)（应用）广泛性,第47页,3.数学地位和作用,(1)中国古代两种看法,1）实用观点：数为“六艺”之末,2）神秘观点：孙子算经序：“夫算者，天地经纬，群生之元首，万物之祖宗，六艺之纲纪，穷道德之理，究性命之情，。,(2)西方观点,1）高斯：“数学是科学皇后”.,2）比尔（美国，18831960）：“数学也是科学奴仆和有用工具”.,第48页,3）毕达哥拉斯学派：“万物皆数”，“数学本原是一，从一生出不定质料二，从一和二生出各种数目，从各种数目生出点、线、面、体以至万物”.,4）波塞尔（英国，1920）：“我相信数学是人类最主要活动之一”、“数学是发觉非常深刻、出人意料定理永恒而实际科学”.,(3)现实状况,当前，数学已成为与自然科学、社会人文科学、和思维并驾齐驱大部类学科。,“数学能对因社会需要而提出各类问题给予最完美处理”。,（M-克莱茵）,第49页,2.2.1 纯数学,1.数理逻辑,数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。它是数学一个分支，,是用数学方法研究,逻辑,或形式逻辑学科,。所谓数学方法就是指数学采取普通方法，包含使用符号和公式，已经有数学结果和方法，尤其是使用形式公理方法。,自然科学概论,2.2 数学基本内容,第50页,用数学方法研究逻辑系统思想普通追溯到莱布尼茨，他认为经典传统逻辑必须改造和发展，是之更为准确和便于演算。后人基本是沿着莱布尼茨思想进行工作。简而言之，,数理逻辑就是准确化、数学化形式逻辑。,它是当代计算机技术基础。新时代将是数学大发展时代，而数理逻辑在其中将会起到很关键作用。,第51页,逻辑是探索、阐述和确立有效推理标准学科，最早由古希腊学者亚里士多德创建。用数学方法研究关于推理、证实等问题学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻辑。,莱布尼茨就曾经构想过能不能创造一个“通用科学语言”，能够把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确结论。因为当初社会条件，他想法并没有实现。,1847年，英国数学家,布尔,发表了逻辑数学分析，建立了“,布尔代数,”，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中各种概念。布尔建立了一系列运算法则，利用代数方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑基础。,第52页,数理逻辑包含哪些内容呢？这里我们先介绍它两个最基本也是最主要组成部分，就是“命题演算”和“谓词演算”。命题演算是研究关于命题怎样经过一些逻辑连接词组成更复杂命题以及逻辑推理方法。命题是指含有详细意义又能判断它是真还是假句子。,谓词演算也叫做命题涵项演算。在谓词演算里，把命题内部结构分析成含有主词和谓词逻辑形式，由命题涵项、逻辑连接词和量词组成命题，然后研究这么命题之间逻辑推理关系。,第53页,2 数论,数论这门学科最初是从研究整数开始，所以叫做整数论。以后整数论又深入发展，就叫做数论了。确切说，,数论就是一门研究整数性质学科。,数论形成了一门独立学科后，伴随数学其它分支发展，研究数论方法也在不停发展。假如按照研究方法来说，能够分成,初等数论、解析数论、代数数论和几何数论,四个部分。,第54页,数论在数学中地位是独特，高斯曾经说过“数学是科学皇后，数论是数学中皇冠”。所以，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决疑难问题，叫做“皇冠上明珠”，以勉励人们去“摘取”。下面简明列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜测、圆内整点问题、完全数问题 在我国近代，数论也是发展最早数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过主要贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流数论教授。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面研究是享受盛名。1949年以后，数论研究得到了更大发展。尤其是在“筛法”和“歌德巴赫猜测”方面研究，已取得世界领先优异成绩。,第55页,尤其是陈景润在1966年证实“歌德巴赫猜测”“一个大偶数能够表示为一个素数和一个不超出两个素数乘积之和”以后，在国际数学引发了强烈反响，盛赞陈景润论文是解析数学名作，是筛法光芒顶点。至今，这仍是“歌德巴赫猜测”最好结果。,第56页,3 抽象代数,抽象代数（Abstract algebra）又称近世代数（Modern algebra），它产生于十九世纪。抽象代数是研究各种抽象公理化代数系统数学学科。因为代数可处理实数与复数以外物集，比如向量(vector)、矩阵（matrix)、变换（transformation）等，这些物集分别是依它们各有演算定律而定，而数学家将个别演算经由抽象手法把共有内容升华出来，并所以而到达更高层次，这就诞生了抽象代数。,第57页,抽象代数，包含有群（group)、环(ring)、Galois理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新数学学科。,抽象代数已经成了当代大部分数学通用语言。被誉为天才数学家Galois(伽罗瓦,)(1811-1832）是近世代数创始人之一。1843年，Hamilton创造了一个乘法交换律不成立代数四元数代数。1857年，Cayley设计出另一个不可交换代数矩阵代数。他们研究打开了抽象代数(也叫近世代数)大门。实际上，减弱或删去普通代数一些假定，或将一些假定代之以别假定(与其余假定是兼容)，就能研究出许各种代数体系。,抽象代数在20世纪有重大突破.,第58页,4 拓扑学,拓扑学，是近代发展起来一个研究连续性现象数学分支。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当初主要研究是出于数学分析需要而产生一些几何问题。发展至今，,拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下不变性质和不变量,。,分支学科点集拓扑学又称为普通拓扑学;组合拓扑学;代数拓扑学;微分拓扑学;几何拓扑学.,第59页,在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史主要问题。哥尼斯堡（今,俄罗斯,加里宁格勒）是东普鲁士,首都,，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有些人提出：能不能每座桥都只走一遍，最终又回到原来位置。这个问题看起来很简单有很有趣问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想答案还不那么轻易。,第60页,1736年，有些人带着这个问题找到了当初大数学家欧拉，欧拉经过一番思索，很快就用一个独特方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过深入分析，欧拉得出结论不可能每座桥都走一遍，最终回到原来位置。而且给出了全部能够一笔画出来图形所应含有条件。这是拓扑学“先声”。在拓扑学发展历史中，还有一个著名而且主要关于多面体定理也和欧拉相关。这个定理内容是：假如一个凸多面体顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这么关系：f+v-e=2。,第61页,拓扑学建立后，因为其它数学学科发展需要，它也得到了快速发展。尤其是黎曼创建黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论基础，愈加促进了拓扑学进展。二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新面貌。拓扑学研究就变成了关于任意点集对应概念。拓扑学中一些需要准确化描述问题都能够应用集合来叙述。拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其它许多数学分支中都有广泛应用。,第62页,5 微分几何,微分几何学是利用数学分析理论研究曲线或曲面在它一点邻域性质，换句话说，,微分几何是研究普通曲线和曲面在“小范围”上性质数学分支学科。,微分几何学产生和发展是和数学分析亲密相连。在这方面第一个做出贡献是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点坐标，从而开始了曲线内在几何研究。,第63页,微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线弧线长、曲线上一点切线等概念展开。,在曲面上有两条主要概念，就是曲面上距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点路径是无数，但这两点间最短路径只有一条，叫做从一点到另一点测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面一条测地线，还要讨论测地线性质等。另外，讨论曲面在每一点曲率也是微分几何主要内容。,近代因为对高维空间微分几何和对曲线、曲面整体性质研究，使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了亲密关系，这些数学部门和微分几何相互渗透，已成为当代数学中心问题之一。,第64页,6 复变函数论,以复数作为自变量函数叫做复变函数，而以复数域上解析函数为主要研究对象数学分支就是复变函数论。,复变函数论产生于十八世纪，全方面发展于十九世纪，当初数学家们公认复变函数论是最丰饶数学分支，而且称之为这个世纪数学享受，也有些人称赞它是抽象科学中最友好理论之一。,第65页,复变函数论主要包含单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面内容。,复变函数论应用范围很广，很多复杂计算都是用它来处理，而且在数学领域许多分支也都应用了它理论。复变函数论已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们发展产生过深远影响。,复变函数因为是在复平面上建立点集对应，所以还能够分为单值函数和多值函数，但普通情况下只指单值。复变函数在普通情况下可写成W=f(z)=u(x,y)+i v(x,y),其中z=xi+y,u(x,y)和v(x,y)是实二元函数。,第66页,7 微分方程论,假如一个微分方程中出现未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；假如一个微分方程中出现多元函数偏导数，或者说假如未知函数和几个变量相关，而且方程中出现未知函数对几个变量导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。,第67页,微分方程差不多是和微积分同时产生，它形成和发展是和力学、天文学、物理学，以及其它科学技术发展亲密相关。,常微分方程概念、解法和相关理论很多。求通解在历史上曾作为微分方程主要目标，不过能够求出通解情况不多，在实际应用中多是求满足某种指定条件特解。,常微分方程在很多学科领域内有着主要作用，自动控制、各种电子学装置设计、弹道计算、飞机和导弹飞行稳定性研究、化学反应过程稳定性研究等等，这些问题都能够化为求微分方程解，或者化为研究解性质问题。,第68页,偏微分方程解普通有没有穷多个，不过处理详细物理问题时候，必须从中选取所需要解，所以，还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象共同规律表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解详细问题特殊性，所以就物理现象来说，各个详细问题特殊性就在于研究对象所处特定条件，就是初始条件和边界条件。拿弦振动例子来说，对于一样弦弦乐器，假如一个是以薄片拨动弦，另一个是以弓在弦上拉动，那么它们发出声音是不一样。原因就是因为“拨动”或“拉动”那个“初始”时刻振动情况不一样，所以产生以后振动情况也就不一样。,第69页,8 泛函分析,泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件映射学科。,泛函分析是二十世纪三十年代从变分法、微分方程、函数论以及量子物理等研究中发展起来，它利用几何学、代数学观点和方法研究分析学课题，可看作无限维分析学。,第70页,泛函分析不停以其它众多学科所提供素材来提取自己研究对象和一些研究伎俩，并形成了自己许多主要分支；同时它也强有力地推进着其它分析学科发展。它在概率论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有主要应用，它也是研究无限个自由度物理系统主要而自然工具之一。今天，它观点和方法已经渗透到很多工程技术性学科中，成为近代分析基础之一。,第71页,9 概率论,概率论是研究随机现象数量规律数学分支。,随机现象是指对所得到结果不能预先确定，但可确定是各种情况中一个客观现象。在自然界和人类社会中大量存在着随机现象。,第72页,概率论最初是从研究掷骰子等赌博中简单问题开始。使概率论成为数学一个分支真正奠基人是瑞士数学家雅各布第一贝努利，他建立了概率论中第一个极限定理。,概率论发展说明了理论与实际之间亲密联络。在高能物理学、天文学、化学反应动力学、生物数学等学科中含有很大主要应用。许多服务系统如通讯、探测、预报、自动控制等都要应用概率论内容。,第73页,10 组合论,有些人认为广义组合数学就是,离散数学,，也有些人认为离散数学是狭义组合数学和,图论,、,代数结构,、,数理逻辑,等总称。但这只是不一样学者在叫法上区分。总之，,组合数学是一门研究离散对象科学,。伴随,计算机科学,日益发展，组合数学主要性也日渐凸显，因为计算机科学关键内容是使用,算法,处理,离散数据,。,狭义组合数学主要研究满足一定条件组态（也称组合模型）存在、计数以及结构等方面问题。组合数学主要内容有,组累计数,、,组合设计,、,组合矩阵,、,组合优化,等。,第74页,1.数学物理,数学物理学是以研究物理问题为目标数学理论和数学方法。它探讨物理现象数学模型，即寻求物理现象数学描述，并对模型已确立物理问题研究其数学解法，然后依据解答来诠释和预见物理现象，或者依据物理事实来修正原有模型。,自然科学概论,2.2.2 应用数学,第75页,物理问题研究一直和数学亲密相关。作为近代物理学始点牛顿力学中，质点和刚体运动用常微分方程来刻画，求解这些方程就成为牛顿力学中主要数学问题。这种研究一直连续到今天。比如，天体力学中三体问题和各种经典动力系