5.2-二元函数的偏导数与全微分省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上页,下页,返回,XYZ123,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,5.2,二,元函数偏导数与全微分,一、,偏导数,二、高阶偏导数,三、全微分,四、全微分在近似计算中应用,第1页,5.2,二元函数偏导数与全微分,一、偏导数,1,、,偏导数定义,第2页,5.2,二元函数偏导数与全微分,第3页,5.2,二元函数偏导数与全微分,第4页,5.2,二元函数偏导数与全微分,偏导数概念能够推广到二元以上函数,如函数 在点 处,第5页,5.2,二元函数偏导数与全微分,例,1,求,解法,1,解法,2,在点,(,1,2,),处偏导数,.,第6页,5.2,二元函数偏导数与全微分,例,2,设,证,例,3,求,偏导数,.,解,求证,:,第7页,5.2,二元函数偏导数与全微分,偏导数记号是一个,例,4,已知理想气体状态方程,求证,:,证,说明,:,(,R,为常数,),不能看作,分子与分母商,!,此例表明,整体记号,第8页,5.2,二元函数偏导数与全微分,2,.,偏导数几何意义,如图,第9页,5.2,二元函数偏导数与全微分,（,1,）,几何意义,:,第10页,5.2,二元函数偏导数与全微分,（,2,）偏导数存在与连续关系,？,但函数在该点处并不连续,.,偏导数存在 连续,.,一元函数中在某点可导,连续，,多元函数中在某点偏导数存在,连续，,第11页,则称它们是,z=f,(,x,y,),5.2,二元函数偏导数与全微分,二、高阶偏导数,设,z=f,(,x,y,),在域,D,内存在连续偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,二阶偏导数,.,按求导次序不一样,有以下四个二阶偏导,数,:,第12页,5.2,二元函数偏导数与全微分,类似能够定义更高阶偏导数,.,比如，,z=f,(,x,y,),关于,x,三阶偏导数为,z=f,(,x,y,),关于,x,n,1,阶偏导数,再关于,y,一阶,偏导数为,第二、三个偏导数称为,混合偏导数,.,二阶及二阶以上偏导数统称为,高阶偏导数,.,第13页,5.2,二元函数偏导数与全微分,解,第14页,5.2,二元函数偏导数与全微分,例,6,求函数,解,注意,:,此处,但这一结论并不总成立,.,二阶偏导数及,第15页,5.2,二元函数偏导数与全微分,具备怎样条件才能使混合偏导数相等？,问题,比如,对三元函数,u=f,(,x,y,z,),当三阶混合偏导数,在点,(,x,y,z,),连续时,有,第16页,5.2,二元函数偏导数与全微分,证,第17页,5.2,二元函数偏导数与全微分,例,8,证实函数,满足,证,利用对称性,有,方程,第18页,5.2,二元函数偏导数与全微分,三、全微分,全增量,第19页,5.2,二元函数偏导数与全微分,定义,2,假如函数,z=f,(,x,y,),在点,(,x,y,),可表示成,其中,A,B,不依赖于,x,y,仅与,x,y,相关，,称为函数,在点,(,x,y,),全微分,记作,若函数在域,D,内各点都可微,则称函数,f,(,x,y,),在点,(,x,y,),可微,，,全增量,则称此函数,在,D,内可微,.,第20页,5.2,二元函数偏导数与全微分,证,“,可微”与“连续”关系？,第21页,5.2,二元函数偏导数与全微分,“,可微”与“偏导数存在”关系？,第22页,5.2,二元函数偏导数与全微分,一样可证,证,由全增量公式,得到对,x,偏增量,所以有,第23页,5.2,二元函数偏导数与全微分,反例,:,函数,易知,但,注,:,定理,3,逆定理不成立,.,偏导数存在函数,不一定可微,!,所以,函数在点 不可微,.,第24页,5.2,二元函数偏导数与全微分,定理,4,(,可微充分条件,),若函数,偏导数,则函数,在点,连续，,在该点,可微,.,且,全微分定义可推广到三元及三元以上函数,.,比如,三元函数,全微分为：,第25页,5.2,二元函数偏导数与全微分,例,9,计算函数,在点,(2,1),处全微分,.,解,例,10,计算函数,全微分,.,解,第26页,5.2,二元函数偏导数与全微分,可知当,*,四、全微分在数值计算中应用,近似计算,:,由全微分定义,较小时,及,有近似等式,:,(,可用于近似计算,;,误差分析,),(,可用于近似计算,),第27页,5.2,二元函数偏导数与全微分,例,11,计算,近似值,.,解,设,则,取,则,第28页,5.2,二元函数偏导数与全微分,半径由,20,cm,增大,解,已知,即受压后圆柱体体积降低了,例,12,有一圆柱体受压后发生形变,到,20.05,cm,则,高度由,100,cm,降低到,99,cm,体积近似改变量,.,求此圆柱体,第29页,5.2,二元函数偏导数与全微分,偏导数定义,偏导数计算、偏导数几何意义,高阶偏导数,（偏增量比极限）,纯偏导,混合偏导,（相等条件）,内容小结,第30页,5.2,二元函数偏导数与全微分,思索练习,则（）,(,A,),(,C,),(,B,),曲面 在点,法向量,为,曲线 在点,切向量,为,设函数,在点 附近有定义，且,第31页,5.2,二元函数偏导数与全微分,思索练习,(,D,),曲线 在点,切向量,为,答案（,C,）,第32页,