ch21.6-重积分的应用省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,6,重积分应用,一 曲面面积,二 重心,三 转动惯量,四 引力,第1页,1,一、曲面面积,设,D,为可求面积平面有界区域,在,D,上,具有连续一阶偏导数，现讨论由方程,所表示曲面,S,面积.,(1),对区域,D,作分割,T,，把,D,分成,n,个小区域,.这个分割对应地将曲面,S,也分成,n,个,小曲面片,(2)在每个,上任取一点,作曲面在这一点切,第2页,2,近,用切平面,代替,小,曲面片,从,而当,充分小时,有,并在,上取出一小块,使得,与,在,平面,这里,分别,平面上投影都是,(见图,21-38,).,在点 附,第3页,3,(3)当,时,定义和式,极限,(若存在),现在按照上述曲面面积概念,来建立曲面面积,计算公式.,为此首先计算,面积.因为切平面,法向量就,是曲,面,S,在点,处法向量,n,记它与,z,作为,面积.,面积.,表示,轴,夹角为,则,第4页,4,注意到和数,是连续函数,在有界闭域,D,第5页,5,上积分和,于是当,时,上式左边趋于,而右边,趋于,这就得,或另一形式:,到曲面,S,面积计算公式:,第6页,6,解,据曲面面积公式,其中,D,是,曲面方程,例1,求圆锥,在圆柱体,内,那一部分面积.,故,是,第7页,7,表示，其中,在,D,上含有连续,一阶偏导数,且,若空间曲面,S,由参数方程,参数曲面面积公式,第8页,8,则曲面,S,在点,法,线方向为,记,与,轴夹角余弦则为,第9页,9,其中,当,时,对公式,(2),作变换:,第10页,10,则有,由(,4,),便得参数曲面(,3,)面积公式：,第11页,11,例,2,求球面上两条纬线和两条经线之间曲面面积,（图,21-39,中阴影部分).,解,设球面参数方程为:,其中,R,是,球面半径.,这里是求当,时球面上面积.,因为,第12页,12,所以,由公式(,5,)即得所求曲面面积:,注,在讨论曲线弧长时,我们曾用弧内接折线长度,第13页,13,地用曲面内接多边形面积极限来定义曲面面积,呢?施瓦茨曾举出一个反例说明这么定义方法是,不可行，对此读者可参见相关数学分析教程,（如菲赫金哥尔茨微积分学教程中译本第三卷,第二分册).,面积公式，下面用二重积分给予严格证实.,*例,3,设平面光滑曲线方程为,极限来定义(当各段长趋于零时),但能否类似,在上册定积分应用中，曾用微元法给出过旋转面,第14页,14,求证此曲线绕,轴旋转一周得到旋转面面积为,证,因为上半旋转面方程为,所以,第15页,15,不妨设,则,第16页,16,二、重 心,设密度函数为,空间物体,V,，,在,V,上连续.为求得,V,重心坐标,先对,V,作分割,T,是小块,质量可用,近似代替,若,把每一块看作质量集中在,质点时,整个,物体就可用这,n,个质点质点系来近似代替.因为,质点系重心坐标公式为,在属于,T,每一小块,上任取一点,于,第17页,17,第18页,18,重心坐标:,当物体,V,密度均匀分布时,即,为常数时，则有,当,自然地可把它们极限定义作为,V,第19页,19,一样能够得到,密度函数为,平面薄板,D,重心坐标:,当,为常数时，则有,第20页,20,例,4,求密度均匀上半椭球体重心.,解,设椭球体由,表示.借助对,又由,为常数,所以,称性知道,第21页,21,由,5,例,5 已知,故得,即求得上半椭球体重心坐标为,第22页,22,三、转 动 惯 量,A,质量,r,是,A,与,l,距离.,现在讨论空间物体,V,转动惯量问题,我们依然采,用前面方法,把,V,看作由,n,个质点组成质点系，,然后用取极限方法求得,V,转动惯量.,设,为,V,密度函数,它在,V,上连,续.照例,对,V,作分割,T,在属于,T,每一小块,上任取一点,质点,A,对于轴,l,转动惯量为,其中,m,是,第23页,23,质点系,对于,x,轴转动惯量是,令,上述和式极限就是,V,对于,x,轴转,以,近似替换,质量.,当以质点系,近似替换,V,时,动惯量:,第24页,24,类似可得,V,对于,y,轴与,z,轴转动惯量分别为,同理,物体,V,对于坐标平面转动惯量分别为,第25页,25,一样地,平面薄板,D,对于坐标轴转动惯量为,其中,为,D,中点,到,l,距离.,平面薄板,D,对于轴,l,转动惯量为,第26页,26,例,5,求密度均匀圆环,D,对于垂直于圆环面中心,轴转动惯量,(,图,21-40),.,解,设圆环,D,为,密度为,则,D,中任一点,与,z,轴距离平方,于是转动惯量为,为,第27页,27,例,6,求均匀圆盘,D,对其直径转动惯量(图,21-41,).,解,设圆盘,D,为,密度为,求对于,y,轴转,动惯量.因为,D,内任一点,与,y,轴距离为,故,其中,为圆环质量.,第28页,28,其中,m,为圆盘质量.,例,7,设某球体密度与各点到球心距离成正比，,试求它对于切平面转动惯量.,解,设球体由不等式,表示;密度函数,为,k,为百分比常数;取切平面方程为,则球体对于此平面,转动惯量为,第29页,29,经详细计算,可得,第30页,30,四、引 力,求密度为,立体,V,对立体外单位质点,A,引力.,设,A,坐标为,V,中点坐标用,表,示,现用微元法来求,V,对,A,引力.,V,中质量微元对,A,引力在坐标轴上投影为,第31页,31,于是,力,F,在三个坐标轴上投影,分别为,其中,k,为引力系数，,第32页,32,例8,设球体,V,含有均匀密度,试求,V,对球外一,点,A,引力,(,引力系数为,k,),.,显然有,解,设球体为,球外一点,A,坐标为,所以,第33页,33,其中,第34页,34,