具有阶段结构的随机捕食-食饵模型.pdf

第 卷 第 期集美大学学报（自然科学版）年 月 （）：收稿日期 基金项目 国家自然科学基金项目（，）作者简介 张瑞敏（），女，硕士生，从事生物数学方向研究。通信作者：魏春金（），女，教授，博导，从事生物数学方向研究。：文章编号 （）：具有阶段结构的随机捕食食饵模型张瑞敏，魏春金（集美大学理学院，福建 厦门）摘要 建立一个带有 型功能反应与阶段结构的随机捕食食饵模型。通过构造 函数，证明该系统全局正解的存在唯一性，得到正解全局渐近稳定的充分条件。最后给出数值模拟来说明噪声强度对种群系统的影响。关键词 型功能反应；阶段结构；函数；全局渐近稳定中图分类号 引言 年，文献提出经典的 模型，之后种群模型开始受到越来越多的研究者的关注。在生态系统中，种群之间的关系大致可以分为捕食、互惠以及竞争，捕食是其中重要的一种关系。捕食者和食饵之间的动力学关系所反映出的现实意义与人类的生活息息相关，例如病虫害的防治、濒危物种拯救等，因此，捕食食饵模型逐渐成为生物数学中重要的研究课题。近年来，学者依据现实意义提出许多适用于不同情形的功能反应函数，并应用于捕食食饵模型中，其中 型功能反应是由 和 在 年提出的，它是依据比率依赖型功能以及 功能反应得到，可以解释大范围内的生态系统的行为。具有 型功能反应的经典捕食食饵模型 为：（）（），（）（）。（）集美大学学报（自然科学版）第 卷：其中：（）、（）分别代表 时刻食饵和捕食者的密度；、（，）均为正常数。在种群中，由于同一物种的不同阶段在行为和能力上具有不同的表现，因此，通常将一个物种分成幼年与成年两类。对于捕食者来说，幼年捕食者的身体发育尚不成熟，通常没有独自外出捕食的能力，主要依赖它们的父母外出捕食食饵喂养它们；对于食饵来说，幼年食饵大部分时间都待在巢穴之中依赖父母的喂养，因此遇到天敌的概率相对较小，并且有些捕食者并不喜欢捕食幼年食饵。因此，本文提出具有阶段结构并且捕食者只捕食成年食饵的模型为：（），（）（），（），（）（）。（）其中：（）、（）分别表示幼年和成年食饵在 时刻的密度；（）、（）表示幼年和成年捕食者在 时刻的密度；、分别代表食饵和捕食者出生率；（，）代表各自的种群内部竞争率；（，）表示两个物种幼年向成年的转化率；（，）表示种群的死亡率；表示食饵被捕获率；是营养物质转化为捕食者繁殖速率的比率。在自然环境中，种群系统会受到各种随机因素的干扰，如长时间的干旱或暴雨，突如其来的人类狩猎等。随机因素的干扰以各种形式、各种强度存在，这些影响是不可忽视的，它们可能对系统产生巨大的影响，甚至可能导致系统的崩溃。因此，在系统中考虑环境噪声的影响是非常有必要的。假定（，）是系统（）的正平衡点，把环境噪声考虑在内，可以对食饵和捕食者的死亡率加随机，分别表示为 （）（）、（）（）、（）（）、（）（），其中：（，）为环境噪声的强度；（）（，）是定义在完备概率空间（，）的标准布朗运动，并且滤子满足一般性条件，则相应的随机模型记为：（）（）（）（），（）（）（）（），（）（）（）（），（）（）（）（）。（）其中初始值为（），（），（），（）。全局正解的存在性定理 对于任意初始值（），（），（），（），系统（）均依概率 具有唯一的全局正解。证明 可以看出系统的系数是局部 连续的，所以对于任意给定正初始值（），（），（），（），在 ，）存在唯一一个局部的最大解（），（），（），（），其中 是爆破时间。为了证明这个解是全局的，需要证明 。定义如下停时：（，），（）或（），或（）或（），。（）令 ，显然 在 时递增。记 ，显然，如果可以证明 ，那么 ，且对任意 ，（），（），（），（）。下面采用反证法来证明。若该结论不成立，则存在常数 及 （，），使得 。因此存在正整数，使得：，。（）对于 ，显然有 ，定义 函数：为：第 期张瑞敏，等：具有阶段结构的随机捕食食饵模型：（，）（）（）（）（）。（）利用 公式得：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）可得：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。观察（），如果 ，则（），所以这一项就可以从等号的右侧省略。若 ，则（）（）。对于（）、（）、（），可同样分析：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。（）因为式（）最高次项的系数均为负，可知最后一个不等式是成立的，对式（）两边同时从 到积分并取期望得，（），（），（），（）（），（），（），（）。对，令 。由式（）知，（）。由 的定义知，对每个 ，（，）或（，）等于 或 ，从而（），（），（），（）（），（），（），（）（）（），其中表示上的示性函数。令，可得（），（），（），（），这与（），（），（），（）矛盾，因集美大学学报（自然科学版）第 卷：此，定理 得证。全局行为假定 （）是随机微分方程（）（），）（），）（）（）的解，且 是式（）的平衡点。通过随机微分方程的稳定理论，要证明解是全局随机渐近稳定，仅需找到李雅普诺夫函数（）满足：（）当且仅当 、（）是方程（）的解，（），）（），）（）（）。定理 若 、（）成立，则系统（）的正平衡点（，）是依概率 全局随机渐近稳定的。证明系统（）可以被重写为：（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。定义（，）（）（）（）（），其中（，）为待定的正数。对重写的系统应用 公式可得：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。（）取 、，代入式（）可得：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。应用定理 中的条件可得：当且仅当（，）（，），可得正平衡点是全局随机渐近稳定的。第 期张瑞敏，等：具有阶段结构的随机捕食食饵模型：数值模拟取参数为：，初始值取为（），（），（），（）（，）。得到模型（）所对应的确定性方程的平衡点 （，），确定性方程的轨线图见图。为了考察环境噪声对种群密度的影响，本文考虑以下 种情况：）；），；），。代入所求得的平衡点，用 作出随机模型的轨线图，并通过改变参数的值来观察环境噪声对种群系统的影响，结果分别见图 图。图1确定性系统的轨线图Fig.1Track chart of deterministic system种群密度Population densityt图2模型(3)的轨线图(情形1)Fig.2Track chart of system(3)(case 1)tx1（t）x2（t）y1（t）y2（t）x1（t）x2（t）y1（t）y2（t）种群密度Population density012010080604020140160180200051015012010080604020140160180200061018161412842图4模型(3)的轨线图(情形3)Fig.4Track chart of system(3)(case 3)图3模型(3)的轨线图(情形2)Fig.3Track chart of system(3)(case 2)tt种群密度Population densityx1（t）x2（t）y1（t）y2（t）种群密度Population densityx1（t）x2（t）y1（t）y2（t）012010080604020140160180200-55102520150012010080604020140160180200051025201530不同情形下种群密度的对比见图，通过观察图 可以得到，随机微分方程解的振荡程度与环境噪声的强度呈正相关。如果环境噪声强度比较小，随机模型（）的解会围绕着确定性模型的平衡点小幅度地振荡（见图）：如果环境噪声强度相对较大，随机模型（）的解会围绕着确定性模型的平衡点大幅度振荡（见图），甚至会造成捕食者灭绝（见图）。因此，如果想要维持一个生态系统稳定，不出现大幅度的波动或物种的灭绝，应该尽量减少环境对系统干扰，或者减少环境变量的变化。集美大学学报（自然科学版）第 卷：图5不同情形下种群密度对比图Fig.5Comparison of population density in different cases确定性模型Deterministic model情形1 Case 1（1=0.01）情形2 Case 2（1=0.02）确定性模型Deterministic model情形1 case 1（3=0.01）情形2 case 2（3=0.20）情形3 case 3（3=0.30）tttty1(t)x2(t)y2(t)x1(t)确定性模型Deterministic model情形1 case 1（4=0.01）情形2 case 2（4=0.20）情形3 case 3（4=0.35）a）不同1Different 1b）不同2Different 2c）不同3Different 3d）不同4Different 4确定性模型Deterministic model情形1 Case 1（1=0.01）情形2 Case 2（1=0.02）结论本文提出并研究具有阶段结构和 型功能反应的随机捕食食饵模型。构造出合适的 函数，并运用 公式证明模型（）全局正解的存在唯一性，并且推导出正解是全局渐近稳定的充分条件。利用数值模拟得出，在捕食者与食饵共存的情况下，噪声强度对系统的影响为：当噪声强度比较小时，解曲线沿着平衡点轻微振荡；当噪声强度比较大时，解曲线沿着平衡点剧烈振荡，甚至造成种群灭绝。为了生态系统的稳定与持久，一般希望物种保持相对稳定，不要出现太大波动，根据数值模拟的结果得到，应尽量保持较小的环境噪声，可以人为降低大的环境干扰。参 考 文 献 ，：丰莹莹 具有 型功能反应的三种群捕食模型的稳定性分析 郑州：郑州大学，：，：，（）：王克 随机生物数学模型 北京：科学出版社，：，陈哲文，魏春金，张树文 具有心理效应的随机扰动捕食食饵模型 集美大学学报（自然科学版），（）：，（责任编辑 马建华 英文审校 黄振坤）