矩阵的分块初等变换在求秩中的应用.pdf

收稿日期:基金项目:甘肃省自然科学基金()作者简介:董 珺()男甘肃庆阳人副教授硕士文章编号:()矩阵的分块初等变换在求秩中的应用董 珺魏 杰(兰州工业学院 基础学科部甘肃 兰州)摘要:利用分块矩阵的初等变换和分块初等矩阵证明了分块矩阵秩的一些性质结合几道全国研究生入学考试线性代数试题讨论了分块矩阵的初等变换在矩阵秩中的应用并对相关结果作了推广关键词:分块矩阵的初等变换分块初等矩阵矩阵的秩中图分类号:.文献标志码:矩阵的初等变换和初等矩阵是线性代数中非常重要的工具在求矩阵的秩、判断向量组的线性相关性和极大线性无关组、判断矩阵等价及求解线性方程组等问题中有很重要的作用 另一方面线性代数中的很多问题都可以用分块矩阵进行解决例如利用分块矩阵把子块看成元素可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算从而有效降低计算难度可以用来求出原矩阵的逆矩阵也可简化矩阵秩的一些结论的证明和计算张新育将矩阵的初等变换和初等矩阵的概念作了推广给出了分块矩阵的初等变换和分块初等矩阵的概念并讨论了分块矩阵的初等变换和分块初等矩阵的相关性质给出了分块矩阵的初等变换和分块初等矩阵在矩阵的行列式和逆中的一些应用 本文利用分块矩阵的初等变换和分块初等矩阵证明了分块矩阵秩的一些性质结合几道全国研究生入学考试线性代数试题讨论了分块初等变换在矩阵秩中的应用文中用()表示矩阵 的秩 设 是分块矩阵用()表示给矩阵 的第 行(列)块右乘以矩阵 用()表示给矩阵 的第 行(列)块左乘以矩阵 用()表示交换矩阵 的第 两行(列)块 用()表示给矩阵 的第 行(列)块右乘以 加到第 行(列)块上用()表示给矩阵 的第 行(列)块左乘以 加到第 行(列)块上 相关概念及性质定义 分块矩阵的初等行(列)变换指的是对一个分块矩阵施行的下列 种变换:)用一个可乘的可逆矩阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)块)分块矩阵的某一行(列)块左(右)乘一个可乘的矩阵后加到另一行(列)块上)交换分块矩阵中两行(列)块的位置分块矩阵的初等行变换与初等列变换统称为分块矩阵的初等变换 称形如的矩阵为分块单位矩阵其中与分别是 阶与 阶单位矩阵定义 以下 种分块矩阵称为分块初等矩阵:)对调分块单位矩阵的两行(列)块的位置得到的矩阵)以可逆矩阵左(右)乘分块单位矩阵的某第 卷 第 期 年 月兰州工业学院学报 .行(列)块得到的矩阵)以某个矩阵左(右)乘分块单位矩阵的某行(列)块后加到另一行(列)块后得到的矩阵例如下面 种分块矩阵就是分块初等矩阵:其中为 阶可逆矩阵性质:分块初等矩阵均为可逆矩阵其逆也为分块初等矩阵性质:对分块矩阵作一次初等行(列)变换相当于对其左(右)乘以一个相应的分块初等矩阵设有分块矩阵则有 .由性质 和 可得性质 性质:分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩性质:()().证明:设()()则 经过有限次初等变换化为 经过有限次初等变换化为 记 于是有.由性质 得()()()().同理可证()().性质:()()()().证明:设()()则 经过有限次初等变换化为 经过有限次初等变换化为 记 于是有 ()()().由性质 及性质 得()()().同理可证()().推论:设 为 矩阵 为 矩阵则()当()()时()().()当()或()时()().证明:()因为 的行数()()所以 兰州工业学院学报 第 卷 ()().()设()因为()()()又因为()()的行数所以()从而()经过一系列初等变换可变成()设()则矩阵 经过一系列初等变换变成标准形 于是矩阵经过一系列初等变换变成 所以()()()().对()的情形类似可证 应用举例例:(年全国研究生入学考试试题)设 为 阶实矩阵下列结论不成立的是()()()()()()()()()解:由性质 得()()()故选项()正确对于选项()给矩阵的第 列块右乘以 加到第 列块上得 由性质 得()()()故选项()正确对于选项()给矩阵的第 行块左乘以 加到第 行块上得 由性质 得()()()故选项()正确从而应选()事实 上 对 于()若 取 则 且()但 ().性质:两个矩阵中有一个是可逆矩阵时它们乘积的秩等于另一因子的秩性质:矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩例:(年全国研究生入学考试试题)已知 阶矩阵 满足 为 阶单位 矩 阵记 矩 阵的秩分别为 则()()()()()解法:因为而为可逆矩阵所以由性质 得又 因 为 而为可逆矩阵所以由性质 得()第 期 董 珺等:矩阵的分块初等变换在求秩中的应用()()又 因 为而均为可逆矩阵所以由性质 得()再由性质 得()()故 因此应选()解法:对分块矩阵分别实施分块矩阵的初等变换并结合条件 得()()()由性质 知分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩故()再由上面推论()得()()则()故应选()评注:对比两种解法显然属于构造法的解法学习者构造起来较为困难而利用分块矩阵的初等变换的解法 则更为通俗易懂一些尤其是在计算 时直接使用了推论的第二条结论 结语矩阵的秩是矩阵理论的核心内容而分块矩阵的秩是其中的难点和重点其证明和计算方法被许多学者研究 通过上面例题的讨论采用分块初等变换的方法解决有关矩阵的秩的问题相比传统的构造法和反例法要更容易理解一些 且计算方法和解题思路在一般的抽象矩阵求秩问题中都是适用的具有一定的通用性从而可以方便学生掌握这一难点参考文献:张新育.矩阵的分块初等变换与分块初等矩阵及其应用.数学的实践与认识():.全国硕士研究生招生考试数学考试大纲.北京:高等教育出版社.董珺魏杰.考研数学应试宝典线性代数.大连:大连理工大学出版社.():.:(责任编辑:曾贤灏)兰州工业学院学报 第 卷