基于随机微分方程的高耦合系数条件下距离估计方法.pdf

第37卷 第2期2023年4月空 天 预 警 研 究 学 报Journal of Air&Space Early Warning ResearchVol.37 No.2Apr.2023收稿日期：2023-04-28作者简介：李正(1991-)，男，工程师，博士，主要从事雷达数据处理、信号处理研究基于随机微分方程的高耦合系数条件下距离估计方法李正1,2，靳俊峰1,2，陈飞3（1.中国电子科技集团公司 第三十八研究所，合肥 230088；2.孔径阵列与空间探测安徽省重点实验室，合肥 230088；3.63768部队，西安 710600）摘要：针对线性调频体制雷达在高耦合系数条件下距离-多普勒耦合效应严重影响雷达测距精度问题，提出了一种目标距离估计方法基于随机微分方程理论，构造随机过程来估计目标距离值，从理论上推导出该方法估计误差与数据率、耦合系数、雷达测距随机差参数具体数量关系，并证明了该方法在适当条件下能显著改善雷达测距精度仿真结果验证了所研究方法的可行性关键词：线性调频信号；距离-多普勒耦合效应；随机微分方程中图分类号：TN957文献标识码：A文章编号：2097-180X(2023)02-0100-05线性调频体制雷达采用大时宽带宽积线性调频信号波形，通过脉冲压缩技术压缩脉冲时宽，达到提高距离分辨率测量的目的但是线性调频信号在经过匹配滤波器时会产生附加延时，因此当目标相对雷达存在径向运动时，经过脉冲压缩得到的距离并不是目标真正的距离，而是存在距离-多普勒耦合效应1在低轨空间目标监视、反导预警等场景中，为提升高速小目标检测概率，通常会使用脉宽较大的波形，同时由于目标运动速度快，会导致距离-多普勒耦合效应十分显著，使得目标距离测量存在较大偏差，这给高威胁目标运动状态估计、落点推算、空间目标编目定轨等任务带来严重影响针对距离-多普勒耦合效应带来的测距偏差问题，文献 2-7采用估计与测量目标径向速度的方法来修正距离量测，但这类方法在实际工程中应用局限性很大，距离差分法对径向速度估计精度不高，在高数据率大耦合系数场景下对目标距离量测精度提升效果有限,而将实际量测不经过修正直接进行滤波估计径向速度的方法则对使用场景限制性较大，在距离-多普勒耦合效应比较严重情况下，此时的滤波结果已不可靠，且在波形切换时量测会发生跳变，会导致速度估计异常，甚至会在跟踪过程中导致滤波器发散8；文献9设计了一种多调频斜率波形来实现目标距离测量，但这增加了雷达系统设计复杂度同时也降低了波束资源利用率；文献10则提出通过信号脉压前的相位修正以及相参积累前的延时修正来消除距离-多普勒耦合效应，但这依赖于目标径向速度估计的准确性，实用性不强；文献11-14将脉冲压缩之后的结果直接作为量测进行滤波处理，这在一定程度上改善了距离估计精度，但受制于运动模型的偏差与滤波算法状态初始化问题，滤波收敛速度与状态估计稳定性并不能得到有效保证针对上述问题，本文提出了一种距离估计方法利用随机微分方程(SDE)理论构建了一种目标真实距离估计随机过程，并推导出了该方法的距离估计误差与数据率、耦合系数和目标径向加速度的精确关系；结果表明，在适当条件下，测距精度能得到显著改善，同时从理论上证明了方法的收敛性最后，仿真结果验证了理论的可行性1距离-多普勒耦合效应当存在距离-多普勒耦合效应时，在任意时刻t，雷达对目标距离测量值Rm(t)可以表示1为Rm(t)=R(t)+VR(t)+Rm(t)(1)式中，R(t)为目标的真实距离，VR为目标的径向速度，Rm(t)为测量随机差，为距离-多普勒耦合系数，其表达式为=f0/B(2)式中，为信号时宽，f0为载频频率，B为信号调制带宽假设Rm为雷达测距精度标准差(固定常数)，Rm(t)为白噪声，满足条件：E(Rm(t)=0；E(Rm(t2)Rm(t1)=0t2t12Rmt2=t1DOI:10.3969/j.issn.2097-180X.2023.02.004第2期李正，等：基于随机微分方程的高耦合系数条件下距离估计方法101由式(1)可以看到，距离测量误差分两部分：距离-多普勒耦合效应引起的系统偏差；随机噪声导致的随机误差，当耦合系数较大时，径向速度引起的偏差会很显著，这会给后续目标关联、滤波处理等操作带来问题由式(2)可以看到，当信号时宽、载频频率较高时，耦合系数会比较大，文献11中表 1 给出了不同波段、脉宽等参数条件下耦合系数的取值范围情况，文献12分析了距离-多普勒耦合效应对滤波精度的影响下面以中低轨卫星目标为例说明，其径向速度大小可达到VR=7000 m/s，假设雷达信号脉宽=2 ms，载频频率f0=10 GHz，调频带宽B=10 MHz，则耦合系数=2，距离-多普勒耦合效应引起的偏差为DR=VR=14 km，这对测距精度影响较为明显2基于SDE的距离估计方法及误差分析通过估计径向速度来修正耦合效应导致的测距误差，对较小的耦合系数或者较低速目标是可以的，对高耦合系数高速目标不适用；距离维独立滤波方法虽能改善估计精度，但其受限于运动模型精确性，无法从理论上绝对保证状态估计收敛性和稳定性，同时模型误差和滤波初始化问题也会影响距离状态估计收敛速度下面介绍本文提出的新方法2.1基于SDE的距离估计随机过程构造式(1)可以看成是一个随机微分方程假设观测数据率为T，不失一般性，考虑0T时间内目标运动过程，对式(1)变形得到VR(t)+R(t)/=Rm(t)/-Rm(t)/(3)两边乘以exp(t/)并在0T范围内对时间求积分，由随机积分理论得到R(T)-exp(-T/)R()0=-1exp(-T/)0TRm()exp(/)d-1exp(-T/)0TRm()exp(/)d(4)下面证明I=def-1exp(-T/)0TRm()exp(/)d在概率为1的意义下为0由条件，可以得到I2的数学期望为E(I2)=-2exp(-2T/)E(0T0TRm(t)Rm(s)exp(t+s)/)dtds)=-2exp(-2T/)0T0T2Rm(ts)exp(t+s)/)dtds(5)式中(ts)为Kronecker函数，即(ts)=0ts1t=s于是，式(5)右端积分值为 0，则得到I=0在概率为 1 的意义下成立，从而式(4)可进一步写成R(T)-exp(-T/)R(0)=-1exp(-T/)0TRm()exp(/)d(6)令Rm(t)=R(t)+VR(t)，由式(1)知Rm(t)=Rm(t)+Rm(t)，因雷达观测得到的总是函数Rm(t)的离散采样值序列Rm(Ti)|i=12，在区间0T之内，假设Rm(t)随时间按照线性规律演化，则由式(6)可以近似得到R(T)-exp(-T/)R(0)-1exp(-T/)0T(Rm(0)+(Rm(T)-Rm(0)T-1)exp(/)d(7)依照R(T)-exp(-T/)R(0)=-1exp(-T/)0T(Rm(0)+(Rm(T)-Rm(0)T-1)exp(/)d(8)可以构造距离估计随机过程R(Ti)，即R(T)=exp(-T/)R(0)+Rm(T)-Rm(0)exp(-T/)-(Rm(T)-Rm(0)T-1(1-exp(-T/)(9)雷达Ti时刻得到的目标距离观测值即为Rm(Ti)，随着后续不断观测目标，对目标的距离观测值组成一个序列即为Rm(Ti)|i=12，其具体表达见式(1)基于式(9)，提出距离估计方法步骤如下：Step 1 初始化距离估计值R(0)Step 2 假设kT、(k+1)T时刻雷达对目标的距离观测值分别为Rm(kT)和Rm(k+1)T)，Tk=kT时刻目标距离估计为R(kT)，则(k+1)T时刻目标距离估计为R(k+1)T)=exp(-T/)R(kT)+Rm(k+1)T)-Rm(kT)exp(-T/)-(Rm(k+1)T)-Rm(kT)T-1(1-exp(-T/)Step 3 重复 Step 2，直至对目标距离观测值Rm(Ti)不再更新下面将分析随机过程R(Ti)与目标真实距离R(Ti)的差异2.2单步误差分析比较式(6)和式(8)，每一轮迭代计算，对式(6)右端积分做了 2 步近似：利用线性化替代函数Rm(t)；利用雷达测量Rm(t)替代Rm(t)真实值这会同时引入数值近似误差和随机误差，将分别求出其表达式在0处，考虑观测值期望Rm(t)的Taylor展开：Rm()=Rm(0)+Rm(0)+Rm(0)2/2!+(10)令Res()=Rm(0)2/2!+Rm(0)3/3!+(11)1)数值近似误差空 天 预 警 研 究 学 报2023年102由式(6)和式(8)，得到随机过程R(Ti)的期望与目标真实距离R(T)的差为DR(T)=defE(R(T)-R(T)=-1exp(-T/)0T(Res(T)T-1-Res()exp(/)d(12)当较大时，可以近似得到DR(T)T3(V()1R(0)+V()2R(0)/(12)(13)式中，V()1R(0)是目标径向加速度，V()2R(0)是径向加加速度由此可以看到，当目标径向加速度较大时，提高雷达跟踪数据率能减少数值近似误差2)随机误差由式(8)得到随机过程R(Ti)与其数学期望差值为R(T)=def-1exp(-T/)0T(Rm(0)+(Rm(T)-Rm(0)T-1)exp(/)d=K0Rm(0)+K1Rm(T)(14)式中K0=defexp(-T/)(exp(T/)/T-1)-1)K1=def1-(1-exp(-T/)/T(15)考虑到条件和，可求得R(T)的标准差为(R(T)=f(T)Rm(16)式中f(T)=def(K02+K12)1/2综合上面 2 种误差，可以得到R(T)=R(T)+DR(T)+R(T)(17)因此，当DR(T)和(R(T)比较小时，构造的随机过程R(T)就能给出目标距离R(T)的精确估计2.3算例分析假设雷达跟踪信号参数为：时宽=2 ms，载频频率f0=10 GHz，调频带宽B=10 MHz，数据率T=0.2 s，即耦合系数=2；假设目标满足max|V()1R|20g(g为重力加速度)，V()2R很小(对卫星目标，这2个条件一般都是满足的)，则可以得到数值近似误差为|DR(T)|0.067 m，可以看到此时数值近似误差仅仅是波长两倍随机误差为f(T)6.73%，即随机差的标准差只是雷达测距标准差的6.73%，已显著减少了随机测量噪声影响因此，此时构造的随机过程R(T)能给出R(T)的很精确的估计2.4整体误差分析式(9)是一个迭代式，可以证明：随着跟踪时长增加，误差累积并不会带来跟踪过程发散为简单起见，假设数据率是定值，记为T，量测数据更新时间点为0T2TnT1)数值累积误差设跟踪第iT时刻的数值累积误差为R(iT)，则依照迭代式(9)，有递推公式：R(i+1)T)=exp(-T/)R(iT)+DR(i+1)T)(18)依照单步数值近似误差式(13)，可以得到R(nT)=exp(-nT/)R(0)+I1+I2(19)式中I1=defi=1nT312V()1R(i-1)T)exp(-(n-i)T/)I2=defi=1nT312V()2R(i-1)T)exp(-(n-i)T/)(20)对于I1，有|I1|(max|V()1R|T3)/(12)i=1nexp(-(n-i)T/)=(max|V()1R|T3)/(12)/(1-exp(-T/)(max|V()1R|T3)/(12)(/T)exp(T/)=T2exp(T/)max|V()1R|/12(21)对于I2，有|I2|(max|V()2R|T3/12)i=1n(-(n-i)T/)=(max|V()2R|T3/12)/(1-exp(-T/)(max|V()2R|T3/12)(/T)exp(T/)=T2exp(T/)max|V()2R|/12(22)于是可以得到|I1+I2|T2exp(T/)(max|V()1R|+max|V()2R|)/12(23)综合式(19)和式(23)，有数值累积误差估计|R(nT)|exp(-nT/)|R(0)+T2exp(T/)(max|V()1R|+max|V()2R|)/12(24)由此可得到结论：数值累积误差是可控的，同时也可以看到初始引入误差R()0对后续距离估计精度影响随时间增加呈指数衰减2)随机累积误差设第iT时刻的随机累积误差为R(iT)，则依照迭代式(10)，有递推公式：R(i+1)T)=exp(-T/)R(iT)+R(i+1)T)(25)依照单步随机误差表达式，可以得到R(nT)=K1Rm(nT)+(exp(-T/)K1+K0)Rm(n-1)T)+exp(-T/)(exp(-T/)K1+K0)Rm(n-2)T)+exp(-(n-1)T/)(exp(-T/)K1+K0)Rm(0)(26)因为有exp(-T/)K1+K0=exp(-T/)(T-1(exp(T/)/-1)-1)+exp(-T/)(1-T-1(1-exp(-T/)=T-1(1-exp(-T/)2(27)依照独立性假设，可以得到R(nT)的方差满足关系：第2期李正，等：基于随机微分方程的高耦合系数条件下距离估计方法103Var(R(nT)=(K12+(/T)2(1-exp(-T/)4+exp(-2T/)(/T)2(1-exp(-T/)4+exp(-2(n-1)T/)(/T)2(1-exp(-T/)4)2Rm(K12+(/T)2(1-exp(-T/)4/(1-exp(-2T/)2Rm=2Rm1-2(1-exp(-T/)/(T/)+2(1-exp(-T/)/(T/)2/(1+exp(-T/)(28)即R()nT的标准差满足：(R(nT)g(T)Rm(29)式中g(T)=def(1-2(1-exp(-T/)/(T/)+2(1-exp(-T/)/(T/)2/(1+exp(-T/)1/2(30)从而得到随机累积误差的标准差也是可控的综上所述，随机观测误差与数值近似误差累积并不会导致跟踪系统发散同时可以看到，提升目标跟踪数据率、信号载频频率或者时宽都能有效提升跟踪精度3仿真分析下面对本文所提方法进行仿真分析，验证其收敛性和估计误差，并与距离维独立滤波方法11进行对比目标数据采用 STK 软件产生的卫星数据，假设雷达测距标准差Rm=7 m，信号脉冲宽度=2 ms，载频频率f0=10 GHz，调频带宽B=10 MHz，即耦合系数=2，目标跟踪数据率为T=0.1 s图 1 为目标与雷达站心距离随时间变化曲线，图 2 为本文方法和距离维独立滤波方法误差曲线对比，表 1 是整个跟踪阶段 2 种方法均方误差情况01 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0时刻/s1 0 0 02 0 0 03 0 0 0距离/k m图 1目标与雷达站心距离变化曲线05 01 0 01 5 02 0 0-1 0 0-5 005 01 0 01 5 0时刻/s距离估计误差/m本文方法距离维独立滤波方法2 5 02 0 0图 22 种方法距离估计误差对比曲线可以计算得到本文方法在收敛后距离估计误差的标准差为 1.0543m，而由式(31)计算得到的g(T)的理论值为 0.15616，此时式(30)右端上界为 1.093 12 m，则距离估计误差标准差满足不等式(30)的理论的结果由图 2 结果可以看到，跟踪开始阶段本文方法误差曲线收敛迅速，这正与式(25)理论结果一致；同时也可以看出本文方法的误差曲线收敛速度比距离维独立滤波方法收敛速度更快表 12 种方法均方误差情况方法本文方法距离维独立滤波方法均方误差/m4.1045137.393304结束语基于线性调频信号距离-多普勒耦合效应原理，针对高耦合系数场景，运用随机微分方程理论，构造了一种距离估计随机过程，并计算了估计误差与数据率、耦合系数、雷达测距随机差的精确关系，同时从理论上证明了估计过程的收敛性和长时间稳定性，最后通过仿真试验验证了理论的结果本文方法对解决高频段、大脉宽雷达高速目标距离测量精度问题具有参考意义参考文献：1FITZGERALD R J.Effect of range-Doppler coupling onchirp radar tracking accuracyJ.IEEE Transactions onAerospace and Eletronic Systems,1974,10(4):528-532.2赵峰,王雪松,肖顺平.高耦合系数条件下径向速度估计的新方法J.电子学报,2005,33(9):1571-1575.3赵峰,王雪松,肖顺平.高耦合系数条件下径向速度测量的新方法J.信号处理,2008,24(3):460-463.4ABATZOGLOU T J,GHEEN G O.Range radial velocityand acceleration MLE using radar LFM pulse trainJ.IEEE Transactions on Aerospace and Eletronic Systems,2002,34(4):1070-1083.5于秋野,徐锦程,何睿,等.基于距离多普勒耦合估计的弹道目标测距方法J.雷达科学与技术,2022,20(3):305-310.6蒋立民.测量雷达的距离多普勒耦合修正方法研究J.电子测量,2018(Z1):72-73.7庄俊,杨沛,王鹏.波形切换对雷达距离测量的影响J.舰船电子对抗,2019,42(4):16-19.8FANG Xin,XIAO Guoqing,CAO Zongjie,et al.Migrationcorrection algorithm for coherent integration of low-ob-servable target with uniform radial accelerationJ.IEEETranscations on Instrumentation and Measurement,2020,70:1-13.9彭玲玉,王建卫.基于多调频斜率单脉冲信号的多目标参数测量J.现代雷达,2016,38(2):47-50.10 CHO Hyun-Woong,CHOI Sungdo,CHO Young-Rae,et al.空 天 预 警 研 究 学 报2023年104Deep complex-valued network for ego-velocity estima-tion with millimeter-wave radarC/Proceedings of 2020IEEE Sensors Conference.Rotterdam,Netherlands:IEEE,2020:1-4.11 黄强,王建卫.线性调频信号高耦合系数条件下的目标跟踪J.现代雷达,2014,36(8):22-25.12 李国君,赵栋华,赵永铁.距离多普勒耦合对雷达滤波精度影响分析J.舰船电子工程,2018,38(4):51-53.13 WONG W,BLAIR W D.Steady-state tracking with LFMwaveformsJ.IEEETransactionsonAerospaceand Eletro-nic Systems,2000,36(2):701-709.14 BAR-SHALOM Y.Negative correlation and optimal track-ing with Doppler measurementsJ.IEEE Transactions onAerospace and Eletronic Systems,2001,37(3):1117-1120.A range estimation method in the case of high coupling coefficient basedon stochastic differential equationLI Zheng1,2,JIN Junfeng1,2,CHEN Fei3(1.No.38 Research Institute,China Electronics Technology Group Corporation,Hefei 230088,China；2.Key LaboratoryApertureArrayand SpaceApplication,Hefei 230088,China；3.No.63768 Unit,the PLA,Xi an 710600,China)Abstract：Range-Doppler coupling effect seriously affects the range accuracy of LFM radar in the case ofhigh coupling coefficient.In order to solve the problem above,this paper presents a target range estimation meth-od.Based on stochastic differential equation theory,the paper constructs a stochastic process to estimate targetrange,then theoretically deduces the concrete quantitative relationship between the estimation error of this methodand the data rate,the coupling coefficient and the random difference parameters of radar ranging,and finallyproves that the method can significantly improve the accuracy of radar ranging under appropriate conditions.Thesimulation result verifies the feasibility of the proposed method.Key words：linear frequency modulation(LFM)signals；range-Doppler coupling effect；stochastic differen-tial equation(上接第93页)Prior knowledge-based adaptive training sample selection methodfor airborne radarLI Hu,XIE Wenchong,XIONG Yuanyi,HOU Ming(Air Force Early WarningAcademy,Wuhan 430019,China)Abstract：In order to solve the problem of seriously insufficient uniform sample quantity of airborne radar inthe actual complex environment,this paper proposes an adaptive training sample selection method for airborne ra-dar based on prior knowledge.Aiming at the problem that the selected training samples have obvious power differ-ences due to the far distance interval,the proposed method further modifies the training sample.Starting from theperspective of range-Doppler element,while considering the influence of terrain occlusion,the paper constructsthe weighted Euclidean distance measures for each training unit based on terrain type and terrain slope,achievingeffective selection of uniform training samples.The simulation results show that compared with the existingKA-STAP method,the clutter suppression performance after STAP processing based on the sample selection meth-od proposed in this paper has been significantly improved.Key words：prior knowledge；airborne radar；training sample selection；space-time adaptive processing；non-homogeneous clutter suppression