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建筑外窗抗风压强度计算公式理论探源
王逸超 王桂明

　　在使用过程中，建筑外窗所承受的荷载，主要是垂直于外窗的横向水平风荷载。因此，设计和计算建筑外窗的抗风压强度，是保障外窗在使用过程中的安全性、稳定性及经济性的重要措施之一。而搞清抗风压强度计算公式的来龙去脉，对精确设计计算和验算建筑外窗抗风压强度具有重要作用。
　　建筑外窗抗风压强度公式由荷载计算、截面特性确定、弯矩计算、挠度计算四个方面构成。下面将分步探源。

　　　　　　　　　　　　　　　　荷载计算
　　荷载分步
　　因建筑外窗在风荷截作用下，承受的是与外窗垂直的横向水平力，外窗各框料间构成的受荷单元，可视为四边铰接的简支板。在每个受荷单元的四角各作４５度斜线，使其与平行于长边的中线相交。这些线把受荷单元分成４块，每块面积所承受的风荷载传给其相邻的构件，每个构件可近似地简化为简支梁上呈矩形、梯形或三角形的均布荷载。这样的近似简化与精确解相比有足够的准确度，满足工程设计计算和使用的需要，简化方法如图１、２、３。

图1 双扇平开窗中竖梃梯形荷载简图

图2 条形窗中横梃三角形荷载简图
　　图中近似的简化关系可用力学中力的平移来描述。横向水平风荷载垂直作用于玻璃及窗框，作用于玻璃及窗框上的荷载可视为均布荷载。如在窗框上作一对大小相等、方向相反的作用力与反作用力，作用力与反作用力的大小等于均布荷载的集中力。这样，均布风荷载对受力杆件的作用，则简化为一个推（拉）力与一个力偶的组合（迎风为正压受推，背风为负压受拉）。因力偶与门窗的挠曲关系不大，故在研究建筑外窗抗风压强度时可忽略。力的平移关系如图４、图５所示：

图3 双扇带上亮平开窗中横梃矩形荷载简图

图４　建筑外窗受横向风荷载剖面图

图５　建筑外窗框（扇）简化受力图
　　荷载计算
　　建筑外窗在风荷载作用下，受力构件的总荷载（Ｑ）为该构件所承受的受荷面积（Ａ）与施加在该面积的单位风荷载（Ｗ）之乘积。
　　　　　　　　　Ｑ＝ＡＷ
　　式中：Ｑ—受力构件所承受的总荷载；
　　　　　Ａ—受力构件所承受的受荷面积
　　　　　Ｗ—施加在受荷面积上有单位风荷载。

　　　　　　　　　　　　　　　截面特性的确定
　　建筑外窗的受力构件在材料、截面积和受荷状态确定的情况下，构件的承载能力主要取决于截面形状，即截面的惯性矩。
　　惯性矩的定义

图６　任意平面图形的惯性矩
　　阵任意平面图形如图６，其面积为Ａ。ｙ轴和ｚ轴为图形所在平面的坐标轴。在坐标（ｙ、ｚ）处取微面积ｄＡ，Ｚ２ｄＡ和ｙ２ｄＡ分别称为微面积ｄＡ对ｙ轴和ｚ轴的惯性矩；而遍及整个图形面积的积分
　　Ｉｙ＝∫ＡＺ２ｄＡ
　　ＩＺ＝∫Ａｙ２ｄＡ
　　则分别定义为图形对ｙ和ｚ轴的惯性矩，也称为图形对ｙ轴和ｚ轴的二次矩。以ρ表示微面积到坐标原点Ｏ的距离，下列积分
　　Ｉρ＝∫Ａρ２ｄＡ
　　定义为图形对坐标原点Ｏ的极惯性矩。因ρ２＝ｙ２＋Ｚ２，于是有
　　Ｉρ＝∫Ａρ２ｄＡ＝∫Ａｙ２ｄＡ＋∫ＡＺ２ｄＡ＝ＩＺ＋Ｉｙ
　　所以，图形对任意一对互相垂直的轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。
　　由惯性矩的定义可知，惯性矩的大小与图形形状、面积及坐标的选取有关。
　　惯性矩的用途
　　惯性矩是用来计算或验算杆件强度、刚度的一个辅助量，量纲为长度的四次方。惯性矩与材料本身无关，只与截面几何形状、面积有关，无论是铁、铝，还是木材、塑料，只要截面积及几何形状相同，则它们的惯性矩相等。至于相同惯性矩而不同材料间的强度、刚度，则取决于材料的性质，即模量系数。惯性矩因与截面几何形状有关，使得惯性矩的计算较为繁琐。对于简单的几何图形可以手工算出，复杂的几何断面，手工计算耗时费力，一般采用查《型钢表》得出。对于近年来崛起的塑钢门窗型材，目前没有《型钢表》可查，一般采用电脑中的ＡｕｔｏＣＡＤ程序计算，或由型材生产厂家直接提供各种型材断面的惯性矩。
　　简单截面惯性矩的计算
　　ａ、矩形截面的惯性矩
　　设矩形高为ｈ，宽为ｂ，坐标轴的中心位于矩形的中心位置（如图７）。先求图形对ｙ轴的惯性矩。取平行于ｙ轴的狭长条作为微面积ｄＡ。则ｄＡ＝ｂｄｚ

　　用相同的方法可以求得

　　ｂ、方管截面的惯性矩
　　当一个平面图形由若干个简单图形组成时，根据惯性矩的定义，可先算出每一个简单图形的惯性矩，然后求其总和，即等于整个图形对于同一轴的惯性矩。用公式表示为

图８　方管截面

于是可得方管惯性矩

　　ｃ、等厚槽形钢的惯性矩
　　ａ例中的矩形截面和ｂ例中的方管截面，其坐标轴建在对称图形的中点，坐标原点就是图形形状的中心即形心。在进行受弯杆件的强度和刚度计算时，一般都要确定杆件横截面的形心主惯性轴的位置，并计算形心主惯性矩的数值，因截面的形心就是截面的重心，而力学中力的研究是以重心为基础的。事实上，人们常说的对某某轴的矩就是指杆件横截面形心轴的主惯性矩。遇到图形不对称或形心不能直观的确定时，必须通过形心计算公式，确定出形心位置，然后求出形心轴的主惯性矩。
　　当一个平面图形由若干个简单图形（例如矩形、圆形、三角形等）组成时，组合图形的形心坐标，等于各简单图形的面积与简单图形的形心坐标的乘积的代数和除以各简单图形面积的代数和。这就是组合图形形心坐标的计算公式，用代数式表示为

　　ｙ：组合图形ｙ轴方向形心坐标；Ｚ：组合图形ｚ轴方向形心坐标；
　　ｙｉ：各单一简单图形ｙ轴方向形心坐标；Ｚｉ：各单一简单图形式ｙ轴方向形心坐标；
　　Ａｉ：各单一简单图形的面积。

图９　等厚槽钢
　　根据组合图形求形心的代数式，等厚槽钢的形心坐标可采用将其分割成三个矩形（如图９），各矩形的形心坐标就位于各图形中心，各矩形图形的面积也容易求得。算式如下。

　　如设定ａ＝ｂ＝２０，ｔ＝２，则ＡⅠ＝ＡⅡ＝４０，ＡⅢ＝３２；ｙⅠ＝１，ｙⅡ＝１９，ｙⅢ＝１０；ＺⅠ＝ＺⅡ＝１０，ＺⅢ＝１；
　　则等厚槽形钢形心轴的坐标为：

　　通过上式计算可以看到，等厚槽形钢的形心并不在图形的正中心，而是在ｚ轴方向上向下偏移了一个２．６的距离。等厚槽形钢的形心位置确定后，如用惯性矩的定义来计算等厚槽形钢的惯性矩，则比较繁锁。工程计算上，常用平移轴公式来进行计算，平移轴公式的定义为：形心轴的惯性矩等于图形中任一点与形心轴平行的坐标轴的惯性矩，加上两轴间距离的平方乘所求图形的面积。若是若干个简单图形组合时，则分别算出每一个简单图形对形心轴的惯性矩，然后求和，则为整个图形对形心轴的惯性矩。用代数式表示为：
　　Ｉｙ＝Ｉｙｃ＋ａ２Ａ 　　　Ｉｚ＝Ｉｚｃ＋ｂ２Ａ
　　Ｉｙ：形心轴在ｙ方向的惯性矩；Ｉｙｃ：各单一简单图形形心ｃ点在ｙ轴方向的惯性矩；
　　ａ：各单一简单图形形心轴ｙｃ与组合图形形心轴ｙ之间的距离；
　　Ａ：各单一简单图形的面积；
　　Ｉｚ：形心轴在ｚ方向的惯性矩；Ｉｚｃ：各单一简单图形形心ｃ点在ｚ轴方向的惯性矩；
　　ｂ：各单一简单图形形心轴ｚｃ与组合图形形心轴ｚ之间的距离。
　　等厚槽形钢惯性矩的计算方法如下：

　　整个图形对ｙ和ｚ轴的惯性矩为：

　　通过本例可直观看到，图形对ｙ轴、ｚ轴的惯性矩相差达４．９倍之多，在图示槽形钢的使用中，如让ｙ轴垂直于截荷，则可较大增加杆件的承载能力。

　　　　　　　　　　　　　　　弯矩的计算
　　弯矩的定义
　　生产实践中经常遇到，作用于杆件上的外力垂直于杆件轴线，使变形前原为直线的轴线，变形后成为曲线，这种形式的变形为弯曲变形。凡是以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁。
　　建筑外窗受风荷载时，不同部位的杆件，在某一载荷作用下，可以简化为静定梁，杆件的支承方式可简化为铰支座。通常将杆件简化为简支梁或外伸梁。

图10　静定梁
　　如图１０所示的静定梁，在已知集中荷载Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３作用下发生弯曲，ＲＡ、ＲＢ为两端的支座反力。为了显示横截面上的内力，沿截面ｍｍ假想的把梁分成两部份，并以左段为研究对象。由于原来的梁处于平衡状态。作用于左段的力，除外力ＲＡ和Ｐ１外，在截面ｍｍ上还有右段对它作用的内力。把这些内力和外力投影于ｙ轴，其总和应等于零。一般说，这就要求ｍｍ截面上有一个与横截面相切的内力Ｑ，且由∑Ｙ＝０，得
　　ＲＡ－Ｐ１－Ｑ＝０
　　Ｑ＝ＲＡ－Ｐ１
　　Ｑ称为横截面ｍｍ上的剪力。它是与横截面相切的分布力系的合力。若把左段所有外力和内力对截面ｍｍ的形心Ｏ取矩，其力矩总和应等于零。一般说，这就要求在截面ｍｍ上有一个内力偶矩Ｍ，由∑Ｍ０＝０，得
　　Ｍ＋Ｐ１（ｘ－ａ）－ＲＡＸ＝０
　　Ｍ＝ＲＡＸ－Ｐ１（ｘ－ａ）
　　Ｍ称为横截面ｍｍ上的弯矩。它是与横截面垂直的分布力系的合力偶矩。
　　建筑外窗杆件在不同荷载作用下的弯矩方程及最大弯矩
　　ａ、矩形荷载
　　ｑ为均布荷载集度。因载荷及垂直支反力都对跨度中点对称，故ＲＡ、ＲＢ为
　　ＲＡ＝ＲＢ＝q1/2
　　以梁左段为坐标原点，选取坐标系如图１１。

图11　矩形荷载
　　距原点为ｘ的任意横截面上的弯矩为
　　Ｍ（ｘ）＝ＲＡｘ－ｑｘ（X/2）＝(q1/2)ｘ－(q/2)ｘ２
　　当ｘ＝１／２时，即跨度中点弯矩最大。
　　Ｍ（１／２）ｍａｘ＝q12/8＝Q1/8
　　式中：ｑ１＝Ｑ，即荷载集度乘荷载分布范围等于总荷载。
　　ｂ、三角形荷载

图12　三角形荷开车
　　三角形荷载如图１２，Ｑ为总荷载即三角形面积。Ｃ点为跨度中点，利用三角形面积关系，可求得Ｃ点坐标为Ｃ（１／２，２Ｑ／１）。利用两点式坐标方程可求得斜线ＡＣ和ＣＢ的直线方程为：
　　ｙＡＣ＝（４ＱＸ／１２）ｊｙＣＢ＝－４ＱＸ／１２
　　因为载荷及垂直反力都对跨度中点对称，所以有 ＲＡ＝ＲＢ＝Ｑ／２
　　也可以用对Ａ及Ｂ点取矩的办法求出ＲＡ、ＲＢ其结果与上同。
　　图中所示荷载ＡＣ段、ＣＢ段，因变化方式不同，所以要分段计算其弯矩。又因荷载以Ｃ点对称，且最大弯矩发生于Ｃ处，故下面只给出ＡＣ段弯矩，并由此可得到最大弯矩。

　　当ｘ＝１／２时，跨度中点弯矩最大。
　　Ｍ（１／２）ｍａｘ＝Ｑ１／６
　　式中：
　　(yAC/2)ｘ：ｘ截面范围内三角形荷载，即面积；
　　（1/3）ｘ：ｘ截面至三角形形心距离。
　　ｃ、梯形荷载
　　梯形荷载如图１３：

图13　梯形荷载
　　Ｑ１、Ｑ３为三角形面积的荷载。且Ｑ１＝Ｑ３
　　Ｑ２为矩形面积的荷载。
　　Ｑ为梯形面积荷载。且Ｑ＝Ｑ１＋Ｑ２＋Ｑ３
　　Ｌ为杆长（或梁的跨度）。
　　ａ为三角形荷载下底长。
　　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点坐标可据图示位置及梯形面积求得。其值为
　　Ａ（０·０）Ｃ（ａ·（Q（1-a））Ｄ(１－ａ·(Q(1-a))Ｂ（１·０）
　　斜线ＡＣ（即ｙＡＣ）、ＤＢ（即ｙＤＢ）的直线方程可据两点式求得。如下式
　　ｙＡＣ＝Qx/a(1-a) 　（０≤ｘ≤ａ）ｊ　 ｙＤＢ＝(Q(1-A))/a(1-a)[(１－ａ)≤ｘ≤ａ]
　　ＲＡ、ＲＢ由于载荷及垂直直座反力都对跨度中点对称。故有
　　ＲＡ＝ＲＢ＝Ｑ／２
Ｋ
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Mmax
QL/8
QL/7.3
QL/6.76
QL/6.36
QL/6.1
QL/6
　　ＡＣ段弯矩方程

ＣＤ段弯矩方程

［a≤x≤(1-a)]
　　式中：
　　(1/2)ｘｙAC(ｘ)：Ｘ截面内的荷载，即三角形面积；
　　(1/3)ｘ：三角形形心至截面长；
　　ｘ－(2/3)ａ：荷载三角形的形心至ｘ截面长；
　　q2/(1-2a)：矩形荷载集度；
　　(1/2)(ｘ－ａ)：Ｘ截面范围内，矩形荷载形心至截面长。
　　从以上两段弯矩方程可看出，ＡＣ段，即为三角形弯矩方程，当令ｘ＝ａ，且１＝ａ时，便可得到ｂ中三角形荷载的弯矩方程。ＣＤ段，即为矩形荷载的弯矩方程，当令ａ＝０，Ｑ１＝０，则有Ｑ２＝Ｑ，便可得到ａ中矩形荷载的弯矩方程。
　　通过以上分析，可看出三角形荷载、矩形荷载及其弯矩方程，可视为梯形荷载及其弯矩方程的特例。当ａ＝０时，荷载为矩形，当ａ增大到１／２时，荷载为三角形。梯形荷载ａ的取值在区间（０、１／２）或０＜ａ＜１／２。如果用ａ与１的比来表示弯矩的变化情况，并确定该比值用ｋ来表代替，则可得到一些特定值及其对应的计算关系（如表１）。
　　表１即为《建筑外窗抗风压强度计算方法》表Ａ１承受梯形荷载简支梁的弯矩。

　　　　　　　　　　　　　　　挠度的计算
　　挠度的定义

图14 弯曲变形梁
　　图１４所示弯曲变形的梁，以变形前梁的轴线为ｘ轴，垂直向上的轴为ｙ轴。变形后梁的轴线将成为ｘｙ平面内的一条曲线，称为挠曲线。挠曲线上横坐标为ｘ的任意点的纵坐标，用Ｕ来表示，它代表坐标为ｘ的横截面的形心沿ｙ方向的位移称为挠度。工程上，梁的挠度Ｕ一般远小于跨度，挠曲线是一条非常平坦的曲线，所以任一截面的形心在ｘ方向的位移都可略去不计。
　　在弯曲变形过程中，梁的横截面对其原来位置所转过的角度θ，称为该截面的转角。挠度和转角是度量弯曲变形的两个基本量。
　　这里假设，梁的横截面在弯曲变形前垂直于ｘ轴，弯曲变形后仍垂直于挠曲线。所以，截面转角θ就是挠曲线的法线ρ与ｙ轴的夹角，它应与挠曲线的倾角（挠曲线切线与ｘ轴的夹角）相等。又因挠曲线是一条非常平坦的曲线，是一个非常小的角度，故有
　　θ≈ｔｇθ＝du/dx＝ｆ(ｘ)
　　亦即，截面转角近似等于挠度上与该截面对应的点的斜率；或者说等于挠曲线的导数。
　　曲率知识简介

图15
　　设有一连续转动切线的曲线Ｃ，则曲线Ｃ的弯曲程度，可用弧段切线转角大小与弧段长的比来表示。如图15，令Ｍ１围绕弧段△ｓ转至Ｍ２点切线转角为△α，弧长＝△ｓ，则有曲率Ｋ公式

　　事实上，该公式表示的是弧段△ｓ的平均曲率。当需图１５要知道曲线上某一点的曲率时，只要令Ｍ２无限趋近于Ｍ１时，即△ｓ→０。则此时的平均曲率就是Ｍ１点的瞬时曲率，用公式表示为

　　在存在的条件下，Ｋ也可以表示为

　　对于直线来说，切线与直线本身重合，当点沿直线移动时，切线的倾角ａ不变，△ａ＝０，da/ds＝０，从而＝０，这就是说，直线上任意点Ｍ处的曲率都等于零，与人们直觉认识到的“直线没有弯曲”一致。

图１６
　　对于圆来说，同样容易找出其特性。设圆的半径为ａ，如图１６，可以看出，点Ｍ１、Ｍ２处圆的切线所夹的角△ａ等于中心角∠Ｍ１ＤＭ２，因∠Ｍ１ＤＭ２＝△s/a，于是

　　从而

　　因为Ｍ是圆上任意取的一点，上述结论表示圆上各点处的曲率都等于ａ的倒数，就是说，圆的弯曲程度到处一样，且半径越小曲率越大，即圆弯曲得越厉害。
　　那么就可以导出便于实际计算曲率的公式
　　设曲线的直角坐标方程ｕ＝ｆ(ｘ)，且ｆ(ｘ)具有二阶导数，因为ｔｇａ＝ｕ’
　　所以
　　ｓｅｃ２ａ ＝ｕ”

　　于是

　　上式变换中，应用了同角函数平方关系１＋ｔｇ２ａ＝ｓｅｃ２ａ
　　这里直接给出弧微分公式：ｄｓ＝ｄｘ
　　所以

　　ｄα／ｄｓ实质上就是前面所述的曲率。如将ｕ’及ｕ”的导数形式用及来表示，则上式可改写为

　　也即为常用的实际计算曲率的公式
　　截面梁应力简介
　　ａ、虎克定律
　　在材料的弹性阶段，应力与应变服从虎克定律
　　　　　　σ＝Ｅε
　　σ—单位面积的受力，称为应力；
　　Ｅ—与材料有关的比例常数，称弹性模量；
　　ε—沿荷载方向的变化率，称应变。
　　ｂ、弯曲变形应变的确定

图１７　弯曲变形示意

图１８
　　寻找弯曲变形的规律是从实验开始的。通过梁的弯曲实验，如图１７，可以观察到，变形前的纵向线ａａ、ｂｂ，横向线ｍｍ、ｎｎ变形后ｍｍ、ｎｎ仍为直线，ａａ、ｂｂ成为弧线ａａ、ｂｂ。设想梁是由无数层纤维组成，弯曲变形后，靠近凹入的一侧（顶面）的纤维缩短；靠近凸出的一侧（底面）的纤维的伸长，由凹入侧的缩短，连续地改变为凸出侧的伸长，中间必定有一层纤维的长度不变。这一层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线，称为该横截面的中性轴。梁上的载荷是均匀的作用在顶面上。在平面弯曲的问题中，梁上的载荷都作用于纵向对称面曲内，梁的轴线变为这一平面内的曲线。梁的变形对称于这一纵向对称面，中性轴与这一纵向对称面垂直。弯曲变形中，梁的横截面绕中性轴旋转。图１８所示为相距ｄｘ的两横截面间的一段梁变形后的情况。令横截面的对称轴为ｙ轴。中性轴为ｘ轴。至于中性轴的位置，则尚待确定。距中性轴为ｙ处的纤维，变形后的长度ｂｂ应为
　　　　　　　　　　　　(ρ＋ｙ)ｄθ
　　式中的ρ为中性层的曲率半径，ｄθ是相距为ｄｘ的两横截面的相对转角。至于这些纤维的原长度ｄｘ，应与长度不变的中性层内的纤维Ｏ’Ｏ’相等，即等于ρｄθ所以上述纤维的线应变为

　　表明，纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。
　　设纵向纤维之间不存在相互挤压，因而应力小于比例极限时，每一纵向纤维都可应用单向拉伸或（压缩）时的虎克定律，即
　　σ＝Ｅε
　　将线应变关系式代入虎克定律，得
　　σ＝Ｅ(y/p)
　　说明，任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。在横截面上，任意点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比。亦即横截面上的正应力沿截面高度按直线规律变化，在中性轴上，各点的ｙ从标等于零，故中性轴上的正应力等于零。

图１９
　　图１９示横截面的微内力σｄＡ组成一个与横截面垂直的空间平行力系（图中只画了力系中的一个微内力）。这样的平行力系只简化成三个内力分量，即平行于ｘ轴轴向力Ｎ，对Ｚ轴的力偶矩Ｍｚ和对ｙ轴的力偶矩Ｍｙ。它们分别是

　　图示横截面的内力应与截面左侧的外力平衡。在平面弯曲的情况下，截面左侧的外力只有一个对之轴的力偶矩Ｍｅ。由内力和外力必须满足平衡条件∑Ｘ＝０和∑Ｙ＝０可知，Ｎ＝０和Ｍｙ＝０，即

　　这样，由σｄＡ组成的内力系，最终只归结为一个内力偶矩Ｍｚ，它也就是横截面上的弯矩Ｍ。即

　　将虎克定律代入，则得

　　式中积分

　　即为横截面对ｚ轴（中性轴）的惯性矩。于是可写为
　　1/p=M/EIz
　　式中１／ρ是梁轴线变形后的曲率。ＥＩｚ越大，则曲率１／ρ越小，故ＥＩｚ称为梁的抗弯刚度。将上式代入虎克定律，得到
　　σ＝My/EIz
　　这就是梁弯曲时，横截面上正应力的计算公式。由上式可知，梁截面上最大正应力发生在离中性轴最远处。设Ｙｍａｘ为最远点到中性轴的距离，则最大正应力应为
　　σmax＝Mymax/Iz
　　如引用记号
　　Ｗｚ＝Iz/ymax
　　则有
　　σmax＝M/Wz
　　Ｗｚ称为抗弯截面横量（或截面抵抗矩）。它只与截面几何形状有关。
　　挠度方程的建立
　　在曲率知识简介中，我们得出的实际工程计算公式为

　　在截面梁应力知识中，梁在平面弯曲中的曲率公式是
　　1/p=M/EIz
　　在挠度的定义中：工程中，梁的挠度ｕ一般远小于跨度，挠曲线是一条非常平坦的曲线。则θ≈du/dx的数值很小，（du/dx）2与１相比可以略去不计，于是得到近似式
　　1/p=d2u/dx2
　　则有
　　d2u/dx2＝M/EIz
　　即挠曲线的近似微分方程
　　在梁截面不变的情况下，ＥＩ为常量。将挠曲线近似微分程的两边乘以ｄｘ，积分得转角方程为

　　再以ｄｘ乘上式两边，积分得挠曲线的方程为

　　式中Ｃ及Ｄ为积分常数。
　　在挠曲线的某些点，挠度和转角有时是已知的。例如，在铰支座上，挠度等于零；在固定端，挠度和转角均等于是零。这类条件统称为边界条件。此外，挠曲线应该是一条连续光滑的曲线，也就是说，在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。这就是连续性条件。根据边界条件和连续性条件，就可以确定积分常数了。
　　挠度方程在建筑外窗抗风压强度中的应用
　　ａ、矩形荷载的挠度方程及最大挠度
　　据前弯矩计算ａ例中矩形荷载的弯矩方程为
　　Ｍ＝(q1/2)ｘ－(q/2)x2
　　再据挠曲线近似微分方程
　　　　　　Ｅｌｕ”＝Ｍ
　　代入得 Ｅｌｕ”＝Ｍ＝(q1/2)ｘ－(q/2)x2
　　积分一次得转角方程

　　重积分得挠度方程

　　于是有
　　Ｅｌｕ”＝Ｍ＝(q1/2)ｘ－(q/2)x2
　　Ｅｌｕ’＝(q1/4)ｘ2－(q/6)+ c
　　Ｅｌｕ＝(q1/12)ｘ3－(q/24)x4+cx+D
　　梁在两端铰支座上的挠度都等于零，故得边界条件
　　Ｘ＝０时， ｕ＝０；
　　Ｘ＝１时， ｕ＝０；
　　将以上边界条件代入挠度ｕ的表达式，得Ｄ＝０
　　(q14/12)－(q/24)14+ cl=0
　　由此解出积分常数Ｃ和Ｄ分别是
　　Ｃ＝－(q/24)1２　　　Ｄ＝０
　　于是得到矩荷载下梁（杆）的转角方程及挠曲线方程

　　因为梁（杆）上的外力和边界条件下都对跨度中点对称，所以挠曲线也对跨度中点对称。在跨度中点挠曲线的斜率等于零，挠度为极值。

　　式中 ｑ－荷载集度；
　　　　　　Ｑ－矩形荷载，且等于ｑ１。
　　ｂ、三角形荷载的挠度方程及最大挠度
　　据前弯矩计算ｂ例中三角形荷载的弯矩方程为
　　Ｍ＝(Q/2)x-(2Qx3/312)
　　则有
　　Elu”＝(Q/4)x-(2Qx3/312)
　　Elu’＝(Q/4)x2-(Qx4/612)+c
　　Elu＝(Q/12)x3-(Qx5/3012)+cx+D
　　梁（杆）的Ａ端（右边铰支座端），挠度等于零；1/2处，转角等于零，故得边界条件
　　Ｘ＝０时， ｕ＝０
　　ｘ＝1/2时， ｕ’＝０
　　将边界条件代回转角及挠度的表达式，由此解出积分常数
　　c=-Q12/48　　Ｄ＝０
　　于是得到转角方程和挠曲线方程
　　Elu’＝(Q/4)x2-(Qx4/1212)-(Q/48)12
　　Elu＝(Q/12)x3-(Qx5/3012)+cx+D
　　因为梁（杆）上的外力和边界条件下都对跨度中点对称，所以挠曲线也对跨度中点对称。在跨度中点挠曲线的斜率等于零，挠度为极值。

　　Ｃ、梯形荷载的挠度方程及最大挠度
　　据前弯矩计算的梯形荷载的弯矩方程，分段积分见表２。
　　表２
AC段　0≤x1≤a
CD段　a≤x2≤(1-2a)

　　积分出现的四个积分常数，需要四个条件来确定。由于挠曲线是一条光滑连续的曲线。因此，在ＡＣ和ＣＤ两段的交界截面Ｃ处，由Ｅ式确定的转角应该等于Ｇ式确定的转角；且由Ｅ式确定的挠度应该等于由Ｇ式确定的挠度，即
　　当Ｘ１＝Ｘ２＝ａ时， 　ｕ’１＝ｕ’２
　　　　　　　　　　　　　　ｕ１＝ｕ２
　　此外，梁在Ａ端的支座条件是
　　Ｘ１＝０时，ｕ１＝０
　　又因荷载对跨度中点对称，于是
　　Ｘ２＝Ｌ／２时，ｕ２＝０
　　将以上边界条件代入转角及挠度积分表示式，得４个独立方程，并解出积分常数。在将积分常数代回积分表示式，则得到转角和挠度的方程。因荷载对跨度中点对称，所以在跨度中点，挠度为极值。又因ａ与１的比值不同，则挠度也将不同。若用Ｋ来表示ａ与１的比，当ａ＝０时，Ｋ＝０，挠度为矩形荷载时的挠度；当ａ＝１／２时，Ｋ＝０．５，挠度为三角形荷载时的挠度。
　　若ａ＝０至ａ＝１／２时，分出Ｋ＝０．１，０．２，０．３，０．４几个特性点，则梯形荷载下简支梁所对应的最大挠度如表３。
　　表３即为《建筑外窗抗风压强度计算方法》表Ａ２承受梯形荷载简支梁的挠度。
　　表3
系数
k=0
k=0.1
k=0.2
k=0.3
k=0.4
k=0.5
umax
Ql3/76.8El
Ql3/70.2El
Ql3/65.5El
Ql3/62.4El
Ql3/60.6El
Ql3/60El

　　　　　　　　　　　　　　　　　结　语
　　通过前面的理论探源，可以认识到建筑外窗受荷时，其弯曲变形与外力大小、跨度长短、支座条件、杆的截面惯性矩、材料弹性模量有关。其应用就该从以上因素入手，找出提高抗弯强度的有效措施。例如：单扇窗抗风压不达标时，可以分格，即改变跨度长短。或者采用多锁点，或将双扇梃的左右锁点错位，即改变支座条件，由简支梁更改为外伸梁或多跨梁。塑料门窗可用增加钢衬来提高抗风压性能。而钢衬又因厚薄、截面形状的不同，表现出不同的惯性矩。至于材料的弹性模量，则因材料本身所决定，普碳钢２．１×１０７Ｎ／ｍｍ２、门窗用铝合金７×１０４Ｎ／ｍｍ２、木材１×１０４Ｎ／ｍｍ２、门窗用硬质ＰＶＣ２×１０３Ｎ／ｍｍ２。塑料异型材的弹性模量由材料的制造、生产、配比所决定，不因后续工艺的改变而改变。总之，建筑外窗抗风压性能的提高，应以理论知识为基础，从设计、制作的细微处入手，才能设计、生产出质优价廉的窗子。