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第十一章 全等三角形

第十一章 全等三角形

1 全等三角形

【学习目标】
1.了解全等三角形的概念，能准确地辨认全等三角形中的对应元素.
2.掌握全等三角形的性质.

【效果检测】
一、选择题
1.下列说法正确的是 ( )
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形　B.全等三角形是指周长相等的两个三角形
C.全等三角形是指面积相等的两个三角形 D.全等三角形的对应边、对应角相等
2. 如图11-1，△ABC≌△CDA，AB=5， AC =6，BC =7,那么边DC的长是 ( )
A. 5 B.6 C. 7 D.不能确定
3. 如图11-2，△ABC≌△DEF，下列结论中不正确的是 ( )
A.AB=DE B.BE=CF C.BC=EF D.AC=DE
图11-1

图11-2
图11-3
图11-4

二、填空题
4.如图11-3，已知△ABC≌△BAD，CA和DB是对应边，则AD的对应边是_______，∠C的对应角是_ ，∠CAB的对应角是_ .
5.△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=50°，AB=6cm，则∠C′=____ ，A′B′ =________cm.
6.如图11-4，△BCF≌△ACD，点C在BD上，其中BF=AD，则FC的对应边是________，∠ADC的对应角是____________.
7.如图11-5，把△ABC绕点A旋转至△ADE的位置，使点D落在BC边上，∠1+∠2=110°，则∠ABC的度数是_________.
8.已知△ABC≌△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，AC=3，BC=4，AB=5，那么△A′B′C′的周长是_____ ，面积是____ _.
9. 如图11-6，CA⊥BE于点A，且△ABC≌△ADE，则BC与DE的关系是__________.
10. 已知：如图11-7，△ABC≌△FED，且BC=ED.则∠A=_______，A D=_______.
图11-5
图11-7
图11-8
图11-6

11.如图11-8，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为__________.
三、解答题
12. 已知：如图11-9，△ABC≌△ADE，∠C=∠E，AB=2cm，BC=5cm，
(1)写出其它对应边及对应角.
图11-9
(2)求DE的长.

图11-10
13. 如图11-10，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，求∠OAD的度数.

图11-11
14. 如图11-11，△ACD≌△AEB，且∠BAD=∠CAE=90°，判断DC和BE的关系，并证明你的结论.

2 三角形全等的判定(1)

【学习目标】
1. 掌握三角形全等的判定公理：边边边公理.
2. 能利用边边边公理进行简单的证明.
3. 理解证明的基本过程，初步掌握综合法证明的格式.

【效果检测】
一、选择题
图11-12
1. 如图11-12 ，AB=CD=5，CB=AD，CB=6，则AD边的长为( ).
A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定
图11-13
2. 如图11-13，在和中，，AC与BD相交于点E，若不再添加任何字母与辅助线，要使，则还需增加的一个条件是( )
A.AC=BD B.AC=BC C.BE=CE D.AE=DE

图11-14
二、填空题
3. 如图11-14，AB=AC，BD=CD，∠B=20°，则∠C= °.

图11-15
4. 图11-15是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，那么说明的依据是
.

三、解答题
图11-16
5. 已知：如图11-16，AC=DF，CB=EF，AE=DB.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵AE=DB(已知)
∴AE+ =DB+
即 = .
在△ABC与△DEF中，
AC= (已知)
= (已证)
BC= (已知)
∴△ABC≌△DEF( )
图11-17
6. 已知：如图11-17，AB=CD，AD=CB，
求证：△ABC≌△CDA.

图11-18
7. 已知：如图11-18，AB=DC，AC=DB.
求证：(1)∠ACB=∠DBC；(2).

图11-19
8. 已知：如图11-19，AB=AC，D是BC中点，
(1) 求证：△ABC≌△ACD；
(2) 求证：AD⊥BC；
(3) 若∠BAD=25°，则∠BAC是多少度？

图11-20
9. 已知：如图11-20，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC.
求证：∠B=∠D.

3 三角形全等的判定(2)

【学习目标】
1. 掌握三角形全等的判定公理：边角边公理.
2. 能利用边角边公理和边边边公理进行简单的证明.
3. 理解证明的基本过程，掌握综合法证明的格式.

【效果检测】
一、选择题
图11-21
1. 如图11-21，∠ABC=∠DCB，AB=DC，∠ACB=25°，则∠DBC为( )
A.50° B.30° C.45° D.25°
2. 图11-22中全等的三角形是( )
图11-23
图11-22

A. Ⅰ和Ⅱ B. Ⅰ和Ⅲ C. Ⅲ和Ⅳ D. Ⅱ和Ⅳ
3. 如图11-23，AB、CD相交于点O，AO=CO，若不再添加任何字母和辅助线，且只添加一个条件，使得△AOD≌△COB，则下列条件：①BO=CO ②AD=CB ③OB=OD，那么可添加的有( )
A. ① B. ② C. ③ D. ① ②
二、填空题

图11-25
图11-24
4. 如图 11–24，AD＝AE，∠1＝∠2，BD＝CE，则有△ABD≌______ ，理由是________.

5. 如图11 -25，∠A=∠D，AC=DF，则需要补充一个条件：　　　　　　　　，才能使.

6. 已知：如图11 -26，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.
求证：△ABE≌△ACD，
图11-26
证明：∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠1﹢∠__________＝∠2﹢∠__________
即∠________＝∠________.
在△_________和△________中，
________＝________(已知),
∠________＝∠________( ).
________＝________( )
∴△________≌△_________( ).

三、解答题
图11-27
7. 已知：如图11-27，DC⊥CA，EA⊥CA，CD＝AB，CB＝AE，
求证：△BCD≌△EAB

图11-28
8. 已知：如图 11 -28，AD＝AE，BD＝CE.
求证: △ADC≌△AEB.

图11-29
9. 已知：如图11-29，AB∥ED，点F、C在AD上，AB=DE，AF=DC.
(1) 求证：BC=EF；
(2) 求证：BC∥EF.

图11-30
10. 如图 11-30，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，点F是CD的中点.
求证：AF⊥CD.

4 三角形全等的判定(3)

【学习目标】
1. 掌握三角形全等的判定公理：角边角公理和角角边推论.
2. 能综合利用前面所学的各个公理进行简单的证明.
3. 理解证明的基本过程，进一步掌握综合法证明的格式.

【效果检测】
一、选择题
图11-31
1. 如图11-31，AD、BC相交于点O，∠A=∠D，若不再添加任何字母和辅助线，且只添加一个条件，使得△ABO≌△DCO，则下列添加的条件：①AB=CD ②∠B=∠C ③OA=OD ④BO=CO，那么正确的有( )
图11-32
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2. 如图11-32，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE ②∠D=∠C ③∠B=∠E ④BC=ED，其中能使△ABC≌△AED的条件有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

二、填空题
图11-34
图11-33
3. 如图 11–33, AC⊥BC于C , DE⊥AC于E , AD⊥AB于A , BC=AE.若AB=5 , 则AD=_______.

4. 已知：如图11-34，AD=AE，如果不再添加任何字母和辅助线，且利用“SAS”判定△ADC≌△AEB，则需添加的一个条件可以是 .(写出一个即可)

图11-35
图11-36
5. 如图11-35，AB∥DE，AB=DE，如果不再添加任何字母和辅助线，并利用“ASA”判定△ABC≌△DEF，则需添加的一个条件是 .(写出一个即可)

6. 如图11-36，AD=AE，∠B=∠C，如果不再添加任何字母和辅助线，并利用“AAS”判定△ADC≌△AEB，则需添加的一个条件是 . (写出一个即可)

三、解答题
图11-37
7. 已知：如图11-37，E、F是AC上两点，AD∥BC，DF∥BE，DF=BE.
求证：△ADF≌△CBE.

1
2
C
D
B
A
图11-38
8. 已知：:如图11 -38，∠1=∠2，∠CAD=∠DBC，求证：AC=BD

图11-39
9. 已知：如图11-39，点A、B、C、D在一条直线上，AC=BD，∠M=∠N，BM∥CN.求证：AM∥CN.

图11-40
10.如图11-40，已知∠1=∠2，AE=AC，请再补充条件(写一个即可)，使△ABC≌△ADE，并加以证明.

图11-41
11. 已知：如图11-41，AB=AC,∠BAC=900,BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE.
求证: BD=EC+ED.

5 三角形全等的判定(4)

【学习目标】
1. 掌握直角三角形全等的判定公理：斜边、直角边公理.
2. 能利用直角三角形的斜边直角边公理和前面所学的各个公理进行简单的证明.
3. 理解证明的基本过程，掌握综合法证明的格式.

B
A
C
D
F
E

？
图11 -42
【效果检测】
一、选择题
1. 如图11 -42，，则的度数为(　　
图11-43
Ａ. Ｂ.
Ｃ. Ｄ.

2. 如图11 -43，点P是∠CAB内一点，且P到AB、AC的距离PD＝PE，则△PEA≌△PDA的理由是( )
A. AAS B. SSS C. HL D. ASA

3. 使两个直角三角形全等的条件是( )
A. 一个锐角对应相等 B. 两个锐角对应相等
C. 一条边对应相等 D. 两条边对应相等

二、 填空题
图11 -44
4. 如图11 -44，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”，还需要加条件________；若加条件∠B＝∠C，则可用_________判定.
图11 -45

5. 如图11 -45，AB＝CD, AE⊥BD于E, CF⊥BD于F，AE＝CF ,则图中全等三角形有____________对.

三、解答题
图11-46
6. 已知：如图11-46，AB=AC，AD=AE，AD⊥BD于D，AE⊥EC于E.
求证：△ABD≌△ACE.

图11-47
7. 已知：如图11-47，已知点E、F在AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AE=BF，CF=DE. 求证：CF∥ED.

图11-48
8. 已知：如图11-48，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AF⊥CD于F，BE⊥CD于E，且DE=CF. 求证：∠D=∠C.

图11-49
9. 已知：如图11-49，A、E、F、B四点在一条直线上，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD. 求证：(1)CE＝DF；(2)CE∥DF.

10. 将图11 -50-1中的矩形沿对角线剪开，再把沿着方向平移，得到图11 -50-2 中的，除与全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形(不能添加辅助线和字母)？请选择其中一对加以证明.

图11 -50-2

图11 -50-1

6 三角形全等的判定(5)

【学习目标】
1. 能灵活运用各种方法判定三角形全等.
2. 初步掌握几何中，证明一个命题的基本步骤.

【效果检测】
一、选择题
图11 -51
1. 如图11 -51，AB＝DC，AC＝BD，则图中全等三角形有( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
图11 -52

2. 已知：如图11-52，在△ABC和△DEF中，如果AB=DE，BC=EF，在以下条件：①AO=DO ②∠B=∠DEF ③∠A=∠D ④∠ACB=∠F中，只要找到一个，就可证明△ABC≌△DEF. 那么这个条件是( )
图11 -53
A. ① B. ② C. ③ D. ④

3. 如图11-53，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等的三角形有( )对.
图11-54
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题
图11-55
4.如图11-54，BE、CD是△ABC的高，且BD=CE，则判定△BCD≌△CBE的依据是 .

5. 已知：如图11-55，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝___度.

三、解答题
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｆ
Ｄ
Ｃ
图11 -56
6. 已知：如图11-56，，点在一条直线上，. 求证：.

图11-57

7. 已知：如图11 -57，AB＝AC，AF＝AG，AF⊥BD交BD延长线于F，AG⊥CE交CE延长线于G.. 求证：AD＝AE

图11-58
8. 已知：如图11 -58，AB＝AD，BE＝DE,C为AE延长线上一点.
求证：CB＝CD.

图11-59
9. 已知：如图11-59, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF. 求证：AC=EF.

图11 -60
10.如图11 -60，分别为的边上的点，与相交于点.现有四个条件：①，②，③，④.
(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是　　　和　　　，命题的结论是　　　和　　　(均填序号).
(2)证明你写出的命题.
已知：
求证：
证明：

*11、设相交于点，若，．
(1)如图，在中，点分别在上，①请你写出图中一个与相等的角；②证明：BD=CE.
(2)在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且，BD=CE这个结论是否应然成立？(直接说明结论即可)

7 角平分线的性质(1)

【学习目标】
理解角平分线的性质，会利用角平分线的性质进行简单的证明.

图11-61
【效果检测】
一、选择题
1.如图11-61，AP平分∠BAC，点P在AP上，PD⊥AB, PE⊥AC,垂足分别为D、E，则∠APD与∠APE的关系是( )
Ａ.∠APD＝∠APE Ｂ.∠APD>∠APE
Ｃ.∠APD<∠APE Ｄ.不能确定

二、填空题
图11-62
2.角的平分线可以看做是__________ 的点的集合.

3.∠AOB的平分线上有一点P，且P点到OA的距离是3cm，则P点到OB的距离是________cm，理由是______________________________.

4.如图11-62，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=5cm，BC=12cm，则BD =_______cm.

图11-63
三、解答题
5.已知：如图11-63，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD∶DB＝4∶11，BC=30cm，AB=32cm，求 △ABD的面积.

图11-64
6.如图11-64，AM是∠BAC的平分线，O是AM上一点，过点O分别作AB、AC的垂线，垂足分别是F、D，分别交AC、AB于G、E.求证：OE=OG.

图11-65
7.如图11-65，已知∠MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且AB＝CD，P为∠MON的平分线上一点.问：
(1)△ABP与△CDP是否全等？请说明理由.
(2)△ABP与△CDP的面积是否相等？请说明理由.

图11-66

8.已知：如图11-66，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC于D，DE与∠BAC的平分线交于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G.，求证：BF=CG.

图11-67
9.已知：如图11-67，△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC于点Ｅ，BC=12cm，求△DEC的周长.

图11-68
10.如图11-68，在△ABC中，∠ABC=105°，∠ACB=40°，CE是角平分线，F是CB延长线上的一点，D是AC上一点，若∠CBD=30°，求∠ABF和∠ADE的度数.

8 角平分线的性质(2)

【学习目标】
1.能判别角平分线.
2.利用角平分线的有关性质进行计算和证明.

【效果检测】
图11-69
一、选择题
1. 如图11-69，已知AB=AC，AD为边BC上的中线，CE为∠ACB的平分线，CE、AD交于点P，则点P一定在△ABC的 ( 　　　 )
A.∠B的平分线上 B.∠B对边的中线上
C.∠B对边的高上 D.以上答案都不对
图11-70

二、填空题
图11-71
2.如图11-70，已知∠B=∠D=90°，且CD=CB，则点C一定在________的平分线上.

3.如图11-71，∠ BAC=36°，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，且PD=PE，则∠DAP=_____.

三、解答题
图11-72
4.如图11-72，已知点B、C分别在∠MAN的两边上，BD⊥AM，CE⊥AN，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，且BF=CF.求证：点F在∠A的平分线上.

5.已知：如图11-73，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.
求证：BP为∠MBN的平分线.
图11-73

图11-74
6.已知，如图11-74，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD. 求证:∠B+∠D=180°.

7. 如图11-75，，P是AB的中点，图11-75
PD平分∠ADC.求证：CP平分∠DCB.

8.如图11-76-1， OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形. 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图11-76-2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
F
B
E
A
C
D
图11-76-3
(2)如图11-76-3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

O
N
P
M
图11-76-1
A
C
D
B
E
F
图11-76-2

9 第十一章 综合练习题

一、选择题
1.在△ABC△和△DEF△中，已知∠C=∠D，∠B=∠E，要判定这两个三角形全等，还需要增加条件( )
A.　　　　Ｂ. 　 Ｃ.　　　Ｄ.
2.下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF Ｂ.∠A=∠D，AB=DE，BC=EF
Ｃ.AB=DE，∠A=∠D = 80°，∠B=60°，∠F=40° Ｄ.∠C=∠F = 90°，AB=DE，BC=EF
3.如图11-77，AD=AE，AB=AC，CD与BE交于F，则图中全等三角形的对数是( )
图11-77
A. 2对 B.3对 C.4对 D.5对
图11-78
4.AD是△ABC的角平分线，从D向AB、AC两边作垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是( )
A.DE=DF B.AE=AF C.BD=CD D.∠ADE=∠ADF
5.如图11-78，AB⊥BC于B，CD⊥BC于C ， AB=BC，E为BC的中点，且AE⊥BD于F，若CD=4cm，则AB的长度为( )
图11-79
A.4cm B.8cm C.9cm D.10cm
图11-80
6.如图11-79，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若△DEB的周长为10cm，则AB的长为( )
A.8cm B.10cm C.12cm D.20cm
7.如图11-80，已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则有( )
A.△ABD≌△AFD B.△AFE≌△ADC
C.△AEF≌△DFC D.△ABC≌△ADE
图11-81
8.如图11-81，AD是的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且，连结BF，CE.下列说法：①CE＝BF； ②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE.其中正确的有(　　)
A.1个　　　 B.2个　　 　C.3个　　 D.4个

图11-83
二、填空题
图11-82
9.如图11-82，两个三角形全等，已知某些边的长度和某些角的度数，则x=_______.
图11-84
10.如图11-83，在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，要使△ABC≌△DEF，需要补充的一个条件是____
_______________________.
11.如图11-84，沿AM折叠，使点D落在BC边上，如果AD=7cm，DM=2cm，∠DAM=20°，则AN的长为 cm，MN长为 cm， ∠NAM 的度数是 °.

图11-85
12. 如图11-85，四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD等于__________°.
13.已知，在△ABC中，AB=4，AC=2，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 .

三、解答题
图11-86

14.已知：如图11-86，D是△ABC边AC上的一点，DF交AB于E，且DE=EF，FB∥AC，求证：AE=BE.

图11-87
15.已知：如图11-87，AB、CD相交于O，AC∥DB，OC=OD，AE=BF，
求证：CE=DF

图11-88
16.已知：如图11-88，在△ABC中，BE⊥AD，CF⊥AD，且BE = CF，请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？并说明理由.

图11-89
17.已知：如图11-89，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，.
求证：(1)；(2).

图11-90
18.如图11-90，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC

图11-91

19.如图11-91，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC， AD平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长.请说明理由.

20. 如图11-92，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4，直线DC过点E图11-92
交AD于点D，交BC于点C. 求证：AB＝AD＋BC

21.如图11-93，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.
C
B
A
E
D
图11-93-1
N
M
A
B
C
D
E
M
N
图11-93-2
A
C
B
E
D
N
M
图11-93-3
图11-93

初中 .20. 数学