线面垂直的判定与性质.doc

线面垂直
●知识点
1.直线和平面垂直定义
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.
2.线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.
判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
3.三垂线定理和它的逆定理.
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.
逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.

●题型示例
【例1】 如图所示，已知点S是平面ABC外一点，

例1题图
∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的
射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC.
【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径，假设
EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样
SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明
AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC，
∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平
面SBC的证明.
【规范解答】

【解后归纳】 题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.
【例2】 已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB.
【解前点津】 由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥cb⊥c;(2)a⊥α,bαa⊥b;(3)三垂线定理及其逆定理.
由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.

【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.
所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.
所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.
【例3】 已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1 分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1.

例3题图解(1)

【解前点津】 题设主要条件是AB1⊥BC，而结论是AB1⊥A1C，题设，题断有对答性，可在ABB1A1上作文章，只要取A1B1中点D1，就把异面直线AB1与BC1垂直关系转换到ABB1A1同一平面内AB1与BD1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB1与A1C垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB中点D即可，只要证得A1D垂直于AB1，事实上DBD1A1，为平行四边形，解题路子清楚了.

【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：
（1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化.
利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务.
证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.

例4题图
【例4】 空间三条线段AB,BC,CD,AB⊥BC,BC⊥CD,已知AB=3,BC=4,CD=6,则AD的取值范围是 .
【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD1中,CD1=6,
AD1的长是AD的最小值,其中AH⊥CD1,AH=BC=4,HD1=3,
∴AD1=5;在直角△AHD2中,CD2=6,AD2是AD的最大值为

【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论.

●对应训练 分阶提升
一、基础夯实
1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：
① ② ③b∥M ④b⊥M.
其中正确的命题是 ( )
A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④
2.下列命题中正确的是 ( )
A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面
B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面
C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线
D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面
3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 ( )

第3题图

A.DP⊥平面PEF B.DM⊥平面PEF C.PM⊥平面DEF D.PF⊥平面DEF
4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( )
A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交
B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直
C.过a一定可以作一个平面与b垂直
D.过a一定可以作一个平面与b平行
5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有 ( )
A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ
6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为 ( )
A.1 B.2 C. D.
7.有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直
其中正确命题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是 ( )
A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合
B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合
C.α与β必相交且交线m与d一定不平行
D.α与β不一定相交
9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题
① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，
其中真命题的序号是 ( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
10.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.
其中正确的命题是 ( )
A.③与④ B.①与③ C.②与④ D.①与②

二、思维激活

第12题图
11.如图所示，△ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，如果△A′B′C′是正三角形，且AA′＝3cm，BB′＝5cm，CC′＝4cm，则△A′B′C′的面积是 .

第13题图

第11题图

12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
13.如图所示，在三棱锥V—ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件 时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)

三、能力提高
14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.

第14题图
(1)求证:VC⊥AB;
(2)若二面角E—AB—C的大小为30°,求VC与平面ABC
所成角的大小.

15.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.

第15题图
(1)求证：MN∥平面PAD.
(2)求证：MN⊥CD.
(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝，PD＝.
(1)求证：BD⊥平面PAD.
(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.

第16题图

17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．

18.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.
(1)求证：NP⊥平面ABCD.

第18题图
(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.
(3)求点C到平面D′MB的距离.

第4课 线面垂直习题解答

1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.
2.C 由线面垂直的性质定理可知.
3.A 折后DP⊥PE,DP⊥PF，PE⊥PF.
4.D 过a上任一点作直线b′∥b,则a，b′确定的平面与直线b平行.
5.A依题意,m⊥γ且mα,则必有α⊥γ,又因为l=β∩γ则有lγ,而m⊥γ则l⊥m,故选A.
6.D过P作PD⊥AB于D，连CD，则CD⊥AB，AB=，，
∴PD=.
7.D 由定理及性质知三个命题均正确.
8.A 显然α与β不平行.
9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.
10.B ∵α∥β，l⊥α，∴l⊥m
11.cm2 设正三角A′B′C′的边长为a.
∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB２=a2+4，
又AC2+BC2=AB2，∴a2=2．
S△A′B′C′=cm2．
12.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).
点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.
13.VC⊥VA，VC⊥AB. 由VC⊥VA，VC⊥AB知VC⊥平面VAB.
14.(1)证明:∵H为△VBC的垂心,
∴VC⊥BE,又AH⊥平面VBC,
∴BE为斜线AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC.
(2)解:由(1)知VC⊥AB,VC⊥BE,
∴VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC,
∴AB⊥面DEC.
∴AB⊥CD,∴∠EDC为二面角E—AB—C的平面角，
∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD,
∴VC在底面ABC上的射影为CD.
∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE,
∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,
∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,
∴VC与面ABC所成角为60°.
15.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN，
则有EN∥CD∥AB∥AM，EN＝CD＝AB＝AM，故AMNE为平行四边形.
∴MN∥AE.

第15题图解
∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥AE，即AB⊥MN.
又CD∥AB，∴MN⊥CD.
(3)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.
又∠PDA＝45°，E为PD的中点.
∴AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD，
∴MN⊥平面PCD.
16.如图(1)证：由已知AB＝4，AD＝２，∠BAD＝60°，

第16题图解
故BD2＝AD2+AB2-2AD·ABcos60°＝4+16-2×2×4×＝12.
又AB2＝AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
即AD⊥BD.在△PDB中，PD＝，PB＝，BD＝，
∴PB2＝PD2+BD2，故得PD⊥BD.又PD∩AD＝D，
∴BD⊥平面PAD.
(2)由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD.
∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E，
又PE平面PAD，
∴PE⊥平面ABCD，∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角.
∴∠PDE＝60°，∴PE＝PDsin60°＝.
作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BF，
∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角.
又EF＝BD＝，在Rt△PEF中，
tan∠PFE＝.
故二面角P—BC—A的大小为arctan.
17.连结AC1，∵.
∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，
∴∠AC1C=∠MA1C1，
∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°.
∴A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴CC1⊥B1C1，又B1C1⊥A1C1，∴B1C1⊥平面AC1M.
由三垂线定理知AB1⊥A1M.
点评：要证AB1⊥A1M，因B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理可转化成证AC1⊥A1M，而AC1⊥A1M一定会成立．
18.(1)证明：在正方形ABCD中，
∵△MPD∽△CPB，且MD＝BC，
∴DP∶PB＝MD∶BC＝1∶2.
又已知D′N∶NB＝1∶2，
由平行截割定理的逆定理得NP∥DD′，又DD′⊥平面ABCD，
∴NP⊥平面ABCD.
(2)∵NP∥DD′∥CC′，
∴NP、CC′在同一平面内，CC′为平面NPC与平面CC′D′D所成二面角的棱.
又由CC′⊥平面ABCD，得CC′⊥CD，CC′⊥CM，
∴∠MCD为该二面角的平面角.
在Rt△MCD中可知
∠MCD＝arctan，即为所求二面角的大小.
(3)由已知棱长为a可得，等腰△MBC面积S1＝，等腰△MBD′面积S2＝，设所求距离为h，即为三棱锥C—D′MB的高.
∵三棱锥D′—BCM体积为，
∴