2016年中考数学专题复习：折叠题(含答案).doc

2016年中考数学专题复习：折叠题
1．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（　　）

　 A．①②③ B． ①②④ C． ②③④ D． ①②③④
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，
由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF=MF，
∴DF=CF；故①正确；
∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，
∴∠BFM=∠BFC，
∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，
∴∠BFE=∠BFN，
∵∠BFE+∠BFN=180°，
∴∠BFE=90°，
即BF⊥EN，故②正确；
∵在△DEF和△CNF中，
，
∴△DEF≌△CNF（ASA），
∴EF=FN，
∴BE=BN，
但无法求得△BEN各角的度数，
∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误；
∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM=BC=AD=2DE=2EM，
∴BE=3EM，
∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；
故④正确．
故选B．

点评： 此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

2．如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，若EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．下列结论中：
①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；
④△BEG和△HEG的面积相等；
⑤若，则．
以上命题，正确的有（　　）

　 A．2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

解答： 解：①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线，∴∠AEB=∠GEB，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90°，故正确；
②可证△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误；
③只可证△EDF∽△BAE，无法证明BE=EF，故错误；
④可证△GEB，△GEH是等腰三角形，则G是BH边的中线，∴△BEG和△HEG的面积相等，故正确；
⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．设BK=x，AB=y，则有y2+（2y﹣2x）2=（2y﹣x）2，解得x1=y（不合题意舍去），x2=y．则，故正确．
故正确的有3个．
故选B．

点评： 本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．

3．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（　　）

　 A．3 B． 2 C． 2 D． 2
解答： 解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
∵∠EMB=90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴AE=BM，
由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，
∴EG=BM，
∵∠ENG=∠BNM，
∴△ENG≌△BNM（AAS），
∴NG=NM，
∴CM=DE，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED=BM=CM，
∵EM∥CD，
∴BN：NF=BM：CM，
∴BN=NF，
∴NM=CF=，
∴NG=，
∵BG=AB=CD=CF+DF=3，
∴BN=BG﹣NG=3﹣=，
∴BF=2BN=5，
∴BC===2．
故选B．

点评： 此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

4．如图，两个正方形ABCD和AEFG共顶点A，连BE，DG，CF，AE，BG，K，M分别为DG和CF的中点，KA的延长线交BE于H，MN⊥BE于N．则下列结论：①BG=DE且BG⊥DE；②△ADG和△ABE的面积相等；③BN=EN，④四边形AKMN为平行四边形．其中正确的是（　　）

　 A．③④ B． ①②③ C． ①②④ D． ①②③④
解答： 解：由两个正方形的性质易证△AED≌△AGB，
∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，
∴可得BG与DE相交的角为90°，
∴BG⊥DE．①正确；
如图，延长AK，使AK=KQ，连接DQ、QG，
∴四边形ADQG是平行四边形；
作CW⊥BE于点W，FJ⊥BE于点J，
∴四边形CWJF是直角梯形；
∵AB=DA，AE=DQ，∠BAE=∠ADQ，
∴△ABE≌△DAQ，
∴∠ABE=∠DAQ，
∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°．
∴△ABH是直角三角形．
易证：△CWB≌△BHA，△EJF≌△AHE；
∴WB=AH，AH=EJ，
∴WB=EJ，
又WN=NJ，
∴WN﹣WB=NJ﹣EJ，
∴BN=NE，③正确；
∵MN是梯形WGFC的中位线，WB=BE=BH+HE，
∴MN=（CW+FJ）=WC=（BH+HE）=BE；
易证：△ABE≌△DAQ（SAS），∴AK=AQ=BE，
∴MN∥AK且MN=AK；
四边形AKMN为平行四边形，④正确．
S△ABE=S△ADQ=S△ADG=S▱ADQG，②正确．
所以，①②③④都正确；
故选D．

点评： 当出现两个正方形时，一般应出现全等三角形．图形较复杂，选项较多时，应用排除法求解．

5．如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（　　）

　 A． B． C． D．
解答： 解：连接CD，交MN于E，
∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，
∴MN⊥CD，且CE=DE，
∴CD=2CE，
∵MN∥AB，
∴CD⊥AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴，
∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，
∴S△CMN=CM•CN=×6×2=6，
∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24，
∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18．
故选C．

点评： 此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．

6．如图，D是△ABC的AC边上一点，AB=AC，BD=BC，将△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，则∠A′的大小是（　　）

　 A．40° B． 36° C． 32° D． 30°
解答： 解：连接C'D，
∵AB=AC，BD=BC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BDC，
∵△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，
∴∠BCD=∠BC'D，
∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，
∵四边形BCDC'的内角和为360°，
∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D==72°，
∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°．
故选B．

点评： 本题考查了折叠的性质，解答本题的关键是掌握翻折前后的对应角相等，注意本题的突破口在于得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和为360°求出每个角的度数．

7．如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为（　　）

　 A． B． C． 3﹣ D．
解答： 解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，
∵△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，
∴AC=BC，
∴AF=AB=，
∴AC===2，
由折叠的性质得：AB′=AB=2，∠B′=∠B=30°，
∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°，
∴∠CDB′=90°，
∵B′C=AB′﹣AC=2﹣2，
∴CD=B′C=﹣1，B′D=B′C•cos∠B′=（2﹣2）×=3﹣，
∴DE===，
∴S阴影=AC•DE=×2×=．
故选A．

点评： 此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．

8．如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折，使AB与AC重合，得△AED，则BD的长度为（　　）

　 A． B． C． D．
解答： 解：作CF⊥AB于点F．
∵∠CAB=∠B
∴AC=BC，
∴BF=AB=，
在直角△BCF中，BC==2，
在△CDE中，∠E=∠B=30°，∠ECD=∠CAB+∠B=60°，DE=BD，
∴∠CDE=90°，
设BD=x，则CD=DE=2﹣x，
在直角△CDE中，tanE===tan30°=，
解得：x=3﹣．
故选B．

点评： 本题考查了图形的折叠，以及三线合一定理、三角函数，正确理解折叠的性质，找出图形中相等的线段、相等的角是关键．

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（　　）

　 A．1 B． C． D．
解答： 解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，
∴AB==2，
∴∠BAC=30°
∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，
∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，
∵AD⊥ED，
∴BC∥DE，
∴∠CBF=∠BED=30°，
在Rt△BCF中，CF==，BF=2CF=，
∴EF=2﹣，
在Rt△DEF中，FD=EF=1﹣，ED=FD=﹣1，
∴S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE
=2S△ABD+S△ADE
=2×BC•AD+AD•ED
=2××1×（﹣1）+×（﹣1）（﹣1）
=1．
故选A．
点评： 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．